من المقالة الثانية: في الأرتماطيقي

الفصل الأول: في الكمية المفردة

الفصل الثاني: في الكمية المضافة

الكَمِّيَّة المفردة التي تقدَّم ذِكْرها وذكر أقسامها في الفصل الأول. فأما الكَمِّيَّة المضافة، فهي قسمان: أحدهما: المعادل، كالخمسة والخمسة، والعشرة والعشرة، وهذا القسم لا ينقسم إلى أقسام أُخر. والثاني: هو المضاف، ومنه الكبير، وهو خمسة أنواع: أولها: المضاعَف، مثل الأربعة هي ضعف الاثنين، والستة ثلاثة أمثالها. وثانيها: الزائد جزءًا، كالثلاثة تُقاس إلى الاثنين؛ فإنها تزيد على الاثنين نصف الاثنين. وثالثها: الزائد أجزاء كالخمسة إذا قِيست إلى الثلاثة زادت عليها ثلثي الثلاثة وهما جزآن. ورابعها: المضاعَف الزائد جزءًا، كالسبعة إذا قِيست إلى الثلاثة، فإن فيها ضعف الثلاثة وثلثها. وخامسها: المضاعَف الزائد أجزاء، كالثمانية إذا قِيست إلى ثلاثة، فإن فيها ضعف الثلاثة وثلثيها. ومنه الصغير، وهو خمسة أنواع أيضًا، وأقسامه على عكس ما ذكرتُه من هذه الأمثلة في الأعداد المذكورة بأعيانها، وهي التي تحت المضاعف، والذي تحت المضاعف الزائد جزءًا، والذي تحت المضاعف الزائد أجزاء. ولهذه الأقسام العشرة أقسام أُخر مشتركة الأسماء تحت كل نوع منها، كالمضاعَف الثنائي والثلاثي والرباعي والخماسي إلى ما لا نهاية له، وكذلك المضاعف الزائد جزءًا الثنائي والثلاثي والرباعي والخماسي إلى ما لا نهاية له، وكذلك سائر الأقسام الباقية.

الفصل الثالث: في الأعداد المسطَّحة والمجسَّمة

الواحد بمنزلة النقطة لأنه لا ينقسم. الاثنان بمنزلة الخط لأنهما لا ينقسمان إلا مرة واحدة، كما أن الخط لا ينقسم إلا طولًا. الثلاثة بمنزلة السطح. الأعداد الطبيعية، هي المتوالية توالي الطبيعة، وهي: واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة إلى ما لا نهاية له. والأعداد المسطَّحة، منها: مثلثة، وهي مثل: واحد، ثلاثة، ستة عشرة، وتتولد من مجموع الأعداد الطبيعية. ومنها: مربعة، وهي مثل: واحد، أربعة، تسعة، وتتولد من جميع المثلثات بعضها إلى بعض، وكل مثلثين متواليين منهما مربع واحد، وتتولد أيضًا من مجموع الأفراد الطبيعية، وهي المتخَطِّية اثنين اثنين. ومنها: مُخَمَّسة، وهي: واحد، خمسة، اثنا عشر، وتتولد من جميع الأعداد المتخطِّية على نظم الطبيعيِّ ثلاثة ثلاثة. المسدَّسات، تتولد من المتخطِّية أربعة أربعة، وكذلك ما بعدها من السطوح على هذا القياس، وكلٌّ منها بنقصان اثنين من ضلعه. الأعداد المجسَّمة المخروطة، وتسمى: المذَنَّبة، تتولَّد من الأعداد السطحية إذا تراكم بعضها على بعض. ومنها: مثلَّثة القواعد، وهي: واحد، أربعة، عشرة، عشرون، وتتولد من تراكم المثلثات. ومنها: مربَّعة القواعد، وهي: واحد، خمسة، أربعة عشر، ثلاثون، فتتولد من تراكم المربعات، وكذلك ما بعدها على هذا القياس. المحذوفة من هذه المخروطات كلها، ما كان ابتداؤه من دون الواحد إذا روكِمَ من الأعداد السطحية. الأعداد المجسمة المتوازية المتساوية الأضلاع دون السطوح، منها: المثلثة، وهي: واحد، ستة، ثمانية عشر، أربعون. ومنها: المربعة، وهي المكعَّبة، وهي: واحد، ثمانية، سبعة وعشرون، أربعة وستون. ومنها: المخمسة، وهي: واحد، عشرة، ستة وثلاثون، ثمانية وأربعون. والمثلثة من هذه المجسمة تتولد من المثلثة السطحية؛ لأن الستة ضعف الثلاثة، وثمانية عشر ثلاثة أمثال الستة، والأربعون أربعة أمثال العشرة، وعلى هذا القياس غيره من المجسمات. هذه المجسمات إذا كان سُمك أحدها مثل ضلع من أضلاعه فإنه يُسَمَّى الهوهوي، وإذا زاد سُمكه على ضلعه أو نقص سُمي الغَيْرِيَّ الطول. العدد الدوائري: ما كان بدؤه ونهايته شيئًا واحدًا، مثل خمسة وعشرين؛ لأنها من ضرب خمسة في خمسة، وانتهاؤها خمسة، أعني الخمسة المنضمَّة إلى عشرين، وكذلك ستة وثلاثون ابتداؤها وانتهاؤها ستة. العدد الكُرِّيُّ: ما كان ابتداؤه ونهايته ووسطه شيئًا واحدًا، مثل مِائة وخمسة وعشرين؛ لأنك تضرب خمسة في خمسة تكون خمسة وعشرين، ثم في خمسة تكون مِائة وخمسة وعشرين، ففي بدئها ووسطها ونهايتها خمسة. فأما الستة فلا تحفظ هذا الترتيب، فوسطها وبدؤها ونهايتها ستة ولكن ليست مع نهايتها ثلاثين، كما أن وسطها ستة وثلاثون، وكذلك مِائتان وستة عشر بدؤها ووسطها ونهايتها ستة.

الفصل الرابع: في العيارات

النسبة: أن تنسب العدد إلى آخر، فتقول: هو نصفه، أو ثلثه، أو ضعفه، أو نحو ذلك. العِيَار، يشبه النِّسَب، وأقل ما يكون العيار في نسبتين: إحداهما: عيار الأخرى، والنسبتان أقل ما تكونان في ثلاثة أعداد، فتكون نسبة الأول مثلًا إلى الثاني كعبًا، ونسبة الثاني إلى الثالث كعبين. الأعداد التي تعير بها النسب تسمى: الحدود، والحدود تكون حاشيتين وواسطة، وربما كان فيها واسطتان أو أكثر إذا كانت الأعداد أكثر من ثلاثة. ما كان له واسطتان من العيارات يُسَمَّى: العِيَار الجِرْمِيُّ. العِيَارات عشرة، أولها: الحِسْباني، وأعداده ثلاثة: اثنان وواحد، على نظم الأعداد الطبيعية، وهو مختلف النِّسَب متساوي التفاضل. والثاني: العِيَار الْمِسَاحيُّ، وأعداده: أربعة، اثنان، واحد، متساوي النِّسَب مختلف التفاضل. والثالث: العيار التَّأْلِيفيُّ، وهو المنسوب إلى تأليف الألحان، وأعداده ستة، أربعة، ثلاثة. والرابع: مقابِلُ التأليفي، وأعداده: ستة، خمسة، ثلاثة. والخامس: مقابل الْمِسَاحيِّ، وأعداده: خمسة، أربعة، اثنان. والسادس: مقابل الحِسْباني، وأعداده: ستة، أربعة، واحد. والسابع، أعداده: تسعة، ثمانية، ستة. والثامن، أعداده: تسعة، سبعة، ستة. والتاسع، أعداده: سبعة، ستة، أربعة. والعاشر، أعداده: ثمانية، خمسة، ثلاثة. فهذه جميع العِيَارات.

الفصل الخامس: في وجوه الحسابات

حساب الهند قِوَامه تِسْعُ صُوَرٍ يُكتفى بها في الدلالة على الأعداد إلى ما لا نهاية له. وأسماء مراتبها أربعة، وهي: الآحاد، والعشَرات، والْمِئُونَ، والأُلوف. فالواحد يقوم مقام العشرة، ومقام مِائة، ومقام ألف، ومقام عشرة آلاف، ومِائة ألف، وألف ألف، إلى ما لا نهاية له من العُقود. ويقوم الاثنان مقام العشرين، ومقام الْمِائتين، ومقام الألفين، والعشرين ألفًا، والمِائتي ألف، والألفي ألف، وكذلك سائر العقود على هذا القياس، أعني الثلاثة مقام الثلاثين، والثلاثمِائة، والثلاثة آلاف، والثلاثين ألفًا، والثلاثمِائة ألف، والثلاثة آلاف ألف. وإنما يُعرف ذلك بمراتب الوضع على ما في هذا الجدول، وهذه صورتها:

وهذا هو الجدول:

فإذا ركَّبت منها اثنين أو ثلاثة، فإن سبيلَك أن تُقَدِّم الأكثر وتؤخِّر الأقل، مثال ذلك: يب، اثنا عشر، وكذلك قكج، مِائة وثلاثة وعشرون. وقد يُكتب بهذه الحروف كما يُكتب حساب الهند، وهو أن تُكتب بتسعة أحرف منها من الألف إلى الطاء. وتُوضع هذه العلامة في المواضع الخالية مكان الصفر في حساب الهند كي يُحفظ بها الترتيب فقط. الضَّرْب: تضعيف أحد العددين بآحاد الآخر، مِثْل أن تضرب ثلاثة في أربعة فتبلغ اثني عشر، فكأنك أضعفت الأربعة ثلاث مرات أو أضعفت الثلاثة أربع مرات، فكان معنى قولك: ثلاثة في أربعة: ثلاثة أربع مرات. قال الخليل: مَبْلَغ ما يجتمع من الضَّرْب هو الجذاء، تقول: جُذَاء عشرة في عشرة: مِائة، وجُذَاء ثلاثة في أربعة: اثنا عشر. قال: ويُسمون جملة هذا الحساب البُرْجان. القسمة: أخذ حصة الواحد من المقسوم عليهم من المقسوم، كأنك تقسم عشرين درهمًا على خمسة نفر، فحصة الواحد من المقسوم عليهم، وهم النفر، من الدراهم أربعة، وهذا المال هو المقسوم، والرجال هم المقسوم عليهم، وما يخرج من القسمة فهو القِسم، بكسر القاف. الجَذْر: كل ما تضربه في نفسه. والمال: كل ما يجتمع من ضرب عدد في نفسه، مثل ثلاثة في ثلاثة: تسعة، فالثلاثة: الجَذْر، والتسعة: المال. الجَذْر المطلَق، هو المنطوق به، وهو ما يُعرف به حقيقة مقداره، ويمكن أن يُنطق به وهو مثل جَذْر المِائة وهو عشرة، وجَذْر تسعة وهو ثلاثة، وجَذْر أربعة وهو اثنان. والجَذْر الأَصَم: الذي لا سبيل إلى علم حقيقته بالعدد، مثل جَذْر اثنين، أو جَذْر ثلاثة، أو جَذْر عشرة، وقد يُؤخذ بالتقريب ولا تدرَك حقيقته. وحُكي أنَّ من تسبيح براهمة الهند: سبحانَ عالم الجذور الصُّمُّ. ذو الاسمين: ما لا يمكن أن يُنطق به بلفظ واحد، مثل قولك: جَذْر عشرين وجَذْر عشرة معًا، أو جَذْر العشرين إلا جَذْر عشرة. الْمُكَعَّب: هو المال إذا ضُرب في ضلعه، أي جَذْره، فالْمَبْلَغ هو المكَعَّب، وذلك الجَذْر هو الكَعْب، مثال ذلك: ثلاثة في ثلاثة: تسعة، وتسعة في ثلاثة: سبعة وعشرون، فسبعة وعشرون هو المكَعَّب وكَعْبه ثلاثة. مال المال، هو المال إذا ضُرب في نفسه، فإن المجتمع هو مال المال، وكذلك إذا ضُرب المكعب في كعبه صار مال المال. مثال ذلك: التسعة، هو مال لأنه مربع، فإذا ضربته في نفسه صار واحدًا وثمانين، وكذلك سبعة وعشرون هو مكعَّب، وإذا ضربته في كَعْبه وهو ثلاثة صار واحدًا وثمانين. المال إذا ضُرب في المكَعَّب سُمِّيَ: مال كعب، فإذا ضُرب مال المال في المكعب سُمي: الْمَبْلَغ. كَعْب كعب الشيء، في كلام أهل الجَبْر والمقابَلَة: هو الجَذْر المجهول. الجَبْر والمقابَلَة: صناعة من صناعات الحساب وتدبير حَسَن لاستخراج المسائل العويصة في الوصايا والمواريث والمعاملات والمطارَحات، وسُميت بهذا الاسم لِما يقع فيها من جَبْر النقصانات والاستثناءات، ومن المقابلة بالتشبيهات وإلقائها. مثال ذلك أن يقع في المسألة مال إلا ثلاثة أجذاره يعدل جذرًا؛ فجبره أن تقول: مال يعدل أربعة أجذار، وذلك ستة عشر؛ لأنك تممت المال وزدت عليه ما كان مستثنى منه فصار مالًا تامًّا، ثم احتجت أن تزيده مثل ذلك المستثنى على معادِله فصار المعادِل أربعة أجذار. وأما مثال المقابلة فمثل أن يقع في المسألة مال وجذران تعدل خمسة أجذار فتلقي الجَذْرين اللذين مع المال وتلقي مثل ذلك من معادلِه فيحصل مال يعدِل ثلاثة أجذار وذلك تسعة. حساب الخطأين أيضًا من تدابير الحساب لاستخراج مسائل الوصايا ونحوها، يُسَمَّى ذلك لأنه يؤخذ عدد ما يُستعمل فيه شرائط المسألة، فإن خرجت وإلا حُفظ مقدار ما وقع فيها من الخطأ وأُخذ عدد آخر وعُمل به مثل ذلك، فإن خرجت وإلا حُفظ مقدار الخطأ الثاني، ثم يُستخرج من هذين الخطأين حقيقة الصواب. ومن حسبانات الفقهاء تدبير الحَشْو، ويُسَمَّى: التَّتِمَّة، وحساب الدرهم والدينار، وحساب الديباج، ويقع في هذه كلها إما اعتياض، وإما اختلال واختلاف، وأحسنها وأجمعها الذي لا يختلف في حال هو حساب الجَبْر والمقابَلَة.