ملاحق

(١) ملحق أ: تحويل وحدات الطاقة

لأن الطاقة أحد أهم الكميات، فهناك العديد من وحدات الطاقة التي عادة ما تسبب الحيرة. عبر هذا الكتاب، استخدمنا وحدات نظام الوحدات الدولي مع كل الكميات الفيزيائية. فوحدة الطاقة في هذا النظام هي الجول، المُعَرَّفَة بأنها الطاقة القادرة على دفع جسم بقوة قدرها نيوتن واحد عبر مسافة متر واحد، وذلك كما يلي:

(A-1)

إن وحدة هذا النظام الخاصة القدرة وهي الواط تساوي جول في الثانية:

(A-2)

يعرض الجدول أ-1 لأكثر وحدات الطاقة والقدرة شيوعًا.

جدول أ-1: وحدات الطاقة والقدرة.

الاسم	الرمز	يساوي
كيلوجول	kJ	10³J
ميجاجول	MJ	10⁶J
جيجاجول	GJ	10⁹J
إكساجول	EJ	10¹⁸J
كيلوواط	kW	10³W
ميجاواط	MW	10⁶W
جيجاواط	GW	10⁹W
تيراواط	TW	10¹²W

إن القدرة الكهربية هي حاصل ضرب التيار بالأمبير وفرق الجهد بالفولت:

(A-3)

عادة ما تستخدم شركات الطاقة وحدة طاقة مشتقة من القدرة الكهربية وهي الكيلوواط في الساعة:

(A-4)

في الفيزياء الميكروسكوبية، عادة ما تُستخدم الإلكترون فولت (eV) كوحدة للطاقة. ولأن شحنة الإلكترون هي تساوي ، فإن 1eV يساوي . هناك وحدة أخرى يُشاع استخدامها في الأدبيات الفيزيائية وهي الكالوري، وتعريفها هو: الطاقة المطلوبة لرفع درجة جرام واحد من الماء بمقدار درجة مئوية واحدة. ولأن قدر الطاقة المطلوب في درجات الحرارة المختلفة يكون مختلفًا، فإن تعريف هذه الوحدة غير معروف، لكن هناك تعريف لها دقيق ومقبول على نطاق واسع وهو:

(A-5)

إن الكيلو كالوري الواحد يساوي بالضبط 4184J؛ لذا فإن استخدام وحدات نظام الوحدات الدولي مفضل أكثر، إلا إذا اقتضت الضرورة غير ذلك.

في الولايات المتحدة الأمريكية، عادة ما تُستخدم الوحدة الحرارية البريطانية (Btu) باعتبارها وحدة الطاقة. وتعريفها هو: الطاقة اللازمة لرفع درجة حرارة رطل واحد من الماء بمقدار درجة فهرنهايت واحدة. على نحو مماثل للكالوري، إن القيمة الدقيقة لتلك الوحدة غير معروفة. يُعرِّف الجدول الدولي تلك الوحدة بأنها تساوي 1055.06J، وهي قيمة قريبة جدًّا من 1kJ. وعند التعامل مع مشكلات الطاقة المتجددة، يمكن استخدام التقريب التالي:

(A-6)

بالنسبة للكميات الكبيرة من الطاقة، هناك وحدة شائعة الاستخدام هي الإكسا جول التي تساوي 10¹⁸J. في الولايات المتحدة الأمريكية، الوحدة المقابلة للكميات الكبيرة من الطاقة هي كوادريليون الوحدة الحرارية البريطانية والتي تعريفها 10¹⁵Btu. ولأن الوحدة الحرارية البريطانية الواحدة قريبة جدًّا من 1kJ، فلأغراض عملية، يمكننا اعتبار أن الوحدتين متساويتان تقريبًا.

(A-7)

هناك وحدة أخرى للكميات الكبيرة من الطاقة وهي التيرا واط في الساعة (TWh). وهي مساوية لمليار كيلو واط في الساعة أو 0.0036EJ. وهي تساوي أيضًا 3.6 × 10¹⁵J. والإكسا جول الواحد يساوي 277.8TWh.

في مجال صناعة الطاقة، عادة ما تُستخدم وحدتا الجيجا واط والتيرا واط. والجيجا واط في العام تساوي 3.156 × 10¹⁶J، أي، تقريبًا 1/32EJ. والتيرا واط في العام تساوي 3.156 × 10¹⁹J، أي، تقريبًا 32EJ. في عام 2007، وصل معدل استهلاك العالم من الطاقة تقريبًا إلى 500EJ أو متوسط قدرة قدره 15TW، أما عن معدل استهلاك الطاقة في أمريكا، فوصل تقريبًا إلى 100EJ أو متوسط قدرة قدره 3TW. في عام 2008، قل الاستهلاك الأمريكي قليلًا عن هذا الرقم.

فيما يلي بعض العلاقات التقريبية المهمة التي يجب ذكرها في هذا الإطار:

البرميل الواحد من النفط الخام يساوي 5.8 × 10⁶Btu.
القدم المكعب الواحد من الغاز الطبيعي يساوي تقريبًا 1000Btu أو 1MJ.
الثيرم الواحد من الغاز الطبيعي يساوي 100000Btu؛ أي، تقريبًا 100MJ.
الكيلو جول لكل مول الواحد يساوي 0.01036eV؛ أي، تقريبًا 10meV.
الكيلو كالوري لكل مول الواحد يساوي 0.0434eV.

(٢) ملحق ب: حساب المثلثات الكروية

عندما ننظر إلى السماء، يبدو أن الشمس وكل النجوم موجودة في «كرة» ذات نصف قطر كبير لكن غير معروف. بعبارة أخرى، يُحدَّد موقع الشمس من خلال نقطة على «الكرة السماوية». من ناحية أخرى، سطح كوكب الأرض، إلى حد بعيد، كرة. ويمكن تحديد أي موقع على الأرض من خلال نقطة على «الكرة الأرضية»؛ تحديدًا من خلال دائرة العرض وخط الطول. في كلتا الحالتين، نحن نتعامل مع هندسة الأشكال الكروية.

من أجل دراسة موقع الشمس بالنسبة لموقع محدد على الأرض، سنربط إحداثيات الموقع الموجود على الكرة الأرضية مع موقع الشمس على الكرة السماوية. وستكون الأداة الرياضية في هذه الدراسة هي «حساب المثلثات الكروية». في هذا الملحق، سنعرض مقدمة موجزة عن هذا الفرع من حساب المثلثات، تكفي للتعامل مع مشكلة تتبع ضوء الشمس.

(٢-١) المثلث الكروي

يقطع أي مستوى يمر بمركز كرة السطح في دائرة تُسمى «الدائرة الكبرى». وبالنسبة لأي نقطتين و على الكرة، إذا لم يمر الخط بالمركز ، فهناك دائرة كبرى واحدة فقط تمر بالنقطتين. وتعريف الزاوية ، التي تقل عن 180 درجة أو بالراديان، هو طول قوس . ومع وجود النقاط الثلاثة و و على الكرة، يمكن تحديد ثلاث دوائر كبرى. وتُكوِّن الأقواس الثلاثة و و، الذي كل منها أقل من 180 درجة أو بالراديان، «مثلثًا كرويًّا»؛ انظر الشكل ب-1.

شكل ب-١: المثلث الكروي: «الدائرة الكبرى» هي تقاطع مستوى يقطع الكرة في نصفين متساويين مع الكرة. ومع وجود النقاط الثلاثة و و على الكرة، يمكن تحديد ثلاث دوائر كبرى. وتُكون الأقواس الثلاثة و و، الذي كل منها أقل من 180 درجة أو بالراديان، «مثلثًا كرويًّا».

باستخدام الترميز القياسي، رمزنا لأضلاع المثلث و و ﺑ و و، على التوالي. إن طول الضلع يساوي قيمة زاوية وطول الضلع b يساوي قيمة زاوية وطول الضلع c يساوي قيمة زاوية . وتتحدد رءوس الزوايا الخاصة بالمثلث بشكل مشابه؛ فزاوية الرأس هي الزاوية بين خط مستقيم المتماس مع وخط مستقيم آخر المتماس مع AC، وهكذا.

(٢-٢) صيغة جيب التمام

في حساب المثلثات المستوية، هناك ما يُعرف بصيغة جيب التمام:

(B-1)

في حساب المثلثات الكروية، هناك صيغة مماثلة:

(B-2)

عندما تكون الأقواس قصيرة ويقترب المثلث الكروي من المثلث المستوي، تُختزل المعادلة B-2 إلى المعادلة B-1. في واقع الأمر، بالنسبة للأقواس الصغيرة:

(B-3)

(B-4)

وهكذا. وتعويض المعادلتين B-3 وB-4 في المعادلة B-2 يختزلها في المعادلة B-1.

سنعطي هنا برهانًا بسيطًا على صيغة جيب التمام في حساب المثلثات الكروية بالقياس بتلك الخاصة بحساب المثلثات المستوية. لتبسيط الترميز، سنجعل نصف قطر الكرة . وبمد الخط ليتقاطع مع خط متماس مع في النقطة ، سيكون لدينا:

(B-5)

بالمثل، بمد الخط ليتقاطع مع خط متماس مع AC في النقطة ، سيكون لدينا:

(B-6)

بالنسبة للمثلث المستوي ، باستخدام صيغة جيب التمام المستوية، نحصل على:

(B-7)

بالمثل، بالنسبة للمثلث المستوي :

(B-8)

بطرح المعادلة B-7 من المعادلة B-8، وملاحظة أن:

(B-9)

نحصل على:

(B-10)

وبضرب الطرفين في ، نحصل على:

(B-11)

بالمثل، بالنسبة لزاويتي الرأس و:

(B-12)

(B-13)

شكل ب-٢: اشتقاق صيغة جيب التمام: يعتمد الاشتقاق على إسقاط مثلث كروي على مستوى وصيغة جيب التمام في حساب المثلثات المستوية. يتقاطع خط مستقيم متماس مع القوس مع امتداد الخط في النقطة . ويتقاطع خط مستقيم آخر متماس مع القوس AC مع امتداد الخط في النقطة . وبتطبيق صيغة جيب التمام في حساب المثلثات الكروية على المثلثين و وبعد بعض العمليات الجبرية البسيطة، نحصل على صيغة جيب التمام المقابلة.

(٢-٣) صيغة الجيب

في حساب المثلثات المستوية، هناك ما يُعرف بصيغة الجيب:

(B-14)

في حساب المثلثات الكروية، هناك صيغة مماثلة:

(B-15)

من الواضح أنه بالنسبة للأقواس الصغيرة، ستُختزَل المعادلة B-15 إلى المعادلة B-14.

لإثبات المعادلة B-14، سنعيد كتابة المعادلة B-2 على النحو التالي:

(B-16)

بالتربيع، سنحصل على:

(B-17)

يمكن إعادة كتابة الجانب الأيسر كما يلي:

(B-18)

أو

(B-19)

حيث إن:

(B-20)

تحدد:

(B-21)

يمكن إعادة كتابة المعادلة B-20 كما يلي:

(B-22)

بالتعريف، في المثلث الكروي، دائمًا ما تكون الأضلاع وزاويا الرءوس أقل من 180 درجة. ومن ثَم، في المعادلة B-22، يكون مسموحًا فقط بالعلامة الموجبة. ولأن متماثلة مع و و، نحصل على:

(B-23)

(٢-٤) الصيغة

سنكتب صيغة جيب التمام B-11 بالشكل التالي، ونستخدم المعادلة B-13:

(B-24)

بقسمة الطرفين على ، نحصل على «الصيغة »:

(B-25)

بالمثل:

(B-26)

(B-27)

وهكذا.

مسائل

(ب-1) أثبت أنه إذا كان أحد الأقواس يساوي 180 درجة، فلا يمكن إنشاء مثلث كروي.
(ب-2) إذا كانت إحدى زوايا الرءوس لمثلث كروي، على سبيل المثال، ، زاوية قائمة، أثبت أنه بالنسبة للأقواس الصغيرة تؤدي صيغة جيب التمام إلى نظرية فيثاغورس.
(ب-3) باستخدام صيغتَيْ جيب التمام والجيب، أثبت أن:

(B-28)

(B-29)

وهكذا.
(ب-4) بالنسبة لمثلث كروي مستطيلي حيث تساوي 90 درجة، أثبت أن:

(B-30)

(B-31)

(B-32)

(B-33)

(B-34)

(B-35)

(٣) ملحق ﺟ: مقدمة لميكانيكا الكم

عادة ما تبدأ أي مقدمة لميكانيكا الكم بتناول معادلة شرودنجر واستخدام المعادلات التفاضلية الجزئية كأدوات رياضية. على سبيل المثال، تُحَل مسألة ذرة الهيدروجين من خلال التوافقيات الكروية ومتعددات حدود لاجير. من العيوب المحتملة لهذا الأسلوب أن القراء يغرقون في صفحات عديدة من الصيغ الرياضية ويفقدون الفهم المفاهيمي للجانب الفيزيائي. تاريخيًّا، قبل اكتشاف إرفين شرودنجر لصيغة المعادلة التفاضلية الجزئية، طور هايزنبرج وباولي الأسلوب الجبري لميكانيكا الكم، وحَلَّا العديد من المسائل الأساسية في ميكانيكا الكم، بما في ذلك الهزاز التوافقي والزخم الزاوي وذرة الهيدروجين. ومن منظور تعليمي، يمكن أن يكون الترميز المقتضب للأسلوب الجبري، وبخاصة ترميز ديراك، من الناحية المفاهيمية مرتبطًا على نحو مباشر أكثر مع الجوانب الفيزيائية الخاصة به. ومن منظور عملي، لتناول المسائل المتعلقة باستخدام الطاقة الشمسية، لا يُعد استخدام أسلوب تحليليٍّ للمعادلات التفاضلية الجزئية طريقة مفيدة؛ لأن الحسابات الرقمية والطرق الاضطرابية هي الأسلوب السائد في هذا الشأن. علاوة على ذلك، تعتمد الطرق الأكثر تقدمًا الخاصة بميكانيكا الكم، مثل الديناميكا الكهربية الكمية، على الأسلوب الجبري وليس أسلوب المعادلات التفاضلية الجزئية.

يعرض هذا الملحق ملخصًا موجزًا للأسلوب الجبري الخاص بميكانيكا الكم، ممثلًا في مسائل الهزاز التوافقي والزخم الزاوي وذرة الهيدروجين. من أجل الوضوح، نستخدم ترميز ديراك مع إضافة علامة إقحام فوق المؤثر لتمييزه عن العدد (بوجه عام المركب).

(٣-١) الهزاز التوافقي

إن المؤثر الهاملتوني لهزاز توافقي أحادي البعد هو:

(C-1)

بحيث يحقق الزخم والإحداثي علاقة التبادل:

(C-2)

سنُدخل مؤثرين؛ الأول «مؤثر الإفناء»:

(C-3)

والثاني «مؤثر التخليق»:

(C-4)

وسيتضح معناهما جيدًا بعد قليل. باستخدام علاقة التبادل C-2، نحصل على:

(C-5)

وعلاقة التبادل:

(C-6)

للوصول إلى الحالات الذاتية ومستويات الطاقة الخاصة بالمؤثر الهاملتوني C-1:

(C-7)

يكفي تحديد الحالات والقيم الذاتية للمؤثر :

(C-8)

و. ونتيجة للمعادلة C-6، إذا كانت حالة ذاتية بقيمة ذاتية ، فإن أيضًا حالة ذاتية:

(C-9)

بقيمة ذاتية . ولأن لا يجب أن يكون سالبًا، فيجب أن تكون هناك حالة ذاتية بقيمة دنيا، . وبالنسبة لحالة كهذه:

(C-10)

على الجانب الآخر، إذا كانت حالة ذاتية بقيمة ذاتية ، فإن أيضًا حالة ذاتية:

(C-11)

بقيمة ذاتية . وبدءًا من ، بتطبيق عدة مرات، نحصل على:

(C-12)

من ثَم، نخلص إلى أن القيم الذاتية للمؤثر أعداد صحيحة غير سالبة ويمكن إنشاء الحالات الذاتية من الحالة التي قيمتها الذاتية صفر:

(C-13)

الخطوة الأخيرة هي تحديد ثابت المعايرة . والحالة ذات الترتيب صفر بالتعريف تكون معايرة:

(C-14)

بتطبيق عدة مرات، نحصل على:

(C-15)

وهكذا نحصل على ما يلي: ، وأخيرًا:

(C-16)

وتلك أيضًا حالات ذاتية لمسألة الهزاز التوافقي:

(C-17)

وهكذا أصبح مستوى الطاقة للهزاز التوافقي مكممًا، بكموم طاقة . ويضيف المؤثر كموم طاقة للهزاز، ومن هنا، جاءت التسمية «مؤثر التخليق»؛ في حين أن المؤثر يحذف كموم طاقة من الهزاز، ومن هناك جاءت التسمية «مؤثر الإفناء». ويلعب هذان المؤثران دورًا مهمًّا في الديناميكا الكهربية الكمية أو النظرية الكمية الرئيسية للإشعاع.

(٣-٢) الزخم الزاوي

يشبه تعريف الزخم الزاوي في ميكانيكا الكم ذلك الخاص بالميكانيكا الكلاسيكية، فيما عدا أن ترتيب الإحداثي r والزخم p ثابت:

(C-18)

أو بترميز الممتدات:

(C-19)

بحيث إن «الممتد المحوري الواحد» هو ممتد غير متماثل لكل اللواحق الثلاثة، مع كون تساوي 1، ويغير العلامة عن طريق تبادل ترقيمين متطابقين، بحيث تكون القيمة صفرًا. ويُضمن المجموع فوق و.

لتبسيط الترميز، سنُعرِّف نسخة لابعدية من الزخم الزاوي:

(C-20)

يمكن الوصول إلى علاقات التبادل من علاقات تبادل الزخم والإحداثي:

(C-21)

وهي:

(C-22)

أو بصيغة الممتدات:

(C-23)

من المكونات، يمكننا تكوين مؤثر باعتباره مربع معامل متجه الزخم الزاوي:

(C-24)

ونتيجة لعلاقات التبادل C-22، يتبادل مع مكون؛ على سبيل المثال:

(C-25)

من ثَم، يمكننا إيجاد الحالات التي في نفس الوقت حالة ذاتية لكل من و:

(C-26)

فيما يلي سندخل مؤثرين مماثلين لمؤثري الإفناء والتخليق في مسألة الهزازات التوافقية:

(C-27)

اللذين لهما علاقتا التبادل:

(C-28)

(C-29)

والمتطابقة:

(C-30)

باستخدام حجج مماثلة لتلك الموجودة في مسألة الهزاز التوافقي، سنجد أن أيضًا حالة ذاتية ﻟ بقيمة ذاتية وأن حالة ذاتية ﻟ بقيمة ذاتية . وبتطبيق هذين المؤثرين عدة مرات، نحصل على:

(C-31)

(C-32)

لكن بسبب المعادلة C-24، القيمة الذاتية ﻟ لا يمكن أن تزيد على نحو لا نهائي. فيجب أن يكون لقيمتها المطلقة حد أقصى. وبسبب التماثل، يجب أن تكون القيمة المطلقة لكل من الحدين الأقصى الموجب والسالب متساوية. كذلك، ولأن الفرق بين الحدين الأقصى الموجب والسالب يجب أن يكون عددًا صحيحًا، فيجب أن يكونا نصف عدد صحيح. وبالترميز لهذا العدد ﺑ ، يجب أن تكون القيم الذاتية الممكنة ﻟ ، التي عادة ما يُرمز لها ﺑ ، كما يلي:

(C-33)

بحيث:

(C-34)

من الواضح أن ، القيمة المطلقة القصوى ﻟ هي أيضًا العدد الكمي للزخم الزاوي الإجمالي . فيما يلي سنصل إلى القيمة الذاتية للمؤثر . ولأن تساوي 1 هي القيمة الذاتية القصوى ﻟ ، فيجب أن نحصل على ما يلي:

(C-35)

في ضوء المعادلة C-30:

(C-36)

ولأن و مستقلتان، فسنحصل أخيرًا على القيم والحالات الذاتية لمؤثر الزخم الزاوي:

(C-37)

(٣-٣) ذرة الهيدروجين

في الفيزياء الكلاسيكية، إذا كانت كتلة البروتون كبيرة، فإن المؤثر الهاملتوني لذرة الهيدروجين يكون:

(C-38)

بحيث تساوي ؛ ارجع للفصل الثاني. وبسبب التماثل الكروي للمسألة، يبقى الزخم الزاوي ثابتًا. ومتجه الزخم الزاوي دائمًا ما يكون عموديًّا على مستوى الحركة:

(C-39)

بالإضافة إلى الزخم الزاوي، هناك متجه آخر يبقى ثابتًا وهو مرتبط بالاتجاه الثابت للمحور الطويل للمدار، الذي هو نتيجة تفاعل كولوم. وهو يُسمى متجه رنج-لنز على اسم مكتشفيه:

(C-40)

ولأن متجه الزخم الزاوي عمودي على المستوى المداري ويوجد متجه رنج-لنز في المستوى، يكون المتجهان عموديين كل منهما على الآخر:

(C-41)

في عام 1926، قبل عام من توصل شرودنجر إلى معادلته التفاضلية وحله لمسألة ذرة الهيدروجين، حل فولفجانج باولي مسألة القيمة الذاتية باستخدام الأسلوب الجبري لفيرنر هايزنبرج اعتمادًا على ثابتي حركة. كانت معالجة باولي للمسألة كما يلي:

في ميكانيكا الكم، المؤثر الهاملتوني هو مؤثر:

(C-42)

والزخم الزاوي الذي أيضًا مؤثر:

(C-43)

يحقق علاقة التبادل:

(C-44)

ويتبادل أيضًا مع المؤثر الهاملتوني C-42، ومن ثَم، ثابت حركة.

ولأن ليس هرميتيًّا، فقد عرَّف باولي مؤثرًا هرميتيًّا مكافئًا لمتجه رنج-لنز الكلاسيكي:

(C-45)

ومع بعض العمليات الجبرية البسيطة، ولكن المرهقة جدًّا، ثَبت أن هذا المؤثر يتبادل مع المؤثر الهاملتوني الميكانيكي الكمي، ارجع إلى المعادلة C-42. وقد نتج عن عمليات جبرية مماثلة علاقتا التبادل التاليتين:

(C-46)

(C-47)

والعلاقة:

(C-48)

ولأن يتبادل مع وهناك حالات ذاتية مشتركة، يمكن تعريف متجه مختزل:

(C-49)

تُختزل علاقتا التبادل في المعادلتين C-46 وC-47 إلى:

(C-50)

(C-51)

سنُدخل مؤثرين:

(C-52)

تُختزَل علاقتا التبادل إلى علاقتين بزخمين زاويين مستقلين:

(C-53)

(C-54)

(C-55)

باستخدام المعادلتين C-49 وC-52، تصبح المعادلة C-48:

(C-56)

من المعادلة C-52، نجد أن تساوي وأن القيم الذاتية ﻟ و متطابقة. وطبقًا لنظرية الزخم الزاوي (معادلة C-37)، كلاهما يساويان ؛ ومن ثَم فإن الحل سيكون:

(C-57)

من المعادلة C-34، يمكن أن يكون أي عدد صحيح موجبًا. وأخيرًا، تكون قيم الطاقة الذاتية لذرة الهيدروجين كما يلي:

(C-58)

(٤) ملحق د: إحصاء الجسيمات

في المعالجة الميكروسكوبية للمادة تتوزع الجسيمات، على سبيل المثال الجزيئات والإلكترونات، في نظام من «مستويات الطاقة». وتُحدد كيفية توزيع الجسيمات عبر مستويات الطاقة سلوك النظام بطريقة رائعة. وفيما يتعلَّق بتطبيقات الطاقة الشمسية، من المهم أن يكون لدينا فهم ﻟ «إحصاء ماكسويل-بولتزمان» و«إحصاء فيرمي-ديراك». إن إحصاء ماكسويل-بولتزمان مناسب لنظام من «الجسيمات غير المتماثلة» مستويات طاقته تسمح بشغل غير محدود، في حين أن إحصاء فيرمي-ديراك مناسب لنظام من «الجسيمات المتماثلة» مستويات طاقته تسمح بشغل محدود؛ أي، نظام يحقق مبدأ الاستبعاد لباولي.

تتمثَّل نقطة البدء في الاشتقاق في تعبير بولتزمان الخاص بالقصور الحراري:

(D-1)

بحيث هو ثابت بولتزمان و هو العدد الإجمالي لتكوينات النظام.

تأمَّل وضعًا فيه جسيمات في نظام يتكون من سلسلة من مستويات الطاقة. عدد الشغل للمستوى ذي الترتيب هو . وطاقة المستوى ذي الترتيب هي ، وإجمالي طاقة النظام هي . لدينا الشرطان التاليان:

(D-2)

إن شرط تحقيق التوازن هو أن يصل القصور الحراري، المعادلة D-1، للحد الأقصى في ظل الشرطين المذكورين في المعادلة D-2.

بديهيًّا، كلما كان التوزيع منتظمًا، زادت العشوائية أو القصور الحراري. لكن يضيف شرط الطاقة الإجمالية الثابتة شرطًا آخر؛ من المفضل أن توجد جسيمات أكثر في مستويات الطاقة الأقل وجسيمات أقل في مستويات الطاقة الأعلى. ويمكن حل المسألة باستخدام مبرهنة فيرما إلى جانب طريقة «مضاعف لاجرانج». وبإدخال مضاعفي لاجرانج و، يكون شرط تحقيق التوازن هو:

(D-3)

يمكن الوصول إلى التوزيع من خلال الجمع بين حل المعادلة D-3 والشرطين المعروضين في المعادلتين D-1 وD-2.

في عملية الحساب، نحتاج لقيمة تقريبية لمشتق ﻟ N كبيرة. ويمكن التعبير عن هذا ببساطة كما يلي:

(D-4)

(٤-١) إحصاء ماكسويل-بولتزمان

بالنسبة لإحصاء ماكسويل-بولتزمان، فيما يتعلَّق بالنظم الذرية الكلاسيكية، تكون الجسيمات غير متماثلة وعدد جسيمات كل مستوى طاقة غير محدود. ويمكن تحديد التكوينات الممكنة كما يلي:

افترض أن العدد من الجسيمات موجود في حاويات بأعداد شغل و و… و و… وهكذا. تأمَّل الآن عدد الطرق التي يمكن من خلالها وضع الجسيمات في الحاوية 1. أولًا، اختر أحد الجسيمات للموضع الأول في الحاوية 1؛ أي، طرق العدد . بعد ذلك، اختر أحد الجسيمات الباقية للموضع الثاني في الحاوية 1. يؤدي هذا إلى الطرق . وهناك أيضًا الطرق . وبالاستمرار في هذه العملية، يكون العدد الإجمالي للطرق هو . لكن سيكون وضع الجسيمات في الحاوية عشوائيًّا؛ لذا هناك تكرار نسبته ضِعْف. وإجمالي طرق الوضع تكون:

(D-5)

بالمثل، ينتج عدد طرق وضع الجسيمات المتبقية في الحاوية 2 عاملًا:

(D-6)

بالمثل:

(D-7)

بالاستمرار في العملية أكثر، نحصل في النهاية على:

(D-8)

والقصور الحراري سيكون:

(D-9)

وسيكون شرط التوازن الحراري:

(D-10)

والنتيجة:

(D-11)

ويمكن تفسير معنى معامل اعتمادًا على مبادئ الديناميكا الحرارية. ولأن النظام له درجة حرارة وحجم ثابتان، فطبقًا للمعادلة 6-28، سيكون لدينا:

(D-12)

بالتعامل مع و باعتبارهما متغيرين، وبمقارنة المعادلة D-3 بالمعادلة D-12، سنجد بديهيًّا أن:

(D-13)

يمكن تحديد الثابت من خلال الشرط الذي يقول إن العدد الإجمالي للجسيمات هو . ويمكن إعادة كتابة المعادلة D-11 كما يلي:

(D-14)

بحيث إن ثابت يُحدد من خلال الشرط التالي:

(D-15)

بعبارة أخرى:

(D-16)

بإدخال «احتمال» لمستوى الطاقة ذي الترتيب ، ، يمكن إعادة كتابة معادلة D-16 كما يلي:

(D-17)

من الواضح أن مجموع كل الاحتمالات يساوي 1:

(D-18)

(٤-٢) إحصاء فيرمي-ديراك

الإلكترونات فرميونات تتبع مبدأ الاستبعاد لباولي. فكل حالة يمكن أن تُشغَل فقط بإلكترون واحد. وتُحقق الإلكترونات إحصاء فيرمي-ديراك.

لكل قيمة طاقة، هناك حالات متعددة. على سبيل المثال، يمكن أن يكون لكل إلكترون حالتا لف لهما نفس مستوى الطاقة. دع «الانحلال»؛ أي، عدد الحالات في ظل طاقة ، يكون . ولا يجب أن يزيد عدد الإلكترونات الموجودة في مستوى الطاقة هذا، ، عن . ويكون عدد طرق الشغل المختلفة في حالات هو:

(D-19)

وهي معادلة تعد حالة خاصة من المعادلة D-5. وباتباع المعادلة D-3، نحصل على:

(D-20)

أو:

(D-21)

باستخدام المعادلة D-13 وإدخال احتمال ، نحصل على:

(D-22)

تُسمى المعادلة D-22 «دالة فيرمي». عند «مستوى فيرمي» ، يكون الاحتمال 1/2. ظاهريًّا:

(D-23)

في درجة الحرارة المنخفضة حيث ، يصبح إحصاء فيرمي-ديراك:

(D-24)

في درجات الحرارة العالية، أو في مستويات الطاقة العالية ، يُختزل إحصاء فيرمي-ديراك لإحصاء ماكسويل-بولتزمان:

(D-25)

(٥) ملحق ﻫ: الطيف الشمسي المرجعي لكتلة هواء 1.5

لتسهيل اختبار الخلايا الكهروضوئية الشمسية، طورت وعرَّفَت الجمعية الأمريكية للاختبار والمواد، بالتعاون مع صناعة الخلايا الكهروضوئية ومعامل البحث والتطوير الحكومية، توزيعين قياسيين للإشعاع الساقط الطيفي الشمسي الأرضي: الإشعاع الساقط الطيفي الطبيعي المباشر القياسي والإشعاع الساقط الطيفي العالمي القياسي، مع دمجهما معًا في مستند واحد وهو ASTM G-173-03؛ ارجع إلى الفصل الخامس قسم (٢-١).

قُدِّمَت البيانات الأصلية على نطاق الطول الموجي. إن الجدول التالي معروض على نطاق طاقة الفوتون. يعرض العمود الأول طاقة الفوتون بالإلكترون فولت، في حين يعرض العمود الثاني طيف الإشعاع الشمسي خارج الأرض، كتلة الهواء صفر. أما العمود الثالث، فيعرض طيف الإشعاع الشمسي الطبيعي المباشر، ويعرض العمود الرابع طيف الإشعاع الشمسي العالمي، بما في ذلك الإشعاع المشتَّت من السماء. كل بيانات الطيف معروضة ﺑ eV ().

جدول ﻫ-1: الطيف الشمسي المرجعي لكتلة هواء 1.5 ().

الطاقة (eV)	كتلة هواء صفر	إشعاع مباشر	إشعاع عالمي
0.32	116	94	94
0.33	128	105	105
0.34	135	104	104
0.35	141	110	109
0.36	146	75	74
0.37	156	37	37
0.38	163	27	26
0.39	168	52	52
0.40	178	25	25
0.41	184	32	32
0.42	192	16	16
0.43	200	0	0
0.44	208	0	0
0.45	216	0	0
0.46	223	0	0
0.47	232	0	0
0.48	240	0	0
0.49	251	11	11
0.50	265	104	105
0.51	274	163	164
0.52	283	199	201
0.53	292	247	250
0.54	301	268	271
0.55	313	294	299
0.56	322	294	299
0.57	328	310	315
0.58	338	321	326
0.59	345	286	290
0.60	358	252	256
0.61	370	154	156
0.62	380	214	218
0.63	385	46	47
0.64	399	2	2
0.65	409	0	0
0.66	406	0	0
0.67	427	0	0
0.68	433	31	31
0.69	447	214	219
0.70	456	367	376
0.71	460	396	406
0.72	477	448	460
0.73	482	459	471
0.74	494	470	483
0.75	497	472	485
0.76	507	489	503
0.77	513	479	493
0.78	516	474	487
0.79	523	507	522
0.80	528	505	520
0.81	529	472	486
0.82	530	392	404
0.83	533	212	218
0.84	535	147	151
0.85	536	116	119
0.86	538	52	53
0.87	541	20	21
0.88	544	1	1
0.89	547	0	0
0.90	547	0	0
0.91	549	4	4
0.92	551	204	211
0.93	553	327	340
0.94	558	429	447
0.95	564	494	516
0.96	562	528	552
0.97	575	488	510
0.98	573	516	540
0.99	574	547	573
1.00	576	545	571
1.01	579	522	547
1.02	577	487	510
1.03	579	485	508
1.04	577	461	483
1.05	582	467	489
1.06	577	398	418
1.07	584	245	257
1.08	579	204	213
1.09	583	141	148
1.10	578	129	135
1.11	581	298	314
1.12	578	445	468
1.13	571	506	534
1.14	576	523	553
1.15	578	532	563
1.16	584	539	571
1.17	586	546	578
1.18	586	550	582
1.19	589	553	587
1.20	591	555	589
1.21	589	552	586
1.22	597	558	593
1.23	592	553	587
1.24	599	559	595
1.25	600	546	581
1.26	599	484	514
1.27	596	454	482
1.28	595	360	382
1.29	593	268	284
1.30	601	233	247
1.31	593	229	243
1.32	607	149	158
1.33	603	351	374
1.34	596	471	503
1.35	602	408	435
1.36	599	422	450
1.37	596	430	460
1.38	598	471	504
1.39	596	545	585
1.40	591	544	584
1.41	590	544	584
1.42	591	544	586
1.43	579	532	572
1.44	596	544	586
1.45	554	504	543
1.46	589	534	577
1.47	593	530	573
1.48	589	507	548
1.49	590	471	508
1.50	586	453	488
1.51	587	439	474
1.52	594	481	521
1.53	587	521	566
1.54	585	514	558
1.55	584	514	557
1.56	581	509	555
1.57	592	525	572
1.58	586	526	572
1.59	587	526	572
1.60	583	519	567
1.61	576	452	493
1.62	587	212	229
1.63	584	414	452
1.64	583	517	564
1.65	578	511	560
1.66	577	508	557
1.67	560	488	535
1.68	575	485	532
1.69	570	447	490
1.70	565	414	454
1.71	570	427	469
1.72	559	384	421
1.73	562	477	526
1.74	566	485	535
1.75	567	479	527
1.76	561	462	509
1.77	561	467	514
1.78	564	444	491
1.79	565	420	462
1.80	555	396	434
1.81	556	471	519
1.82	556	471	520
1.83	554	467	517
1.84	553	464	513
1.85	555	464	512
1.86	556	456	504
1.87	552	443	489
1.88	519	422	467
1.89	519	420	465
1.90	538	432	477
1.91	536	425	471
1.92	542	439	486
1.93	533	430	474
1.94	539	430	475
1.95	535	422	467
1.96	526	403	446
1.97	537	403	446
1.98	519	401	442
1.99	528	406	450
2.00	521	404	448
2.01	511	396	439
2.02	519	400	443
2.03	518	397	441
2.04	522	396	440
2.05	513	386	430
2.06	510	383	427
2.07	513	379	422
2.08	511	373	413
2.09	507	369	411
2.10	481	347	386
2.11	504	376	420
2.12	509	380	424
2.13	499	369	411
2.14	492	356	398
2.15	487	351	393
2.16	496	358	400
2.17	473	342	383
2.18	484	354	396
2.19	466	342	383
2.20	468	343	385
2.21	458	336	377
2.22	458	337	379
2.23	466	342	385
2.24	460	337	381
2.25	455	333	376
2.26	448	326	368
2.27	451	328	371
2.28	443	322	365
2.29	415	302	342
2.30	434	316	358
2.31	447	323	366
2.32	415	299	339
2.33	443	318	361
2.34	433	310	354
2.35	392	282	320
2.36	429	309	351
2.37	409	295	335
2.38	394	283	323
2.39	356	254	291
2.40	403	288	330
2.41	392	279	320
2.42	414	294	337
2.43	406	286	328
2.44	396	277	319
2.45	410	286	328
2.46	386	268	309
2.47	377	263	304
2.48	385	269	311
2.49	394	274	316
2.50	395	274	318
2.51	383	266	308
2.52	371	255	297
2.53	372	256	296
2.54	357	244	283
2.55	340	231	269
2.56	378	256	298
2.57	385	258	302
2.58	381	254	297
2.59	378	250	293
2.60	367	243	285
2.61	371	246	289
2.62	365	241	284
2.63	349	229	271
2.64	356	233	277
2.65	339	221	263
2.66	349	228	271
2.67	355	230	272
2.68	355	229	273
2.69	341	218	261
2.70	342	218	261
2.71	347	220	265
2.72	333	212	253
2.73	324	204	245
2.74	344	215	260
2.75	338	210	254
2.76	325	201	244
2.77	320	198	240
2.78	298	182	221
2.79	304	184	226
2.80	302	182	225
2.81	284	171	209
2.82	248	148	183
2.83	274	163	201
2.84	286	170	210
2.85	248	146	181
2.86	255	149	185
2.87	219	127	158
2.88	180	104	130
2.89	234	135	168
2.90	241	137	172
2.91	252	143	179
2.92	247	139	175
2.93	251	141	178
2.94	258	144	182
2.95	237	131	166
2.96	238	130	166
2.97	248	135	172
2.98	249	135	173
2.99	236	127	163
3.00	244	130	168
3.01	234	123	159
3.02	208	109	142
3.03	236	123	160
3.04	217	112	146
3.05	221	114	148
3.06	229	117	153
3.07	227	115	151
3.08	235	119	157
3.09	226	113	150
3.10	213	106	140
3.11	161	79	106
3.12	94	46	61
3.13	156	75	101
3.14	114	54	73
3.15	98	46	63
3.16	160	75	102
3.17	157	73	100
3.18	139	64	88
3.19	121	56	77
3.20	124	56	78
3.21	121	54	75
3.22	114	51	71
3.23	85	38	53
3.24	104	46	64
3.25	140	61	85
3.26	130	56	79
3.27	150	64	91
3.28	149	63	90
3.29	126	53	76
3.30	117	49	70
3.31	105	43	62
3.32	119	48	70
3.33	131	53	77
3.34	130	52	76
3.35	141	56	82
3.36	127	50	73
3.37	135	52	77
3.38	139	53	79
3.39	123	47	70
3.40	113	43	64
3.41	112	42	63
3.42	106	39	59
3.43	101	36	55
3.44	110	39	60
3.45	82	29	45
3.46	84	29	46
3.47	92	32	50
3.48	108	37	58
3.49	115	39	62
3.50	111	37	59
3.51	95	32	50
3.52	99	32	52
3.53	105	34	55
3.54	95	30	49
3.55	90	28	46
3.56	90	28	46
3.57	93	29	47
3.58	92	28	46
3.59	82	25	41
3.60	87	26	43
3.61	98	29	48
3.62	95	28	47
3.63	90	26	44
3.64	98	27	46
3.65	90	25	43
3.66	86	23	41
3.67	77	20	35
3.68	75	20	34
3.69	84	22	39
3.70	90	23	41
3.71	85	21	36
3.72	86	21	38
3.73	88	21	38
3.74	87	20	36
3.75	94	22	39
3.76	91	21	38
3.77	81	18	32
3.78	84	17	31
3.79	86	18	34
3.80	81	16	30
3.81	70	13	23
3.82	64	12	23
3.83	56	10	19
3.84	59	10	18
3.85	60	10	19
3.86	65	11	20
3.87	64	9	16
3.88	59	8	16
3.89	57	7	14
3.90	65	8	14
3.91	56	7	13
3.92	47	5	9
3.93	52	5	10
3.94	55	5	9
3.95	57	4	8
3.96	54	4	8
3.97	55	3	7
3.98	58	3	6
3.99	50	2	5
4.00	39	1	3
4.01	46	1	3
4.02	49	1	2
4.03	47	1	2
4.04	43	0	1
4.05	44	0	1
4.06	48	0	1
4.07	46	0	0
4.08	47	0	0
4.09	41	0	0
4.10	33	0	0
4.11	34	0	0
4.12	31	0	0
4.13	33	0	0
4.14	35	0	0
4.15	33	0	0
4.16	37	0	0
4.17	34	0	0
4.18	38	0	0
4.19	39	0	0
4.20	36	0	0
4.21	36	0	0
4.22	38	0	0
4.23	36	0	0
4.24	38	0	0
4.25	40	0	0
4.26	41	0	0
4.27	38	0	0
4.28	32	0	0
4.29	24	0	0
4.30	20	0	0
4.31	22	0	0
4.32	23	0	0
4.33	15	0	0
4.34	10	0	0
4.35	13	0	0
4.36	19	0	0
4.37	20	0	0
4.38	20	0	0
4.39	17	0	0
4.40	13	0	0
4.41	9	0	0