الجزء الثاني

الجزء ٢(أ)

حان الآن إعلانُ البداية الحقيقية. هناك طريقتان لتتبُّع سياق نظرية المجموعات لكانتور. تتمثَّل الطريقة الأولى في الحديث عن العلاقة المُتداخلة المجرَّدة بين اللانهائية والنهاية على مدى تطوُّر الرياضيات. بينما تتمثَّل الطريقة الثانية في فحص الصراع التاريخي للرياضيات مع تمثيل الاتصال، أي جوانب الحركة المُتعاقبة بكثافة و/أو المُتدفِّقة بسلاسة وعمليات العالَم الحقيقي. أي شخص حتى لو كانت لديه معلومات مُشوَّشة للغاية في ذاكرته في مُقرَّر الرياضيات الجامعي لن يغيب عن ذهنه أن الاتصال والنهاية هما إلى حدٍّ كبير الركيزة التي يقوم عليها حساب التفاضل والتكامُل، وربما لا يغيب عن ذهنه أيضًا أنَّ لهما نفس الأصول العامة في الميتافيزيقا لدى الإغريق، ولهما مَصفوفتهما الخاصة في كتابات زينون الإيلي (٤٩٠–٤٣٥ قبل الميلاد)، الذي تُوفي وهو يقضم بأسنانه أُذن حاكم إيليا المُستبِد نيركوس الأول (وهي قصة طويلة)، والذي كانت المفارقات التي سُمِّيَت باسمه نقطة الانطلاق لكل شيء.

الفكرة هي أنَّ محاولات الأخوية الدينية الفيثاغورية للتعبير عن العلاقات بين الحقيقة الرياضية والعالَم المادي كانت جزءًا من مشروعٍ أكبرَ لفلسفةِ ما قبل سقراط، الذي كان الهدف منه في الأساس هو إعطاء تفسيرٍ عقلاني غير أُسطوري لِما كان حقيقيًّا، والمَنشأ الذي جاء منه. وقد يكون أهمَّ حتى من الأخوية الدينية الفيثاغورية، فيما يخصُّ اللانهائية، قانونُ الفيلسوف الصوفي الأول بارمينيدس الإيلي (٥١٥–؟ قبل الميلاد) ليس فقط لأنَّ تمييزه بين «طريق الحقيقة» و«طريق الظاهر» قد شكَّل مُصطلحات الميتافيزيقا الإغريقية (ومرَّة أخرى) أثَّر في أفلاطون، ولكن لأنَّ التلميذ الأول لبارمينيدس والمُدافع عنه كان زينون الإيلي، الذي هو الفيلسوف الإغريقي الأكثر ذكاءً ومُشاكسةً (والذي يُمكن أن يُرى حقًّا وهو يُجادل سقراط ويُشاكِسه، دافعًا بالحُجَّة، في كتاب «مُحاورة بارمينيدس» لأفلاطون). اتخَذت حُجج زينون عن الميتافيزيقا البارمينيدية — على النحو المذكور عنها — شكلَ عددٍ من المُفارقات الأكثر عُمقًا وحسمًا في تاريخ العالَم. وتأييدًا لعلاقة هذه المُفارقات الحاسمة بموضوعنا الشامل، إليكم اقتباسًا آخرَ عن بي راسل:

أولًا، لتقليل كلمة على الأقل، أنعِش ذاكرتك بإلقاء نظرةٍ على التمثيلَيْن البيانيين التقريبيَّين التاليَين، اللذين يخصُّ أحدهما المُتتابعة المتباعدة^١١ بينما يخصُّ الآخر المُتتابعة المتباعِدة :

لعلك لاحظتَ أننا تناوَلنا هذه الأنواع من الأسئلة أكثر من مرةٍ بالفعل، ومع ذلك ما زال يفصلنا عن جي كانتور أكثرُ من ٢٠٠٠ عام. هذه الأسئلة هي العُملة الفاسدة الحقيقية في قصة اللانهائية، ولا سبيلَ لتفاديها إذا كنتَ لا تريد استرجاع عددٍ من دروس الرياضيات المُجردة عن نظرية المجموعات غير المُنتهية. أما الآن، فقد حان الوقت لاستعراض حجة أفلاطون حول الواحد والمُتعدِّد، التي تتمثل في المعالجة الكلاسيكية لهذه الأسئلة حسبما تنطبق على قضية الإسناد ذات الصِّلة.

الجزء ٢(ب)

أرسطو هو أول فيلسوف لم يكن من أتباع أفلاطون حقًّا. ومع ذلك، فإنه فيما يخصُّ مفهوم الارتداد اللانهائي المُنافي للمنطق لزينون الذي ساقه أرسطو ضد المفاهيم الميتافيزيقية لأفلاطون، كان من الغريب ومن دواعي المفارقة أن محاولة أرسطو هي أيضًا المحاولة الأولى والأكثر أهمية من جانب الإغريق لتفنيد مُفارقات زينون. وهذا يُوجَد بالأساس في الأجزاء الثالث والسادس والثامن من كتاب «الطبيعة» أو «الفيزياء»، والجزء التاسع من كتاب «ما وراء الطبيعة» أو «الميتافيزيقا»، اللذَين تنتهي مناقشات زينون فيهما إلى أنَّ له تأثيرًا وخيمًا على أسلوب معالجة الرياضيات لمفهوم اللانهائية للألفَي سنة القادمة. وفي الوقت نفسه، نجح أرسطو بالفعل في توضيح الصعوبات الأساسية في بعض مُفارقات زينون على الأقل، ونجح كذلك في أن يطرح بوضوحٍ ولأول مرة بعض التساؤلات المُهمة حقًّا حول اللانهائية التي لم يُحاول أحدٌ — حتى أوائل القرن التاسع عشر — الإجابة عنها بطريقةٍ دقيقة، مثل: «ما المقصود بالضبط حين نقول إن شيئًا ما لا مُتناهٍ أو غير محدود؟» و«ما نوعية الأشياء التي يُمكننا أن نتساءل عمَّا إذا كانت لا مُتناهية أم لا؟»

وفيما يخصُّ الأسئلة المحورية، ربما تذكُر ما اشتهر عن أرسطو من ولعِهِ بالتقسيم والتصنيف؛ فهو حرفيًّا مَنْ أدخل «التحليل» في الفلسفة التحليلية. انظر — على سبيل المثال — هذا المُقتطف من مناقشة التقسيم الثنائي في الجزء السادس من كتاب «الطبيعة»: «هناك مفهومان يُسمَّى بموجبهما الطولُ والزمن وعمومًا أيُّ شيءٍ مُتصل بأنه «غير متناهٍ»: إنَّها تُسمَّى كذلك إما من حيث قابليتها للتقسيم وإما من حيث نهاياتها القصوى أو أطرافها [= الحجم].» وهو ما يُعتبَر المرة الأولى على الإطلاق التي يُشير فيها أحدٌ إلى وجود أكثرَ من معنًى لمفهوم «اللامُتناهي». أراد أرسطو بالأساس التمييز بين معنًى قويًّا أو كَمِّيًّا، وهو ما يعني حرفيًّا حجمًا غيرَ مُتناهٍ أو طولًا غير مُتناهٍ أو مدةً غير متناهية، ومعنًى أضعفَ يتضمَّن قابلية التقسيم اللامُتناهي لطولٍ مُتناهٍ. وحسبما يزعم، فإنَّ التمييز الأهمَّ يتضمَّن الزمن: «على الرغم من أنه لا يُمكن لشيءٍ في زمن مُتناهٍ أن يتَّصِل بأشياءَ غير مُتناهية كمًّا، فإنه يُمكنه الاتصال بأشياءَ غير متناهيةٍ من حيث قابلية التقسيم؛ لأنه طبقًا لهذا المفهوم يُصبح الزمن نفسُه غيرَ مُتناهٍ أيضًا.»

يبدو هذا كله بالطبع مُتشابكًا ومُعقدًا إلى حدٍّ كبير، ولهذا تناولَت الكثيرُ من المِهَن تعريفات أرسطو بالمناقشة والشرح. ويكفي هنا القول إنَّ مسألة الوجود الفعلي مقابل الوجود الاحتمالي للَّامتناهي تقع في صميم موضوعنا بالفعل، ولكن ممَّا لا يُمكن إنكاره أن من الصعب معالجتها هنا. وفي النهاية، فإنَّ تفسيرات أرسطو وأمثلته:

(معلومة إضافية: مَلمحٌ أخير من التعقيد: في الغالب، ما يُسمِّيه أرسطو «عددًا» (أي، الكميات الرياضية بصفةٍ عامة) يكون فيما يبدو غير مُتناهٍ احتماليًّا، ليس على النحو الذي يكون به القياس غير مُتناهٍ احتماليًّا، ولكن على النحو الذي تكون به مجموعة كل توقيتات الساعة ٦:٥٤ صباحًا لا نهائية احتماليًّا. على سبيل المثال، مجموعة كل الأعداد الصحيحة تكون غيرَ مُنتهية احتماليًّا؛ بمعنى أنه لا يُوجَد عدد صحيح أكبر (في اتجاه الكبر، يُمكن دائمًا التفكير في عددٍ أكبر)، ولكنها ليست في الواقع غيرَ مُنتهية؛ لأن المجموعة لا تُوجَد على هيئة كيانٍ واحد مُكتمِل. بعبارة أخرى، الأعداد عند أرسطو تتألَّف من متوالية مستمرة: يُوجَد الكثير من الأعداد على نحوٍ غير مُتناهٍ، ولكنها لا توجَد جميعًا معًا على نحو مُتزامن «الشيء الواحد يمكن أن يُفضيَ إلى شيءٍ آخر إلى ما لا نهاية».)

وتفنيدًا للقسمة الثنائية لزينون، فإن التمييز بين اللانهائية الاحتمالية في مقابل اللانهائية الفِعلية غيرُ مُقنع على الإطلاق — ومن الواضح أنه غير مُقنع حتى لأرسطو، الذي يبدو أنَّ من الممكن رفضَ حُجته المعروفة باسم «الرجل الثالث» لكونها غير مُتناهية احتماليًّا فحسْب. ولكن، في نهاية المطاف، اتَّضح أن التمييز مُهم للغاية للرياضيات على مستوى النظرية والتطبيق. والفكرة باختصار أن إحالة اللانهائية إلى حالة الاحتمالية قد سمح للرياضيات الغربية بطرح الكميات غير المُنتهية أو على الأقل تبرير استخدامها، أو أحيانًا كِلا الأمرَين معًا، حسْب ما هو مطلوب. الموضوع كله غريب جدًّا؛ فمن جهة، أعطت حجة أرسطو مصداقية لرفض الإغريق لفكرة اللانهائية و«حقيقة» المُتسلسلات غير المنتهية، وكان ذلك سببًا رئيسيًّا أنهم لم يضَعوا ما نعرفه الآن باسم حساب التفاضُل والتكامُل. ومن جهةٍ أُخرى، فإن إسباغ وجودٍ مجرد أو نظريٍّ على الأقل، على الكميات غيرِ المُنتهية، قد سمح لبعض علماء الرياضيات الإغريق باستخدامها في أساليبَ أقرب، على نحوٍ ملحوظ، إلى حساب التفاضُل والتكامل، قريبة جدًّا لدرجة أنه من المُستغرَب وقتَها أنَّ الأمر استغرق ١٧٠٠ عام لوضع حساب التفاضُل والتكامُل الحقيقي. ولكن، بالرجوع إلى المَلمح الأول، كان السبب الرئيسي في أنَّ الأمر استغرق ١٧٠٠ عام هو مفهوم الاحتمالية لأرسطو الذي كان يحمِل ظلالًا ميتافيزيقية، والذي نُبِذَت فيه اللانهائية، وهو ما أجاز حساسية الرياضيات تجاه مفهومٍ لا يُمكن حقًّا معالجته بأي حالٍ من الأحوال.

الجزء ٢(ﺟ)

على الرغم من أنه لا يخفى على أحدٍ شكلُ خطِّ الأعداد،^٣٠ سنُقدِّم نسخةً هنا من خط الأعداد، بدءًا من الصفر الذي لم يكن موجودًا لدى الإغريق؛ لأنه أمرٌ غير مُهم حتى هذه اللحظة:

الجزء ٢(د)