ملاحق

(١) ملحق أ: تحويل وحدات الطاقة

لأن الطاقة أحد أهم الكميات، فهناك العديد من وحدات الطاقة التي عادة ما تسبب الحيرة. عبر هذا الكتاب، استخدمنا وحدات نظام الوحدات الدولي مع كل الكميات الفيزيائية. فوحدة الطاقة في هذا النظام هي الجول، المُعَرَّفَة بأنها الطاقة القادرة على دفع جسم بقوة قدرها نيوتن واحد عبر مسافة متر واحد، وذلك كما يلي:

(A-1)

إن وحدة هذا النظام الخاصة القدرة وهي الواط تساوي جول في الثانية:

(A-2)
يعرض الجدول أ-1 لأكثر وحدات الطاقة والقدرة شيوعًا.
جدول أ-1: وحدات الطاقة والقدرة.
الاسم الرمز يساوي
كيلوجول kJ 103J
ميجاجول MJ 106J
جيجاجول GJ 109J
إكساجول EJ 1018J
كيلوواط kW 103W
ميجاواط MW 106W
جيجاواط GW 109W
تيراواط TW 1012W

إن القدرة الكهربية هي حاصل ضرب التيار بالأمبير وفرق الجهد بالفولت:

(A-3)

عادة ما تستخدم شركات الطاقة وحدة طاقة مشتقة من القدرة الكهربية وهي الكيلوواط في الساعة:

(A-4)
في الفيزياء الميكروسكوبية، عادة ما تُستخدم الإلكترون فولت (eV) كوحدة للطاقة. ولأن شحنة الإلكترون هي تساوي ، فإن 1eV يساوي . هناك وحدة أخرى يُشاع استخدامها في الأدبيات الفيزيائية وهي الكالوري، وتعريفها هو: الطاقة المطلوبة لرفع درجة جرام واحد من الماء بمقدار درجة مئوية واحدة. ولأن قدر الطاقة المطلوب في درجات الحرارة المختلفة يكون مختلفًا، فإن تعريف هذه الوحدة غير معروف، لكن هناك تعريف لها دقيق ومقبول على نطاق واسع وهو:
(A-5)
إن الكيلو كالوري الواحد يساوي بالضبط 4184J؛ لذا فإن استخدام وحدات نظام الوحدات الدولي مفضل أكثر، إلا إذا اقتضت الضرورة غير ذلك.
في الولايات المتحدة الأمريكية، عادة ما تُستخدم الوحدة الحرارية البريطانية (Btu) باعتبارها وحدة الطاقة. وتعريفها هو: الطاقة اللازمة لرفع درجة حرارة رطل واحد من الماء بمقدار درجة فهرنهايت واحدة. على نحو مماثل للكالوري، إن القيمة الدقيقة لتلك الوحدة غير معروفة. يُعرِّف الجدول الدولي تلك الوحدة بأنها تساوي 1055.06J، وهي قيمة قريبة جدًّا من 1kJ. وعند التعامل مع مشكلات الطاقة المتجددة، يمكن استخدام التقريب التالي:
(A-6)
بالنسبة للكميات الكبيرة من الطاقة، هناك وحدة شائعة الاستخدام هي الإكسا جول التي تساوي 1018J. في الولايات المتحدة الأمريكية، الوحدة المقابلة للكميات الكبيرة من الطاقة هي كوادريليون الوحدة الحرارية البريطانية والتي تعريفها 1015Btu. ولأن الوحدة الحرارية البريطانية الواحدة قريبة جدًّا من 1kJ، فلأغراض عملية، يمكننا اعتبار أن الوحدتين متساويتان تقريبًا.
(A-7)
هناك وحدة أخرى للكميات الكبيرة من الطاقة وهي التيرا واط في الساعة (TWh). وهي مساوية لمليار كيلو واط في الساعة أو 0.0036EJ. وهي تساوي أيضًا 3.6 × 1015J. والإكسا جول الواحد يساوي 277.8TWh.
في مجال صناعة الطاقة، عادة ما تُستخدم وحدتا الجيجا واط والتيرا واط. والجيجا واط في العام تساوي 3.156 × 1016J، أي، تقريبًا 1/32EJ. والتيرا واط في العام تساوي 3.156 × 1019J، أي، تقريبًا 32EJ. في عام 2007، وصل معدل استهلاك العالم من الطاقة تقريبًا إلى 500EJ أو متوسط قدرة قدره 15TW، أما عن معدل استهلاك الطاقة في أمريكا، فوصل تقريبًا إلى 100EJ أو متوسط قدرة قدره 3TW. في عام 2008، قل الاستهلاك الأمريكي قليلًا عن هذا الرقم.
فيما يلي بعض العلاقات التقريبية المهمة التي يجب ذكرها في هذا الإطار:
  • البرميل الواحد من النفط الخام يساوي 5.8 × 106Btu.
  • القدم المكعب الواحد من الغاز الطبيعي يساوي تقريبًا 1000Btu أو 1MJ.
  • الثيرم الواحد من الغاز الطبيعي يساوي 100000Btu؛ أي، تقريبًا 100MJ.
  • الكيلو جول لكل مول الواحد يساوي 0.01036eV؛ أي، تقريبًا 10meV.
  • الكيلو كالوري لكل مول الواحد يساوي 0.0434eV.

(٢) ملحق ب: حساب المثلثات الكروية

عندما ننظر إلى السماء، يبدو أن الشمس وكل النجوم موجودة في «كرة» ذات نصف قطر كبير لكن غير معروف. بعبارة أخرى، يُحدَّد موقع الشمس من خلال نقطة على «الكرة السماوية». من ناحية أخرى، سطح كوكب الأرض، إلى حد بعيد، كرة. ويمكن تحديد أي موقع على الأرض من خلال نقطة على «الكرة الأرضية»؛ تحديدًا من خلال دائرة العرض وخط الطول. في كلتا الحالتين، نحن نتعامل مع هندسة الأشكال الكروية.

من أجل دراسة موقع الشمس بالنسبة لموقع محدد على الأرض، سنربط إحداثيات الموقع الموجود على الكرة الأرضية مع موقع الشمس على الكرة السماوية. وستكون الأداة الرياضية في هذه الدراسة هي «حساب المثلثات الكروية». في هذا الملحق، سنعرض مقدمة موجزة عن هذا الفرع من حساب المثلثات، تكفي للتعامل مع مشكلة تتبع ضوء الشمس.

(٢-١) المثلث الكروي

يقطع أي مستوى يمر بمركز كرة السطح في دائرة تُسمى «الدائرة الكبرى». وبالنسبة لأي نقطتين و على الكرة، إذا لم يمر الخط بالمركز ، فهناك دائرة كبرى واحدة فقط تمر بالنقطتين. وتعريف الزاوية ، التي تقل عن 180 درجة أو بالراديان، هو طول قوس . ومع وجود النقاط الثلاثة و و على الكرة، يمكن تحديد ثلاث دوائر كبرى. وتُكوِّن الأقواس الثلاثة و و ، الذي كل منها أقل من 180 درجة أو بالراديان، «مثلثًا كرويًّا»؛ انظر الشكل ب-1.
figure
شكل ب-١: المثلث الكروي: «الدائرة الكبرى» هي تقاطع مستوى يقطع الكرة في نصفين متساويين مع الكرة. ومع وجود النقاط الثلاثة و و على الكرة، يمكن تحديد ثلاث دوائر كبرى. وتُكون الأقواس الثلاثة و و ، الذي كل منها أقل من 180 درجة أو بالراديان، «مثلثًا كرويًّا».
باستخدام الترميز القياسي، رمزنا لأضلاع المثلث و و و و ، على التوالي. إن طول الضلع يساوي قيمة زاوية وطول الضلع b يساوي قيمة زاوية وطول الضلع c يساوي قيمة زاوية . وتتحدد رءوس الزوايا الخاصة بالمثلث بشكل مشابه؛ فزاوية الرأس هي الزاوية بين خط مستقيم المتماس مع وخط مستقيم آخر المتماس مع AC، وهكذا.

(٢-٢) صيغة جيب التمام

في حساب المثلثات المستوية، هناك ما يُعرف بصيغة جيب التمام:

(B-1)

في حساب المثلثات الكروية، هناك صيغة مماثلة:

(B-2)
عندما تكون الأقواس قصيرة ويقترب المثلث الكروي من المثلث المستوي، تُختزل المعادلة B-2 إلى المعادلة B-1. في واقع الأمر، بالنسبة للأقواس الصغيرة:
(B-3)

و

(B-4)
وهكذا. وتعويض المعادلتين B-3 وB-4 في المعادلة B-2 يختزلها في المعادلة B-1.
سنعطي هنا برهانًا بسيطًا على صيغة جيب التمام في حساب المثلثات الكروية بالقياس بتلك الخاصة بحساب المثلثات المستوية. لتبسيط الترميز، سنجعل نصف قطر الكرة . وبمد الخط ليتقاطع مع خط متماس مع في النقطة ، سيكون لدينا:
(B-5)
بالمثل، بمد الخط ليتقاطع مع خط متماس مع AC في النقطة ، سيكون لدينا:
(B-6)
بالنسبة للمثلث المستوي ، باستخدام صيغة جيب التمام المستوية، نحصل على:
(B-7)
بالمثل، بالنسبة للمثلث المستوي :
(B-8)
بطرح المعادلة B-7 من المعادلة B-8، وملاحظة أن:
(B-9)

نحصل على:

(B-10)
وبضرب الطرفين في ، نحصل على:
(B-11)
بالمثل، بالنسبة لزاويتي الرأس و :
(B-12)
(B-13)
figure
شكل ب-٢: اشتقاق صيغة جيب التمام: يعتمد الاشتقاق على إسقاط مثلث كروي على مستوى وصيغة جيب التمام في حساب المثلثات المستوية. يتقاطع خط مستقيم متماس مع القوس مع امتداد الخط في النقطة . ويتقاطع خط مستقيم آخر متماس مع القوس AC مع امتداد الخط في النقطة . وبتطبيق صيغة جيب التمام في حساب المثلثات الكروية على المثلثين و وبعد بعض العمليات الجبرية البسيطة، نحصل على صيغة جيب التمام المقابلة.

(٢-٣) صيغة الجيب

في حساب المثلثات المستوية، هناك ما يُعرف بصيغة الجيب:

(B-14)

في حساب المثلثات الكروية، هناك صيغة مماثلة:

(B-15)
من الواضح أنه بالنسبة للأقواس الصغيرة، ستُختزَل المعادلة B-15 إلى المعادلة B-14.
لإثبات المعادلة B-14، سنعيد كتابة المعادلة B-2 على النحو التالي:
(B-16)

بالتربيع، سنحصل على:

(B-17)

يمكن إعادة كتابة الجانب الأيسر كما يلي:

(B-18)

أو

(B-19)

حيث إن:

(B-20)

تحدد:

(B-21)
يمكن إعادة كتابة المعادلة B-20 كما يلي:
(B-22)
بالتعريف، في المثلث الكروي، دائمًا ما تكون الأضلاع وزاويا الرءوس أقل من 180 درجة. ومن ثَم، في المعادلة B-22، يكون مسموحًا فقط بالعلامة الموجبة. ولأن متماثلة مع و و ، نحصل على:
(B-23)

(٢-٤) الصيغة

سنكتب صيغة جيب التمام B-11 بالشكل التالي، ونستخدم المعادلة B-13:
(B-24)
بقسمة الطرفين على ، نحصل على «الصيغة »:
(B-25)

بالمثل:

(B-26)
(B-27)

وهكذا.

مسائل

  • (ب-1) أثبت أنه إذا كان أحد الأقواس يساوي 180 درجة، فلا يمكن إنشاء مثلث كروي.
  • (ب-2) إذا كانت إحدى زوايا الرءوس لمثلث كروي، على سبيل المثال، ، زاوية قائمة، أثبت أنه بالنسبة للأقواس الصغيرة تؤدي صيغة جيب التمام إلى نظرية فيثاغورس.
  • (ب-3) باستخدام صيغتَيْ جيب التمام والجيب، أثبت أن:
    (B-28)