تمهيدٌ موجز، لكنه ضروري

للأسف عليك بالفعل قراءة هذا التمهيد في البداية حتى تتمكَّن من فَهم خصائص بِنيوية مُعينة، وأجزاء مما قد يبدو ترميزًا في النص الأساسي. ومن صور هذا الترميز الاختصار «م. إ.» الذي ستجده كثيرًا في الكتاب. عليك أن تعلم أن هذا ليس لازمةً أو خطأً مطبعيًّا، لكنها الأحرُف الأولى من عبارة «معلومة إضافية» التي استُخدِمَت مرارًا وتَكرارًا في المسوَّدات الأولية، حتى إنها تحوَّلت، في نهاية المطاف، نظرًا إلى كثرة تَكرارها، من عبارةٍ لُغوية عادية كتقدِمة لجملة، إلى رمزٍ مجرد خارج النص، «م. إ.»، يعمل على تصنيف أجزاء مُعينة من النص بطريقةٍ محدَّدة سأشرحُها وأُوضحها الآن.

كغيره من كتيبات سلسلة «اكتشافات عظيمة»، يُعَد هذا الكُتيب واحدًا من المؤلَّفات المتخصصة التي كُتِبَت باللغة الرائجة. وموضوعُ الكتاب مجموعة من الإنجازات الرياضية الشديدة التجريد والتخصُّص، التي تتَّسم بقدرٍ كبير من العمق والإثارة والجمال في الوقت نفسِه. والهدف هو مناقشة هذه الإنجازات بطريقةٍ جذابة ومفهومةٍ للقرَّاء الذين ليست لديهم خلفياتٌ أو خبرات مُتخصصة في مجال الرياضيات. إذن الهدف هو إضفاءُ الجمال على الرياضيات، أو على الأقل مساعدة القارئ على إدراك حقيقة أنَّ الرياضيات مادة جميلة. كل هذا يبدو جيدًا للغاية، بطبيعة الحال، باستثناء أن هناك عقدةً بسيطة: كيف يُمكنك أن تجعل عَرضك المادةَ العلمية مُتخصِّصًا دون أن ينصرِف عنك ذِهنُ القارئ ودون أن تُغرِقه في كمٍّ هائل من التعريفات والتعليقات الجانبية؟ إضافةً إلى ذلك، إذا افترضتَ أن بعض القراء لديهم خلفية مُتخصِّصة أقوى من غيرهم بكثير، وهو أمر مُستحسَن، فكيف يُمكن تناول الموضوع بطريقة يَسهُل على المُبتدئين استيعابُها دون أن تكون مُملًّا أو مزعجًا بالنسبة إلى شخصٍ حصل على جانبٍ كبير من دراسة الرياضيات في الجامعة؟

في هذا الكتاب، تُشير عبارة «معلومة إضافية» إلى أجزاء من المادة العلمية التي يُمكنك أن تتأمَّلها، أو تفحصها، أو تتخطَّاها ببساطة إذا رغبتَ في ذلك. هذا معناه أن القارئ يُمكن أن يتخطاها دون أن يفقد السياق. أكثر من نصف الحواشي السُّفلية في الكتاب «معلومات إضافية» يُمكنك التعامُل معها حسبما يتراءَى لك، وكذلك الكثير من الفقرات المختلفة، بل وحتى مجموعة من الأجزاء الفرعية في مَتن الكتاب نفسِه. بعض هذه الأجزاء الاختيارية عبارةٌ عن استطرادات أو معلومات تاريخية عابرة،١ وبعضها عبارة عن تعريفاتٍ أو توضيحات يعلمها القارئ الخبير بالرياضيَّات؛ ولذا لا داعيَ لإهدار وقته في قراءتها. لكن الكثير من الأجزاء المسبوقة بعبارة «معلومة إضافية» تستهدف القارئ الذي لديه خلفية مُتخصِّصة قوية أو اهتمام استثنائي بالرياضيات أو صبرٌ غير عادي، أو كل هذه العناصر الثلاثة مُجتمِعةً؛ إذ تُسلِّط هذه الأجزاءُ الضوء بمزيدٍ من التفصيل على أجزاءٍ قد يمرُّ بها النقاش الرئيسي سريعًا أو يتغاضى عنها.

تُوجَد أيضًا اختصاراتٌ أخرى في هذا الكتيب، بعضُها يقتصر الغرَض منه على تقليل المساحة فحسْب، والبعض الآخر هو نِتاج مشكلةٍ أسلوبية غريبة في الكتابة التقنية، وهي استخدام الكلمات نفسِها مرارًا وتكرارًا بطريقةٍ تجعلها غيرَ ملائمة على نحوٍ مزعج في النثر العادي؛ الفكرة هي أن بعض الكلمات التقنية لها دلالاتٌ مُحدَّدة للغاية، لا يُمكن أن تتوفَّر في أي مرادفٍ لفظي، وهو ما يعني أن الاختصارات — لا سيَّما فيما يخصُّ بعض أسماء الأعلام في مجال التكنولوجيا المتطورة — هي الطريقة الوحيدة لتحقيق أي شكلٍ من التنويع. وفي الواقع، لا دخلَ لك بأيٍّ من ذلك. وعمومًا، إليك قائمة بالمصطلحات الرئيسية التي يُمكن استعراضُها والرجوع إليها عند الضرورة، وهذه المصطلحات هي ما تضمَّنتها قائمةُ الاختصارات في النسخة الإنجليزية:

تناظُر أُحادي One-to-One Correspondence
مُسلَّمة الاختيار Axiom of Choice
نظرية المجموعات البديهية Axiomatic Set Theory
نظرية فورييه التحليلية للحرارة Fourier’s Analytic Theory of Heat
نظرية ذات الحَدَّيْن Binomial Theorem
نظرية بولزانو — فايرشتراس Bolzano-Weierstrass Theorem
«الاتصال والأعداد غير النسبية» لديديكند Dedekind’s “Continuity and Irrational Numbers”
فرضية الاتصال Continuum Hypothesis
حاصل الضرب الديكارتي Cartesian Product
الأخوية الدينية الفيثاغورية، أو اختصارًا «الفيثاغورية» Divine Brotherhood of Pythagoras
المعادلة التفاضُلية Differential Equation
البرهان القُطري Diagonal Proof
نظرية فايرشتراس للقيم القُصوى Weierstrass’s Extreme Values Theorem
النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل Fundamental Theorem of the Calculus
المسألة العامة لتقارُب متسلسلة فورييه General Convergence Problem of Fourier Series
مبدأ التجريد المحدود Limited Abstraction Principle
قانون الوسط المُستبعَد (الثالث المرفوع) Law of the Excluded Middle
نيوتن ولايبنتس Newton and Leibniz
خط الأعداد Number Line
نظرية المجموعات المُبسَّطة Naive Set Theory
حُجة «الواحد والمُتعدد» لأفلاطون Plato’s One Over Many argument
مبدأ الاستقراء Principle of Induction
مفارقات اللانهائي لبولزانو Bolzano’s Paradoxes of the Infinite
مُسلَّمة مجموعة القوى Power Set Axiom
نظرية فيثاغورس Pythagorean Theorem
خط الأعداد الحقيقية Real Line
كتاب «عِلمان جديدان» لجاليليو Galileo’s Two New Sciences
مبدأ التجريد المحدود Unlimited Abstraction Principle
مُبرهنة الوحدانية Uniqueness Theorem
حلقة مُفْرَغة Vicious Circle
الارتداد اللانهائي المُنافي للمنطق Vicious Infinite Regress
نظام مسلَّمات فون نويمان-بيرنايز لنظرية المجموعات Von Neumann-Bernays system of axioms for set theory
مسألة الوتر المُهتَز Vibrating String Problem
معادلة مَوجية Wave Equation
نظام مُسلَّمات تسيرميلو-فرانكل-سكوليم لنظرية المجموعات Zermelo-Fraenkel-Skolem system of axioms for set theory
مفارقة زينون Zeno’s Paradox

هوامش

(١) م. إ.: هذا مثالٌ جيد على المعلومات الإضافية المُرفقة. فالمؤلف هنا هو واحد من الهواة الذين يتراوح اهتمامهم بالرياضيات والنظُم الشكلية ما بين المتوسط والقوي. كما أنه شخص يكره كلَّ مُقرَّرات الرياضيات التي درسها ولم يُبلِ فيها بلاءً حسنًا، باستثناء مُقررٍ واحد، لم يدرسه في الجامعة، ولكنه درسه على يد واحدٍ من أولئك المُختصين النادرين والذي يمكنه أن يجعل العِلم المجرد عِلمًا نابضًا بالحياة وجذَّابًا، والذي يتحدَّث إليك بينما يُحاضر، والذي يَعُدُّ أيَّ شيءٍ جيد عن هذا الكُتيب بمثابة تقليدٍ حَسن المقصد له، ولكنه ليس بقوة الأصل.

جميع الحقوق محفوظة لمؤسسة هنداوي © ٢٠٢١