الفصل الثالث

الأعداد الكاملة والأعداد غير الكاملة

الأعداد الكاملة

من السهل غالبًا اكتشاف الخصائص الغريبة التي تُميِّز الأعداد الصغيرة؛ على سبيل المثال، هو العدد الوحيد الذي يساوي مجموع كل الأعداد السابقة له، بينما هو العدد الأولي الزوجي الوحيد (مما يجعله أغرب الأعداد الأولية على الإطلاق). وللعدد مزيَّة فريدة للغاية؛ هي أنه مجموع وحاصل ضرب كل عوامله الأصغر منه: .
أطلق الفيثاغورسيون على الأعداد التي على غرار «أعدادًا كاملة»؛ بمعنى أن العدد يساوي مجموع عوامله الحقيقية، كما نطلق عليها. وهي الأعداد التي يقبل العدد القسمة عليها وتكون أصغر منه. هذا النوع من الكمال نادر للغاية بالفعل. وأول خمسة أعداد كاملة هي و و و و . توجد الكثير من المعلومات المعروفة عن الأعداد الزوجية الكاملة، ولكن حتى يومنا هذا لم يستطع أحد الإجابة عن سؤال القدماء ما إذا كان يوجد عددٌ لا متناهٍ من هذه الأعداد المميزة. أكثر من ذلك أنه لم يجد أحد عددًا فرديًّا من هذه الأعداد، ولم يُثبت أحد عدم وجودها. لا بد لأي عدد فردي كامل أن يكون كبيرًا على نحو ضخم، وتوجد قائمة طويلة بالسمات التي يجب على مثل هذا العدد امتلاكها نتيجة لكماله الفريد. مع ذلك، لم تتسبب كل هذه القيود في عدم ظهور مثل هذا العدد حتى الآن؛ من الجائز أن تكون وظيفة هذه السمات الخاصة هي توجيه بحثنا نحو أول عدد فردي كامل بعيد المنال، الذي ربما لا يزال منتظرًا أن يكتشفه أحد.

كان إقليدس يعلم أن الأعداد الزوجية الكاملة ترتبط ارتباطًا وثيقًا بمتتاليةٍ من الأعداد الأولية خاصةٍ للغاية وتُعرف لدينا باسم «أعداد ميرسين الأولية»؛ التي سمِّيَت على اسم مارين ميرسين (١٥٨٨–١٦٤٨)، وهو راهب فرنسي عاش في القرن السابع عشر.

يتكون عدد ميرسين من المعادلة ؛ حيث عدد أولي. وإذا كانت — على سبيل المثال — أول أربعة أعداد أولية هي: و و و ، فإن أول أربعة من أعداد ميرسين هي: و و و ، ويمكن أن يدرك القارئ بسرعةٍ أنها أعداد أولية. إذا لم يكن عددًا أوليًّا، بافتراض أن مثلًا، فإن ليس عددًا أوليًّا أيضًا بالتأكيد؛ إذ إنه يمكن تأكيد صحة أن في هذه الظروف من عوامل العدد . مع ذلك، إذا كان عددًا أوليًّا، فإن عدد ميرسين الموازي غالبًا ما يكون عددًا أوليًّا، أو هكذا يبدو.
أوضح إقليدس عام ٣٠٠ قبل الميلاد أنه عندما يوجد لديك عدد ميرسين أولي، فإنه يوجد عدد كامل يتواجد معه، وهذا العدد هو . ويمكن للقارئ أن يتحقق سريعًا بالفعل من صحة أن أول أربعة أعداد ميرسين أولية تعطي أول أربعة أعداد كاملة مذكورة آنفًا: على سبيل المثال، باستخدام العدد الأولي الثالث 5 كنقطة انطلاق نحصل على العدد الكامل ، وهو العدد الكامل الثالث في القائمة السابقة. (عوامل العدد هي قوى العدد حتى ، مع قائمة الأرقام نفسها المضروبة في العدد الأولي . إنها الآن تمرينٌ على جمعِ ما يطلق عليه «متسلسلة هندسية» (ستُشرح في الفصل الخامس) للتحقق من أن العوامل الحقيقية للعدد تصل بالفعل عند جمعها إلى قيمة .)
علاوة على ذلك، في القرن الثامن عشر أثبت عالم الرياضيات السويسري الكبير ليونهارت أويلر (١٧٠٧–١٧٨٣) معكوسَ الصيغة السابقة بأن كل عدد زوجي كامل هو من هذا النوع. وبهذه الطريقة حقَّقَ إقليدس وأويلر مطابقة بين كل عدد من أعداد ميرسين الأولية وكل عدد من الأعداد الزوجية الكاملة. مع ذلك، فالسؤال الطبيعي التالي هو: هل كل أعداد ميرسين أولية؟ للأسف لا، وإثبات هذا الأمر قريب للغاية؛ إذ إن عدد ميرسين الخامس يساوي . في الواقع نحن لا نعرف حتى ما إذا كانت متتالية أعداد ميرسين الأولية ستنتهي أم لا؛ ربما بعد نقطة معينة سوف تصبح كل أعداد ميرسين أعدادًا مركبة.
مع ذلك، فأعداد ميرسين مرشحة بالمثل لأنْ تكون أعدادًا أولية طبيعية؛ إذ إنه يمكن إثبات أن أي قاسم (عامل) حقيقي — إذا وُجد — من قواسم عدد ميرسين يمتلك المعادلة المميزة للغاية . على سبيل المثال، عندما يكون ، ومن خلال هذه النتيجة نحتاج فقط أن نتحقق من قابلية القسمة على الأعداد الأولية ذات الصيغة . ويتطابق العاملان الأوليان و مع قيمة وقيمة على التوالي. تمدنا هذه الحقيقة حول قواسم أعداد ميرسين أيضًا بشيء إضافي؛ إذ إنها تقدم لنا طريقة ثانية لرؤية أنه لا بد من وجود عدد لا متناهٍ من الأعداد الأولية؛ حيث إنها تبيِّن أن أصغر قاسم أولي للمعادلة يتخطى ؛ ومن ثم فإن لا يمكن أن يكون أكبر عدد أولي. ولما كان هذا ينطبق على كل عدد أولي ، نستنتج أنه لا يوجد أكبر عدد أولي، وأن متتالية الأعداد الأولية تستمر للأبد.
نظرًا لأننا لا نمتلك طريقة لإنتاج الأعداد الأولية بإرادتنا، فإنه يوجد — دائمًا — أكبر عدد أولي معروف، وفي الوقت الراهن، أكبر عدد أولي دائمًا ما يكون عدد ميرسين الأوليَّ، وذلك بفضل المشروع الدولي «البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت» (جي آي إم بي إس)، وهو مشروع تعاوُنيٌّ بين مجموعة من المتطوعين بدأ في عام ١٩٩٦. يستخدم المشروع آلاف أجهزة الكمبيوتر الشخصية التي تعمل على نحو متوازٍ على اختبار أولية أعداد ميرسين باستخدام مزيج من الخوارزميات المصممة خصوصًا لهذا الغرض. والعدد الأكبر حاليًّا في العالم الذي أُعلن في أغسطس ٢٠٠٨ هو ؛ حيث ، على الرغم من اكتشاف عدد ميرسين جديد في أبريل ٢٠٠٩؛ حيث . ويتكون هذان العددان من حوالي ثلاثة عشر مليون خانة وسيتطلبان آلاف الصفحات من أجل كتابتهما بنظام العد العشري العادي.

الأعداد غير الكاملة

ترتكز المعرفة العادية للأعداد التقليدية على الأعداد المنفردة التي يُعتقد أنها تمتلك خصائص مميزة — إن لم تكن سحرية — على غرار الأعداد الكاملة. مع ذلك، فإن من أزواج الأعداد التي لها سمات مماثلة و ، وهما أول «زوج عددي متحابٍّ»؛ بمعنى أن مجموع العوامل الحقيقية لكل عدد منهما يساوي العدد الآخر؛ وهو نوع من الكمال الذي يشمل زوجًا من الأعداد. اكتَشف عالمُ الرياضيات الفرنسي الهاوي الشهير بيير دي فيرما (١٦٠١–١٦٦٥) أزواجًا أخرى من الأعداد المتحابة مثل العدد ، والعدد ، ، في حين اكتشف أويلر عشرات الأزواج الأخرى. والمثير للعجب أن كليهما أغفل الزوج الصغير و ، الذي اكتشفه نيكولو باجانيني في عام ١٨٦٦ عندما كان في السادسة عشرة من عمره. ويمكننا بالطبع محاولة تخطي الأزواج والبحث عن الثلاثيات والرباعيات، وما إلى ذلك. فالدورات الأطول نادرة ولكنها تظهر على نحو بارز.
يمكننا أن نبدأ بأي عدد، ونجد مجموع قواسمه الصحيحة، ونكرر العملية حيث نكوِّن ما يطلق عليه «متتالية القواسم الكاملة» للعدد. غالبًا ما تكون النتيجة محبطة قليلًا؛ إذ نحصل نموذجيًّا على سلسلة تتوجه نحو على نحو سريع جدًّا، وهي النقطة التي تتوقف عندها العملية. على سبيل المثال، حتى عند البدء بعدد يبدو واعدًا على غرار ، فإن السلسلة تكون قصيرة:
المشكلة هي أنك بمجرد أن تصل لعدد أولي، فقد انتهى الأمر. والأعداد الكاملة بالطبع استثناءات، فكلٌّ منها يقدم لنا دورة واحدة صغيرة، بينما تؤدي الأزواج المتحابَّة إلى دورتين:
ويُطلق على الأعداد التي تؤدي إلى أكثر من دورتين «أعداد اجتماعية». ولم تُدرس مطلقًا حتى القرن العشرين؛ إذ لم يَكتشف أحدٌ أيًّا منها. وحتى الآن لم يُكتشف عدد يؤدي إلى دورات ثلاثية، مع أنه يوجد في الوقت الحالي دورة رباعية معروفة. واكتشف بي بوليه في عام ١٩١٨ أول الأمثلة على ذلك. والدورة الأولى خماسية، وهي:
مثال بوليه الثاني مدهش للغاية، وحتى يومنا هذا لم تُكتشف أية دورة أخرى تكاد تضاهيها؛ إذ تبدأ بالعدد ونحصل منه على دورة من ثمانية وعشرين عددًا. وكل الدورات الأخرى المعروفة لا يتخطى طولُها عشرةَ أعداد. ولا توجد أيةُ نظريات حتى الوقت الراهن حول الأعداد المتحابة والأعداد الاجتماعية تضاهي جمال نظريتَي إقليدس وأويلر للأعداد الكاملة. مع ذلك، قادت طاقة الحوسبة الحديثة إلى شيء من النهضة التجريبية في هذا المجال، ويوجد المزيد مما يمكن قوله عن ذلك.
يمكننا تقسيم كل الأعداد إلى ثلاثة أنواع؛ «أعداد ناقصة» و«أعداد كاملة» و«أعداد زائدة»، وفقًا لكَوْنِ مجموع قواسمها الحقيقية أقلَّ من العدد نفسه أو مساويًا له أو أكبر منه. على سبيل المثال، وكما رأينا بالفعل، فإن العدد عدد زائد، وكذلك و ؛ إذ إن مجموع قواسمهما الحقيقية على التوالي هو و .
إن البحث البسيط عن الأعداد الصحيحة الزائدة قد يقودك إلى تخمين أنها ببساطةٍ مضاعفاتُ العدد . بالتأكيد أيُّ عدد أكبر من في صورة هو عدد زائد؛ حيث إن عوامل يجب أن تتضمن و و معًا مع و و ، يكون مجموعها أكبر من العدد الأصلي . مع ذلك، يمكن توسيع نطاق هذه الملاحظة لنبين أن الأعداد الزائدة لا تقتصر فقط على مضاعفات ؛ إذ يمكن أن نقول الأمر نفسه على أي عدد كامل . فعوامل سوف تتضمن مع كل عوامل العدد الكامل ، كلٌّ منها مضروب في ؛ وبهذا سيزيد مجموع كل العوامل الحقيقية للعدد على الأقل إلى ؛ ومن ثم فإن أي مضاعف لعدد كامل سوف يكون عددًا زائدًا. على سبيل المثال، عدد كامل؛ ومن ثم فإن و ، وما إلى ذلك، جميعها أعداد زائدة.
ومن هذا ندرك أن مضاعفات الأعداد الكاملة ومضاعفات الأعداد الزائدة — على نفس المنوال — أعدادٌ زائدة. وبالتوصل لهذا الاكتشاف، ربما لا تزال تخمن أن كل الأعداد الزائدة هي ببساطة مضاعفات للأعداد الكاملة. مع ذلك، فليس عليك البحث طويلًا من أجل اكتشاف أول استثناء لهذا التخمين؛ إذ إن عدد زائد، ولكن لا يوجد بين عوامله عدد كامل. وبالفعل العدد هو أول عدد يطلق عليه أنه غريب، ولكن ليس لهذا السبب بالضبط (ومصدر هذه التسمية مذكور لاحقًا).
على الرغم من هذه الاكتشافات، ربما تظل معتقدًا على الأرجح أنه على غرار عدم وجود أعداد كاملة فردية، لا يوجد أعداد زائدة فردية أيضًا. بعبارة أخرى، ربما يكون تخمينُنا المعدل هو أن كل الأعداد الفردية ناقصة. يبدو أن حساب مجموع القواسم الصحيحة لبضع مئات قليلة من الأعداد الفردية الأولى يؤكد هذه النظرية، ولكن يتضح خطأ هذا الادعاء في النهاية عند اختبار العدد ، الذي يصل مجموع قواسمه الحقيقية إلى . والآن أصبح بالإمكان القول بأن أي مضاعف من مضاعفات الأعداد الزائدة هو عدد زائد، وتُقدم لنا المضاعفات الفردية للعدد عددًا لا متناهيًا من الأعداد الزائدة الفردية.
ومع ذلك، إذا تصرفنا على نحو أكثر ذكاءً، يمكننا أن نكتشف هذا المثال الداحض بسرعةٍ أكبر من اختبارنا عددًا فرديًّا بعد آخَر دون تفكير. لكي يكون للعدد مجموع قواسم حقيقية كبير، فإنه يلزم وجود الكثير من العوامل، والعوامل الكبيرة بينها تأتي في حد ذاتها من خلال اقترانها بالعوامل الصغيرة. ومن ثم يمكِننا تكوين أعداد ذات مجموع قواسم صحيحة كبيرة عن طريق ضرب أعداد أولية صغيرة معًا. إذا كنا نركز على الأعداد الفردية فحسب، ينبغي أن نتوجه نحو الأعداد الناتجة عن الأعداد الأولية الفردية القليلة الأولى، وهي و و ، وما إلى ذلك. وستقودك هذه القاعدة الأساسية سريعًا إلى اختبار ؛ ومن ثم ستكتشف خاصية الزيادة بين الأعداد الفردية أيضًا.
ليس خافيًا أن أصغر مثال لعدد يحمل سمات معينة كبيرٌ نوعًا ما. وهذا حقيقي على نحو خاص إذا كانت السمات المعنيَّة تكوِّن ضمنيًّا بنية من العوامل المعينة في الأعداد اللازمة. وحينها يمكن أن يصبح أصغر مثال عددًا عملاقًا، مع أنه ليس صعبَ الاكتشافِ بالضرورة، إذا استغللنا السمات المعطاة خلال سَعْينا للوصول للحل. أحد الأمثلة لِلُغْزٍ عددي من هذا النوع هو إيجاد أصغر عدد يساوي خمسة أضعاف عدد مكعب، وثلاثة أضعاف عدد مرفوع للقوة . الإجابة عن هذا اللغز هي:
مع ذلك، ليس من الصعب إدراك السبب في أن أصغر حل لهذه المسألة عدد بالمليارات. فأي حل يجب أن يتضمن الصيغة ؛ حيث تكون و قوتين موجبتين، وتُجمَع كلُّ العوامل الأولية الباقية معًا لتكوِّن العدد الصحيح الذي لا يقبل القسمة على أو . إذا ركزنا أولًا على القيم المحتملة للعدد ، نلاحظ أنه نظرًا لأن خمسة أضعاف عدد مكعب، لا بد أن يكون الأس من مضاعفات ، ونظرًا لأن ثلاثة أضعاف عدد مرفوع للقوة الخامسة، فإن العدد ينبغي أن يكون من مضاعفات . أصغر عدد يتفق مع هذين الشرطين في الوقت نفسه هو . وعلى المنوال نفسه، ينبغي أن يكون الأس من مضاعفات ، بينما ينبغي أن يكون من مضاعفات ، وأقل يتوافق مع الشروط هو . ولِجَعْل في أصغر صورة ممكنة، نضع ؛ وبهذا يكون ؛ ومن ثم فإن يكون بالفعل ثلاثة أضعاف عدد مرفوع للقوة الخامسة، وفي الوقت نفسه ، وهكذا يكون أيضًا خمسة أضعاف عدد مكعب.

يوجد مثال شهير أكثر غرابة؛ يتمثل في مسألة الماشية المنسوبة إلى أرخميدس (٢٨٧–٢١٢ قبل الميلاد)، وهو أعظم عالم رياضيات في العصور القديمة. لم تُحل هذه المسألة حتى القرن التاسع عشر، فأصغر عدد لقطيع الماشية يتوافق مع كل الشروط الموضوعة في القصيدة الأصلية المكونة من أربعة وأربعين بيتًا يُمثَّل بعدد يزيد عدد خاناته عن مائتي ألف خانة!

التحذير الذي ينبغي استقاؤه من كل هذا هو أن الأعداد لا تُظهِر تنوُّعها الكامل إلا عندما نتوجه لعالَم الأعداد الكبيرة للغاية. ولهذا السبب، فإن مجرد حقيقة أنه لا يوجد أعداد فردية كاملة تتكون من أقل من ثلاثمائة خانة لا يخوِّلنا في حد ذاته أن نقول إنها قد لا تكون موجودة. مع ذلك، فإن بعض كبار الخبراء في هذا المجال سيندهشون إذا ظهر مثل هذا العدد.

بالعودة مرة أخرى إلى السلوك العام لمتتالية القواسم الكاملة، لا يزال يوجد سؤال لا يمكن لشخص أن يجيب عنه: ما هي الاحتمالات المتاحة لمتتالية القواسم الكاملة؟ إذا وصلَت المتتالية إلى عدد أولي، فإنها ستتوقف على الفور عند دائمًا، ولا يمكن القيام بذلك بطريقة أخرى. وإذا لم يحدث ذلك، فربما تكون المتتاليةُ دوريةً وتقدِّم عددًا اجتماعيًّا. مع ذلك، توجد احتمالية أخرى ذات صلة تنكشف من خلال حساب متتالية القواسم الكاملة للعدد :
ما حدث هنا هو أنه على الرغم من أن ليس عددًا اجتماعيًّا، فإن متتالية قواسمه الكاملة وصلت في النهاية إلى عدد اجتماعي (أو على نحو أكثر دقة، في هذه الحالة وصلتْ إلى العدد الكامل ) ثم بدأت في دورة.
من الجائز أن تكون هناك احتمالية واحدة باقية، وهي أن متتالية القواسم الكاملة لعدد لا تصل إلى عدد أولي أو إلى عدد اجتماعي أبدًا، وفي هذه الحالة لا بد أن تكون المتتالية سلسلة لا متناهية من الأعداد المختلفة التي لا تكون أعدادًا اجتماعية ولا أولية. هل هذا ممكن؟ ما يثير الدهشة أنه لا أحد يعرف. أما الأكثر إثارة للدهشة فهو أنه توجد أعداد صغيرة لا تزال متتاليةُ قواسمِها الكاملة غيرَ معروفة (ومن ثم فإنها تظل مرشحة لأنْ تمتلك متتالية قواسم كاملة لا متناهية). أول هذه الأعداد الغامضة هو ، الذي تبدأ متتاليته على هذا النحو:
ولكن لا يعرف أحد أين تنتهي بالضبط.
ربما يودُّ القارئ أن يستكشف هذا الأمر بنفسه قليلًا، وفي هذه الحالة ينبغي أن أُطْلعك على سرِّ كيفية حسابِ ما يطلق عليه «دالة القواسم الكاملة » من عملية تحليل العدد لعوامله الأولية: خذ كل نواتج ضرب الحدود ؛ حيث هو أعلى قوة أولية للعدد الأولي الذي يقسم ، ثم اطرح نفسه. على سبيل المثال: ؛ ومن ثم فإن:
وهو ما أُشيرَ إليه في الحد الثاني في متتالية القواسم الكاملة للعدد المذكورة آنفًا.
لا يوجد نهاية لأنواع الأعداد التي يمكننا تقديمها من خلال تسمية الأعداد التي لها علاقة محددة بدالة القواسم الكاملة. وكما ذكرنا بالفعل، يكون عددًا «كاملًا» إذا كان ، وعددًا «زائدًا» إذا كان . والعدد «شبه الكامل» هو العدد الذي يمثل مجموع بعض قواسمه الحقيقية (القواسم الأقل من )؛ ومن ثم فإنه ينتج من هذا التعريف أن كل الأعداد شبه الكاملة إما أن تكون أعدادًا كاملة وإما أن تكون أعدادًا زائدة. على سبيل المثال، العدد عدد شبه كامل؛ حيث إن ، ويطلق على العدد مسمَّى «غريب» إذا كان زائدًا ولكنه ليس شبه كامل، وأصغر عدد غريب هو .
يمكن للمرء أن يرى أن الموضوع أصبح متشعبًا للغاية في طبيعته؛ ومنْح أسماء لمجموعات محددة على نحو اعتباطي من الأعداد، في حد ذاته، لا يجعلها مثيرة للاهتمام. ينبغي أن نعرف متى نتوقف. وبالوصول إلى هذه المرحلة، من المهم إدراك أن الاستراتيجيات الأساسية المستخدمة في معالجة هذه الموضوعات الجديدة تُذكِّرُنا بما أوضحه إقليدس وأويلر فيما يخص الأعداد الكاملة. ولسوف تتذكر أن ما أَثبتَه إقليدس هو أنه إذا كان عدد ميرسين عددًا أوليًّا، فإن عددًا آخر كان زوجيًّا وكاملًا. بعد ذلك أَثبتَ أويلر على نحو معاكس أن كل الأعداد الزوجية الكاملة تَظهر بهذه الطريقة. وفي القرن التاسع أَثبتَ عالِم الرياضيات الفارسي ثابت بن قرة أنه لأيِّ عدد ثلاثةُ أعداد — إذا كانت كلها أولية — تسمح بتكوين زوج من الأعداد المتحابة. وعَمَّمَ أويلر نظريةَ ثابتٍ بعد ذلك في القرن الثامن عشر، ولكن حتى هذه المعادلة المحسنة يبدو أنها لا تُنتج إلا أزواجًا متحابة قليلة، وأنه يوجد أزواج متحابة كثيرة لا تَنتج عن تكوين هذا الزوج. (يُعرَف الآن ما يقرب من اثني عشر مليون زوج من الأزواج المتحابة.) وفي العصور الحديثة، وضع كرافيتز طريقة مشابهة لتكوين أعداد غريبة من أعداد معينة ينبغي أن تكون أولية، ووَجدت هذه الصيغةُ بنجاح عددًا غريبًا ضخمًا للغاية يتكون من أكثر من خمسين خانة.

لقد أسهم هذان الفصلان في تعريف القارئ بالعوامل وعملية تحليل الأعداد الطبيعية — أو «الأعداد الصحيحة الموجبة» كما تُعرف أيضًا — إلى عوامل، وتوضيحها باستخدام مجموعة متنوعة من الأمثلة. وهذا سيُعدُّك جيدًا للفصل التالي، والذي ستتعرف فيه على طريقة تطبيق هذه الأفكار على التشفير المعاصر؛ علم الأسرار.

جميع الحقوق محفوظة لمؤسسة هنداوي © ٢٠٢٠