الفصل الخامس

الشغل والطاقة

(١) حلول مسائل الشغل وحفظ الطاقة

(٥-١) افترِضْ أن المضرب والكرة تقابَلَا في تصادُمٍ مرنٍ أحادي البُعْد، يترك فيه مبدأُ حفظِ طاقة الحركة حصةً أكبر من الطاقة للكرة لتُناظِرَ أقصى سرعة يمكن أن تحصل عليها. في مثل هذه الحالة يمكننا استخدامُ معادلة استبدال السرعة، وهي ؛ حيث توضِّح السرعة الابتدائية، و توضح السرعة النهائية بعد التصادُم مباشَرةً. باستخدام هذا، نرى أن السرعة النسبية للمضرب والكرة تصبح:
(5-1)
حيث ظهرت القيمة لأن الكرة تتحرك عكس اتجاه المضرب (والذي نفترض أنه الاتجاه الموجب ﻟ ). برغم أن المضرب محمول بواسطة اللاعب، وسرعته لا تتغير (على الأقل بكمية ملحوظة)؛ إذنْ فإن ؛ ومن ثَمَّ:
(5-2)
حتى لو لم تكن تعلم معادلةَ استبدال السرعة، يمكنك تخيُّلُ التصادم في إطارٍ قصوريٍّ متحركٍ بنفس سرعة المضرب الثابتة. يبدو المضرب في هذا الإطار كحائطٍ ساكن، وتقترب الكرة من الحائط بسرعةٍ مقدارُها ، ثم ترتدُّ بسرعةٍ مساوية المقدار في الاتجاه المعاكس. بالنسبة إلى الأرض، تكون سرعة الكرة المرتدة هي .
(٥-٢) لتكن سرعة القالب بالنسبة إلى الوتد. نستخدم هذه السرعة لأن اتجاهها معروف دائمًا بالنسبة إلى الوتد. بالنسبة إلى نظام القالب والوتد بدون المنضدة التي يرتكز عليها الوتد، يكون لدينا (بافتراض أن المحور على طول الأفقي و نحو اليمين):
(5-3)
حيث مقدار سرعة الوتد. باستخدام حفظ الطاقة وبالتعويض بالقيمة عن معادلة كمية التحرك، يكون لدينا:
(5-4)
(٥-٣) (أ) تتحقَّق أقصى سرعةٍ للقافز في النقطة التي عندها يؤثِّر حبلُ القفز بقوةٍ تُبطل الجاذبية (النقطة التي تكون عندها عجلة القافز صفرًا). بعد هذه النقطة يكون اتجاه العجلة لأعلى، ويتباطأ القافز حتى يصل إلى السكون لحظيًّا ثم يتسارع لأعلى.
(5-5)

ومن ثَمَّ تتحقَّق السرعة القصوى عند ٥٣٫٩ مترًا.

(ب) تتحقق السرعة القصوى عندما يستطيل طولُ حبل القفز بمقدار ٣٫٩٢ أمتار؛ إذنْ، بضبط نقطة أصل نظام المحاور عند ٥٠ مترًا أسفل الكوبري نجد أن:
(5-6)
(ﺟ) تتحقَّق العجلة القصوى عند أقصى قوة محصلة تؤثِّر على القافز. قبل الوصول إلى ٥٠ مترًا تكون عجلةُ الجاذبية هي فقط المؤثِّرة؛ ومن ثَمَّ فإن عجلة القافز . وبمجرد أن يستطيل حبلُ القفز بقدرٍ أكبر من ٣٫٩٢ أمتار، تكون القوة المحصلة لأعلى. يكون السؤال عندئذٍ عما إذا كانت القوة المحصلة لأي نقطة قبل أن تصل السرعة إلى صفر؛ لأنه عند نقطة التوقُّف يكون الحبل عند أقصى طولٍ لهذا القافز ومؤثِّرًا بأقصى قوة لأعلى. وبالتالي نريد إيجاد أقصى تمدُّدٍ للحبل، . للاختصار اجعلْ .
(5-7)
آخِر خطوة ما هي إلا الحل المعتاد للمعادلة التربيعية ولكن بصورة مبسَّطَة. قيمة هي:
(5-8)
إذنْ فإن:
(5-9)
يؤدي هذا بالفعل إلى عجلة متجهة لأعلى أكبر من في المقدار.
(5-10)
تزيد زيادةً رتيبةً بحيث تكون الإزاحة القصوى مناظِرة دائمًا للقوة القصوى لأعلى؛ ومن ثَمَّ أكبر عجلة.
(د) قيمة العجلة القصوى مشتقة من:
(5-11)

التعرُّض لخمسة أضعاف عجلة الجاذبية هو تجربة ضاغطة بحق.

(ﻫ) أقصى مسافة من الجسر هي ٥٠ مترًا بالإضافة إلى ؛ أي ٧٤٫١ مترًا. تحتاج إذنْ إلى جسر عالٍ!
(٥-٤) هو ثابت قانون هوك للحبل الذي يكون طوله قبل الاستطالة ١ (بوحدات طول اختيارية)، وهذا يعني أنه إذا أثَّرَتْ قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه على كلا الطرفين، فإن الحبل سوف يستطيل ليصل طوله إلى ، بمعنى أن ( هي التغير في الطول). افترِض الآن أن لدينا قطعةً من نفس نوع الحبل طولها قبل الاستطالة ؛ حيث عدد صحيح من وحدة الأطوال. يمكننا وضع علامات على الحبل، تقوم بتقسيم الحبل نظريًّا إلى قطعة (لاحظ أن عدد صحيح ليس له وحدات) متساوية في الطول. إذا أثَّرَتْ قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه على الطرفين، فإنَّ كلَّ قطعة ستكون في اتزانٍ ميكانيكيٍّ وتؤثر عليها قوتان متساويتان في المقدار ومتضادتان في الاتجاه تسحبانها من كلا الطرفين؛ ومن ثَمَّ فإن الزيادة في طول كلِّ قطعة هي ، والزيادة في طول الحبل هي . يُعرِّف ثابت قانون هوك للحبل بأنه (حيث التغير في الطول)؛ ومن ثَمَّ فإن .
إذا كنتَ مراوغًا وترغب في معرفة كيف تمتدُّ بالبرهان ليشمل القِيَم غير الصحيحة من ، اقسم الحبل نظريًّا وهو قبل الاستطالة إلى قطع عديدة صغيرة جدًّا، طول كلٍّ منها . يمكنك بنسبة خطأ مهملة افتراض أن و أرقام صحيحة. عدد القطع في جزء من الحبل طوله الوحدة هو . إذا كان ثابت قانون هوك لكل قطعة صغيرة هو ، فإن البرهان التالي يوضِّح أن ثابت قانون هوك لجزءٍ من الحبل (قبل الاستطالة) طوله الوحدة هو ؛ ومن ثَمَّ فإن . عدد القطع في حبل طوله هو ، وبالتالي فإن ثابت قانون هوك للحبل هو ، وهو المطلوب برهانه.
قافز حبال كتلته لديها عدد من الحبال المختلفة، مقطوعة كلها من نفس البكرة الكبيرة ولكن بأطوال مختلفة. يختار حبلًا ويربط أحدَ طرفيه في قضيبٍ على الجسر، والطرفَ الآخَر في الأحزمة التي يرتديها، ثم يقفز. نريد أن نبيِّن أن أقصى شدٍّ ناتج يكون هو نفسه لجميع الحبال، بمعنى أن تلك لا تعتمد على .
من الواضح أن أقصى شدٍّ يحدث عندما يتمدَّد الحبلُ لأقصى قدرٍ، بمعنى أنه عندما يكون القافز عند أقل نقطة له (نقطة الانخفاض) وسرعته صفرًا. ليكن طول الحبل عند هذه النقطة . نعتبر طاقة الجهد التثاقلية للقافز صفرًا عند الجسر، وبالتالي تساوي عند النقطة المنخفضة. ولأن كتلة الحبل أقل بكثيرٍ من كتلة القافز، فإننا نهمل طاقةَ جهده التثاقلية. طاقة الجهد للحبل قبل الاستطالة صفر، وطاقة الجهد للحبل بعد الاستطالة . طاقة حركة القافز تكون صفرًا عند كلٍّ من الجسر ونقطة الانخفاض.
ومن ثَمَّ فإن . نستطيع حلَّ هذه المعادلة التربيعية في جذرها الموجب، ثم حساب أقصى شد . إذا كانت عبارة المسألة صحيحة، فإن لا تعتمد على ، بمعنى أن لا تعتمد على . يمكننا تبيُّن ذلك دون حتى أن نحلَّ المعادلة التربيعية. ليكن ؛ إذنْ فإن وتكون معادلتنا هي:
(5-12)
لاحِظْ أن اختفت، وبالتالي فمن الواضح أن و لا تعتمدان على . هذه الحقيقة معروفة لكثيرٍ من القافزين ومتسلِّقِي الصخور.
(٥-٥) نهدف إلى إثبات أنه إذا كانت كميةُ التحرُّكِ الخطية محفوظةً في إطارٍ ما، بمعنى أنه لأي نظام يتكون من جسيم فإن:
(5-13)
حيث يشير الرمزان السفليان و إلى السرعة قبل التصادم وبعده، فإنها إذنْ صحيحة لجميع الأُطر الأخرى. يمكننا كتابة كميتَيِ التحرك الابتدائية والنهائية في أيِّ إطارٍ قصوريٍّ آخَر يتحرك بسرعة بالنسبة إلى الإطار القصوري الأول كما يلي:
(5-14)
ومن ثَمَّ فإن كمية التحرك محفوظة في الإطار القصوري الجديد. نتحول الآن إلى مناقشة طاقة الحركة المصاحبة للحركة. مبدأ حفظ طاقة الحركة هو:
(5-15)
ولإطار قصوري آخَر ، كما ذُكِر من قبلُ هو: