الفصل العاشر

معادلات الحدود

أو اتصال الفئات وانفصالها وعلاقة ذلك بالمنطق الرمزي

إذا نظرنا إلى ألفاظ اللغة هذه النظرة التي تجعل من كل كلمة فيها (تقريبًا) رمزًا يدل على فئة معينة، كان الكلام في حقيقة أمره تصويرًا لاتصال الفئات وانفصالها، اتصالًا وانفصالًا يأتيان على صور عدة؛ فإذا كانت الجملة مُركَّبة من حدود كلية؛ كانت عبارة عن تصوير العلاقات بين الحدود من حيث اتصال فئاتها بعضها ببعض أو انفصالها بعضها عن بعض وبالتالي تكون الجملة في هذه الحالة عبارة عن معادلة رياضية تبين تساوي فئتين أو عدم تساويهما، ومن هنا نشأ التشابه بين المنطق والرياضة؛ ومن هنا أيضًا جاءت بداية المنطق الرياضي أو المنطق الرمزي.

فأهم ما يُعنى به المنطق الرمزي الحديث (وقد يُسمى بالمنطق الرياضي) هو محاولة إخضاع الحدود التي نستخدمها في تركيب القضايا المنطقية، لحساب دقيق كالذي نراه قائمًا بين الرموز الجبرية في علم الجبر، ولو وقفنا إلى دقة هذا الحساب، تحقَّق بذلك الأمل الذي كان يحلم به «ليبنتز»^١ وهو أن يصبح كل جدل عملية حسابية لا سبيل فيها إلى اختلاف الرأي بغير جدوى، ومن ثَم عُدَّ «ليبنتز» — بحقٍّ — مؤسِّس المنطق الرمزي الحديث، أو إن شئت فقل إنه كان مبشرًا باتجاه جديد أكثر منه واضعًا لأساس إيجابي للمنطق الرمزي.

لا يقتصر الأمر في المنطق الرمزي على مجرد استعمال رموز من أحرف الهجاء أو غيرها، لتحل محل الحدود أو القضايا، وإلا لكان مجهوده كله لعبة صبيانية لا طائل وراءها يستحق من القائمين به كل هذا الجهد، ولما كان في الاتجاه الجديد في المنطق شيء جديد؛ لأن أرسطو استخدم رموزًا ليدل بها على الحدود وهو يبحث موضوع القياس، إنما جوهر المنطق الرمزي هو تحيل القضية المنطقية إلى قضية شبيهة بمعادلات الجبر، وبذلك تصبح كل عملية فكرية أشبه بالمسألة الرياضية.

إنه لما قامت النهضة الأوروبية في القرنين السادس عشر والسابع عشر، شمل النهوض كل نواحي البحث العلمي، إلا المنطق، فقد أصيب عندئذٍ بالتدهور والانحلال، لأنه على الرغم من أهميته الكبرى لرجال العصور الوسطى، كان في عصر النهضة العلمية أداة عاجزة في أيدي العلوم الناهضة، بما في ذلك الرياضة نفسها، على شدة ما بينها وبين المنطق من صِلة الشبه؛ ومن ثَم أخذت قيمته تقل في أعين الناس.^٢

ثم ازداد الطين بلة على أيدي الفلاسفة أنفسهم، وذلك أن الفلسفة منذ نهضتها على يدي ديكارت، أخذت تزيد من اهتمامها بالعقل الإنساني وكيفية اكتسابه للمعرفة، حتى إذا ما دنا القرن الثامن عشر من ختامه، كان البحث في العقل قد أصبح أهم موضوع للفلسفة، وعندئذٍ ظنوا أن المنطق هو «علم التفكير» بمعنى أنه يبحث في التفكير ذاته بغض النظر عما يكون موضوعًا لهذا التفكير، فإذا ذكَّرنا القارئ بما قلناه في الفصل الأول من هذا الكتاب، من أن التفكير ليس إلا ما تدور به عضلات اللسان وأوتار الحلق — وما إلى ذلك — من حركات؛ هي الكلمات، التي نرتبها على هذا الوجه أو ذاك، دون أن يكون وراء هذه التشكيلات الكلامية كائن غيبي مستور اسمه «تفكير»؛ أدرك كم تخبط المنطق حين اتخذ العدم ميدانه الذي يجول فيه ويدور.

ها هنا نهض أول واضع حقيقي لأساس المنطق الحديث، وهو «جورج بول»^٣ إذ أخذ يوجِّه اهتمامه إلى الصيغ المختلفة للألفاظ والرموز، كيف تتصل وكيف تنفصل في تفكير الإنسان، بحيث استطاع أن يستخرج من ملاحظاته لاتصالها وانفصالها قوانين الفكر، شأنه في ذلك شأن العالم الحقيقي، يستعرض جزئيات حقيقية ليلتمس فيها العنصر المشترك بينها فيكون هو قانونها.

وقد نشر «جورج بول» بحثًا في مجلة رياضية عن «حساب المنطق» ختمه بعبارة تلخِّص موقفه من الموضوع؛ إذ قال: «إن الرأي الذي أعرضه في هذه الأبحاث عن طبيعة اللغة، جدير بشديد الاهتمام؛ فاللغة كما أعرضها في هذه الأبحاث، ليست مجرد مجموعة من الرموز، بل هي نسق من العبارات، تجري عناصرها (اتصالًا وانفصالًا) وفق قوانين؛ هي قوانين الفكر، والنتيجة التي لا أتردَّد في تعريضها للنقد الدقيق، هي أن هذه القوانين (التي تتركب بمقتضاها العبارات الكلامية) رياضية بمعنى هذه الكلمة الدقيق، فهي كالقوانين التي تتمثل في المدركات الكمية الخاصة التي نتصورها عن المكان والزمان والعدد والمقاييس.»^٤

ولسنا ندري إن كان «بول» قد ابتكر الفكرة ابتكارًا، دون أن يعلم أن أحدًا من قبله قد خطرت له الفكرة نفسها^٥ أم إنه قد استوحى فيها ما قرأه عن «ليبنتز»،^٦ ومهما يكُن من أمر، فأكثر ما يمكن أن يكون «بول» قد استفاده من سابقيه، هو مجرد الفكرة بأن المنطق يمكنه أن يستخدم أساليب الرياضة؛ وليس ذلك بالشيء الكثير، وإنه ليروي عن «بول» في تاريخ حياته، أنه قال لزوجته فيما بعد: إن الفكرة طرأت له أول مرة، وهو يمشي بين الحقول ذات يوم في صباه، وإنْ كان ذلك كذلك، فما أشبه الوحي هنا بوحي ديكارت وهو جالس إلى جانب المدفأة في «أولم».

الحق أننا قد تعودنا الرموز في الرياضة، حتى لنظنها خاصة بها، فلنذكر أن الرياضة نفسها، بدأت بغير رموزها المعروفة؛ فلم يكن عند اليونان رمز للصفر، وكانوا يستخدمون أحرف الهجاء للدلالة على الأعداد، ومن هنا استحال عليهم كثير من العمليات الرياضية، وليس في طبائع الأشياء ما يمنع أن يكون المنطق هو الذي استخدم الرموز التي تستخدمها الرياضة، وألا يكون الرياضيون قد سبقوا إلى استخدامها، ثم يجيئون بعدئذٍ ليستعيروا من المنطق رموزه.^٧

ولننظر الآن في كيفية استخدام «بول» للرموز الرياضية في المنطق، وقد أكمل الطريق بالتحوير والتعديل فيما بعد «شريدر»^٨ و«بيرس»،^٩ فكيف تخضع «الحدود» المنطقية (التي هي رموز لفئات من الأفراد في عالم الأشياء) لحساب مثل الحساب الرياضي، مستخدمة رموزًا كالرموز الرياضية؟

(١) عملية الضرب في المنطق

قد تتداخل فئتان إحداهما في الأخرى، تداخلًا يجعل طائفة من الأفراد منتمية إلى الفئتين معًا في وقت واحد؛ مثل قولنا: «الوزراء الجامعيون»، فهناك طائفة من الأفراد تنتمي إلى فئة الوزراء وإلى فئة الجامعيين في آنٍ واحد، فلو أسميتهم وزراء فأنت صادق، ولو أسميتهم جامعيين فأنت صادق أيضًا، ولو أسميتهم بالاسمين معًا، فقلت إنهم وزراء جامعيون فأنت صادق كذلك.

فلو رُمِز لفئة الوزراء بالرمز «س»، ولفئة الجامعيين بالرمز «ص»، ثم رمزنا بالرمز «أ» لفرد يجمع الصفتَين معًا؛ أي يدخل في الفئتين: فئة الوزراء وفئة الجامعيين في وقت واحد، كانت الصيغة الرمزية التي تعبر عن اتصال الفئتين معًا هي كالآتي:

(^Eأ): (أ ∈ س) ⋅ (أ ∈ ص)

وقراءة هذه الصيغة الرمزية تكون كالآتي:

هناك فرد واحد على الأقل هو «أ»، حيث يكون «أ» هذا عضوًا في فئة «س» وعضوًا في فئة «ص».

فلاحظ أن:

الرمز E معناه: «هناك فرد واحد على الأقل».

والرمز «:» يفصل الصيغة التي على اليمين عن الصيغة التي على اليسار؛ بحيث يجعل كلًّا منهما وحدة قائمة بذاتها.

والرمز «∈» معناه «… عضو في فئة …»

والرمز «⋅» معناه «و».

والفئة التي تتألَّف من الأفراد التي هي أعضاء في فئة «س» وفي فئة «ص» معًا تُسمَّى حاصل ضرب الفئتين، والعلامة الدالة على ذلك هي علامة الضرب في الرياضة، وهي ×.

وعلى ذلك فالصيغة الرياضية «س × ص» يكون معناها معادلًا لمعنى الصيغة التي أسلفناها؛ إذ هي تعني: «الفئة التي تجمع الفئتين معًا»: فئة «س» وفئة «ص».

وواضح أن كل عضو في فئة «س × ص» هو عضو في فئة «س» وحدها، وهو عضو في فئة «ص» وحدها.

ولشرح ذلك بطريقة «بول» نفسه، نقول: الأشياء التي في العالم مؤلفة من فئات، أي مجموعات، أفراد كل فئة منها بينها تشابه في الصفات، فكلمة «نهر» أو «شجرة» أو «كوكب» أو «كتاب» … إلخ، تدل على فئة أو مجموعة من أفراد، جُمِعَت تحت كلمة واحدة لأنها تؤلف طائفة واحدة متشابهة.

ارمز للفئات التي يتألف منها العالم بالرموز س، ص، ط … تجد أن كل رمز من هذه الرموز بمثابة أداة لفرز الأشياء بعضها عن بعض، ولذلك يُسمِّيها «بول» «رموز الفرز»:^١٠

فرمز «س» معناه هنا كل «السينات» بعد عزلها واستخراجها عما يجاورها ويحيط بها من سائر الأشياء.

ولو فرزنا «السينات»، ثم من طائفة «السينات» فرزنا طائفة «ص» كان الناتج هو الأفراد التي تتصف بالصفتين معًا: صفة «س» وصفة «ص»، وتكرار عملة الفرز على هذا النحو شبيه بعملية الضرب في الرياضة، ولذلك يجوز لنا أن نستعير لها نفس العلامة المستعملة لعملية الضرب في الرياضة، فنرمز لاجتماع فئتَي «س» و«ص» بالصيغة «س × ص» أو قد نستغني عن علامة الضرب — كما نفعل في الرياضة أيضًا — ونكتب الصيغة على هذا النحو: «س ص».

ولو عكسنا ترتيب عمليتَي الفرز، ففرزنا الأشياء التي هي «ص» أولًا، ثم من «الصادات» عُدنا ففرزنا ما هو «س»، حصلنا على النتيجة نفسها، وهي الأفراد التي تتصف بالصفتين معًا: صفة «س» وصفة «ص».

ولذا، ففي المنطق، كما هو في الرياضة سواء بسواء:

س × ص = ص × س.

أو س ص = ص س.

ذلك ما نسميه بمبدأ تبادل الحدود.^١١

ومن هذه العملية نفسها، ينتج لنا مبدأ آخَر وهو القائل بأنه إذا كانت لدينا فئتان متساويتان «س» و«ص» ثم وجدنا أن فردًا معينًا «ط» يتصف أيضًا بكونه «س»، عرفنا أنه كذلك متصف بكونه «ص»، وبعبارة رمزية:

إذا كانت س = ص

∴ ط × س = ط × ص

لأنَّ تَساوِي فئتَي «س» و«ص» معناه أن أفراد هذه الفئة منهما هي نفسها أفراد الفئة الأخرى: أو بعبارة أخرى «س» و«ص» تكونان مترادفتَين، اسمين على فئة واحدة؛ وهذه الفئة موصوفة بصفة ط، سواء أأسميتها «س» أم «ص».

ومن ذلك يتبيَّن لنا مبدأ آخر هو مبدأ الذاتية (الهوية) الذي رمزه:

س × س = س

أو س^٢ = س

(لاحظ أن هذه نقطة يختلف فيها جبر المنطق عن جبر الرياضة، لأن «س^٢» لا تساوي «س» في جبر الرياضة إلا إذا كانت س قيمتها ١).

ومعنى قانون الذاتية باللغة التي نتحدث بها الآن، هو أننا لو أجرينا عملية الفرز بين الأشياء لنخرج ما هو «س»، ثم أعدنا العملية نفسها من جديد، وأخرجنا ما هو «س» مرَّة أخرى، كانت الأفراد التي خرجت لنا بعملية الفرز في العملية الأولى هي نفسها الأفراد التي خرجت لنا في العملية الثانية، وهذا هو معنى قولنا بالصيغة الرمزية إن س × س = س «أو» س س = س أو «س^٢ = س».

لاحظ أننا حين رمزنا لمجموعات الأشياء بالرموز س، ص، ط … إلخ، لم نفرق بين ما هو اسم وما هو صفة، ولا بين ما هو جوهري وما هو عرضي؛ إذ كل ما يعنينا حين نستخدم رمزَي «س» و«ص» — مثلًا — ليدلَّا على فئتَين، هو أن نستطيع التمييز بين مدلولاتهما.

ولذا فعملية الضرب في المنطق تنطبق على كل اتصال بين فئتين، اتصال يجعل فردًا ما، أو عدة أفراد، منتمين إليهما معًا؛ فقولنا مثلًا: «رجال سود» فيه عملية ضرب منطقية، لأننا فرزنا فئة الرجال من معالم الأشياء، ثم فرزنا من فئة الرجال فئة السود؛ بحيث كان الناتج أفرادًا اجتمعت فيهم الصفتان: الرجولة والسواد؛ ونصل إلى النتيجة عينها، لو بدأنا بفرز الأشياء السوداء، ثم من هذه نعود فنفرز الرجال:

وإذا تصورنا فئة «س × ص» على أنها طائفة واحدة، لزم أن يكون كل فرد في «س» عضوًا في فئة «س × ص»، وكل فرد في «ص» عضوًا في فئة «س × ص» ونضع ذلك كله في صيغة رمزية واحدة فنقول:

(أ): [(أ ∈ س) (أ ∈ ص)] ⊂ (أ ∈ س × ص).

وهذه الصيغة تقرأ هكذا:

بالنسبة لأي فرد «أ» يصدق ما يلي وهو: إن كون «أ» عضوًا في فئة «س» وكونها عضوًا في فئة «ص» أيضًا، كل ذلك يستلزم أن تكون «أ» عضوًا في فئة «س» و«ص» مجتمعَين معًا.

لاحظ في تفسير هذه الرموز أن:^١٢

(١)
الرمز الموضوع بين قوسين في طرف الصيغة الأيمن، معناه أي فرد «أ».
(٢)
الرمز «:» معناه أن ما على يمين هذا الرمز يؤخذ في مجموعة وحدة واحدة، وما على يساره كله يؤخذ في مجموعة وحدة واحدة أيضًا.
(٣)
القوسان [ ] تؤخذان بمعناهما في الرياضة، وهو أنهما تحيطان بمجموعات فرعية، كل منها موضوع في الأقواس العادية ( )، ليدل ذلك على أن المجموعات الفرعية كلها تؤخذ وحدة واحدة.
(٤)
والرمز «⊂» معناه «يستلزم» أو «يقتضي» أو «يتضمن».
(٥)
الرمز «∈» معناه «… عضو في فئة …»
(٦)
الرمز «⋅» معناه «و»؛ أي الإضافة بالعطف.

(٢) عملية الجمع في المنطق

تدل عملية الجمع — شأنها في ذلك شأن عملية الضرب — على أن فئتَين (أو أكثر) تشملهما فئة أكبر منهما.

فإذا ضممت فئتَي «س» و«ص» في مجموعة واحدة، وكوَّنت منهما فئة واحدة، كأن تجمع — مثلًا — طلبة الفلسفة وطلبة الاجتماع في فئة واحدة تسميها قسم الدراسات الفلسفية، كانت هذه الفئة الجديدة مشتملة على أفراد، يكون كلٌّ فرد منهم إما عضوًا في «س» وإما عضوًا في «ص».

عندئذٍ يُقال عن الفئة الجديدة إنها حاصل جمع «س» و«ص»، أو هي «س + ص».

ونستطيع أن نعبر عن ذلك بالصيغة الرمزية الآتية:

(أ): [(أ ∈ س) ∨ (أ ∈ ص)] ⊂ (أ ∈ س + ص)

وها هنا رمز جديد نضيفه إلى الرموز التي شرحناها لك منذ قريب، وهو رمز «∨» ومعناه «أو»، وتقرأ العبارة هكذا: بالنسبة لأي فرد «أ» إذا كانت «أ» إما عضوًا في فئة «س» أو عضوًا في فئة «ص» فذلك يستلزم أن يكون عضوًا في فئة «س + ص».

وفئتا «س» و«ص» اللتان شملتهما فئة «س + ص» قد تكونان منفصلتين الواحدة عن الأخرى؛ بحيث إن الفرد في إحداهما لا يكون في الوقت نفسه فردًا في الأخرى، كما هي الحال في طالب الفلسفة وطالب الاجتماع؛ وقد تكونان متداخلتين بحيث يكون بينهما جزء مشترك، أفراده هم أفراد في الفئتين معًا، مثل فئة (مدرسي الجامعة) وفئة (طلبة الجامعة) تضمهما معًا فئة (مدرسي الجامعة + طلبة الجامعة) على الرغم من أن هناك أفرادًا هم مدرسون وطلبة في آنٍ معًا (كالأفراد الذين يُدرِّسون وفي الوقت نفسه يُحضِّرون للدكتوراه مثلًا).

في الحالة الثانية التي تتداخل فيها فئتا «س» و«ص»، يلاحظ أن هنالك أفرادًا تجتمع فيها الصفتان معًا، إذَن فهي أفراد ينطبق عليها صيغة الضرب «س × ص» — وكل فرد داخل في فئة «س × ص» هو أيضًا فرد في «س» على حدة؛ وبالتالي يكون فردًا في فئة «س + ص»؛ وهو كذلك فرد في «ص» على حدة، وبالتالي أيضًا يكون فردًا في فئة «س + ص» — ما معنى ذلك؟ معناه أن وجود فئة تجمع الضفتين معًا لا يتناقض مع صيغة «إما … أو …»

فقولنا عن فرد ما إنه: إما «س» أو «ص» لا يتنافى منطقيًّا مع احتمال أن يكون الفرد جامعًا لصفتَي «س» و«ص» معًا؛ فإذا طلبت من خادمك أن يعزل من سلة التفاح كل تفاحة تكون إما معطوبة أو بها دود، فلا يتناقض ذلك مع عزل التفاحة التي تجمع الصفتين معًا: العطب والدود، فإذا رمزنا للتفاح الذي به عطب بالرمز «س»، وللتفاح الذي به دود بالرمز «ص»، كان مجموع الفئتين هو: س + ص، فإذا تصادف أن تكون الفئتان متداخلتَين بمعنى أن يكون هنالك تفاحات تنتمي إلى الفئتين معًا، فتكون معطوبة وبها دود، كانت فئة «س + ص» تشتمل على فئة «س × ص» إلى جانب اشتمالها على «س» وحدها و«ص» وحدها.

وذلك كله معناه أن أداة «إما … أو …» لا تنفي صدق الطرفين معًا، فمعناها: أحد الطرفين على الأقل صحيح، وقد يصدق الطرفان معًا،^١٣ ولقد تحدثنا في هذا الموضوع نفسه في الفصل الخامس عند حديثنا عن قضية البدائل التي هي أحد أنواع القضية المركبة.

وننظر الآن فيما يمكن استنتاجه من «س + ص»:

أولًا: إذا جاز لي أن أطلق على فئة ما رمز «س + ص» فيجوز لي أن أطلق على نفس هذه الفئة «ص + س» أي إن:
س + ص = ص + س

ويُسمَّى هذا بمبدأ تبادل الحدود، وهو شبيه بنظيره في عملية الضرب، بعبارة أخرى، ما يجوز أن تقول عنه: «إما س أو ص» يجوز أيضًا أن تقول عنه: «إما ص أو س».
ثانيًا: يجوز أن ينشأ بين عمليتَي الضرب والجمع معًا، ما يُسمَّى في الرياضة بقانون ترتيب الحدود^١٤ على النحو الآتي:
ط (س + ص) = ط س + ط ص.

ومعنى ذلك أننا لو فرزنا من فئة «ط» الأفراد التي يكون الواحد منها «إما س أو ص» فإن النتيجة التي نحصل عليها بعملية الفرز، هي نفسها التي نحصل عليها لو فرزنا الأفراد التي تكون إما متصفة بصفتي «ط» و«س» معًا أو بصفتي «ط» و«ص» معًا؛ مثال ذلك، لو كانت «ط» ترمز لطلبة الجامعة، «س» ترمز لطلبة كلية الآداب، «ص» ترمز لطلبة كلية التجارة؛ فإننا لو فرزنا من مجموع طلبة الجامعة، الطلبة الذين يكونون إما في كلية الآداب أو في كلية التجارة، كان ذلك مساويًا لعملية الفرز التي أخرج بها الأفراد الذين يكونون إما طلبة جامعيين في كلية الآداب أو طلبة جامعيين في كلية التجارة.

(٣) عملية الطرح في المنطق

عملية الطرح في المنطق، هي نفسها عملية النفي؛ لأنك إذا رمزت للعالم كله بالرقم ١، وأردت أن تنفي أي فئة، ولتكن فئة «س» كان ذلك معناه إخراج «س»: من العالم، فيكون الباقي هو كل العالم ما عدا «س»، أي:

١ − س

بعبارة أخرى:

~ص = أ − س

أي إن «لا − س» تساوي كل الأشياء بعد طرح ما هو س.

وبين الضرب والطرح ينطبق قانون ترتيب الحدود فيكون:

ط (س − ص) = ط س − ط ص

أي إنك إذا عزلت طائفة «ص» من بين أفراد «س» ثم وصفت ما تبقى لك بصفة «ط»، كان هذا الباقي هو عبارة عن فئة الأفراد التي تجمع صفتَي «ط» و«س» بعد أن عزلنا عنها كل الأفراد التي تتصف بصفتَي «ط» و«ص».

مثال ذلك، افرض أن:

ط = أبيض.

س = ناس.

ص = آسيوي.

س − ص = اللاآسيويون، أي الناس مطروحًا منهم الآسيويون.

ط (س − ص) = البيض اللاآسيويون.

وعلى ذلك يكون:

ط (س − ص) = ط س − ط ص.

أي البيض اللاآسيويون هم الناس البيض مطروحًا منهم الآسيويون البيض، فإذا أردت أن تعبر بالصورة الرياضية عن فئة «س» التي لا تكون «ص» (مثلًا طلبة الآداب الذين لا يدرسون الفلسفة)، كانت الصيغة هي:

س (١ − ص)

ومعناها: أفراد الفئة «س» التي تتبقى لنا إذا ما عزلنا عن العالم كل ما هو «ص».

وبناءً على قانون «ترتيب الحدود» ينتج أن:

س (١ − ص) = س × ١ = س ص = ص − س ص ومعناها: كل ما هو «س» مطروحًا منه ما هو «س» و«ص» معًا (أي طلبة الآداب مطروحًا منهم مَن هم طلبة آداب ويدرسون الفلسفة).

ومن قوانين عملية الطرح في المنطق يمكن بيان قانون الثالث المرفوع بيانًا واضحًا؛ إذ ترى منها أن حاصل جمع أي فئة ونفيها هو العالم كله، هكذا:

س + (١ − س) = س + ١ − س = ١

ومعنى قولنا إن حاصل جمع أي فئة ونفيها هو العالم كله، هو أن كل شيء في العالم إما أن يكون «س» أو «لا − س»؛ أي لا بد أن يقع في واحد من هذين القسمين ولا ثالث لهما.

وكذلك حاصل ضرب فئة في نفيها يساوي صفرًا، أي يساوي لا شيء، أي إنه لا شيء يجمع بين الصفة ونقيضها. وذلك هو المعروف باسم قانون التناقض (وأحيانًا يسمى قانون عدم التناقض).

س × (١ − س) = س − س^٢ = س − س = صفر

[لاحظ أن س^٢ = س في المنطق الرياضي كما أسلفنا.]

(٤) معادلات الحدود

عرفنا ماذا تعني عمليات الضرب والجمع والطرح في المنطق، وننتقل الآن إلى تطبيق ذلك تطبيقًا عمليًّا، لنرى كيف يتسع مجال المنطق اتساعًا عظيمًا حين تدخل فيه هذه العمليات الرياضية، ولنرى كذلك كيف يمكن صَبُّ الحدود وما بينها من علاقات في صورة معادلات تخضع — في معظم الحالات — لنفس القواعد التي تخضع لها معادلات الرموز في الجبر الرياضي.

وكما تبدأ الرياضة بطائفة من تعريفات تحدد بها معاني الحدود أو الرموز الهامة التي تنوي استعمالها ثم بطائفة من المسلمات، وبعدئذٍ تستنتج نظرياتها من تلك التعريفات والمسلمات فكذلك سنبدأ لك معادلات الحدود المنطقية بثلاثة تعريفات، وست مسلمات، ثم نزعم بعد ذلك أن أي معادلة وأي مبدأ مما يمكن أن يقضي المنطق بقيامه بين الحدود، إنما هو مستمد في النهاية من تلك التعريفات والمسلمات التي بدأنا بها.

وأما التعريفات الثلاثة فهي:

(تعريف ١) ١ = ~ صفر.

أي إننا سنستعمل الرقم ١ ليدل على الفئة الشاملة، التي تحتوي على كل أفراد المجال الذي نجعله موضوع الحديث، وسنستعمل الصفر ليدل على الفئة الفارغة التي ليس لها أفراد، وعلى ذلك سيكون العدد واحد مساويًا لنفي الصفر، أي إن الفئة الشاملة متطابقة تطابقًا ذاتيًّا مع نفي الفئة الفارغة؛ خُذ — مثلًا — فئة فارغة مثل «ملوك فرنسا في القرن العشرين»، وخُذ معها فئة شاملة مثل فئة «رؤساء جمهورية فرنسا في القرن العشرين» تجد أن أي عضو يدخل في الفئة الشاملة يستحيل أن يكون عضوًا في الفئة الفارغة؛ لأنه ما دام عضوًا في الفئة ذات الأفراد، فيستحيل إذَن أن يكون داخلًا في فئة معدومة الأفراد.

(تعريف ٢) أ + ب = ~ (~ أ × ~ ب).

هذا تعريف لأداة «إما … أو …»، لأن عبارة «أ + ب» — كما أسلفنا لك عند حديثنا عن عملية الجمع في المنطق — معناها «إما أ أو ب» — وهي عبارة مساوية لقولنا «إنه يستحيل أن تكذب أ وتكذب ب، في آنٍ واحد» — وبعبارة أخرى، نريد أن نعرف «إما … أو …» بأنها تدل على أن أحد الطرفين المرتبطين بها على الأقل صادق، وقد يصدق الطرفان معًا.

فالعلاقة «~» خارج القوسين معناها أن الحالة الموصوفة داخل القوسين مستحيلة الحدوث، والحالة الموصوفة داخل القوسين هي حالة نفي أ ونفي ب معًا، فقد سبق لنا القول عن الضرب بأنه يعني اجتماع الصفتين في آنٍ واحد، والصفتان هنا هما «لا − أ» و«لا − ب».

وما دام قد استحال نفي أ ونفي ب في آنٍ واحد، فعلى الأقل أحدهما — إنْ لم يكُن الاثنان معًا — مثبت؛ أي صادق، وهذا هو تعريف «إما … أو …»

(تعريف ٣) (أ ⊂ ب) = (أ × ب = أ).

الرمز «⊂» يدل على دخول فئة في فئة، فهذا التعريف يُراد به تحديد هذا المعنى؛ فقولنا: إن الفئة «أ» داخلة في الفئة «ب» مساوٍ لقولنا: إن اجتماع صفتَي أ، ب معًا يتطابق تطابُقًا ذاتيًّا مع «أ»؛ معنى ذلك أنه ما دامت كل أفراد «أ» داخلة في فئة «ب»، إذَن فكل فرد «أ» هو في الوقت نفسه «ب»، وإذَن فقولك عن شيء ما: إنه «أ»، مساوٍ لقولك عنه: إنه «أ × ب»؛ أي «أ، ب في آنٍ واحد».

يُلاحَظ أن قولنا: إن كل أفراد «أ» داخلة في فئة «ب» يحتمل أحد معنيين فإما أن أفراد «أ» أقل من فئة «ب» التي تحتويها وتفيض عنها، أو أن أفراد «أ» مساوية لأفراد الفئة «ب» ومتطابقة معها؛ ولذلك فلو رمزنا بالرمز «>» لمعنى «أقل من» وبالرمز «≥» لمعنى «إما أقل من أو يساوي» كان من الخطأ أن نعبر عن دخول فئة «أ» في فئة «ب» بهذه الصيغة الآتية:

«أ > ب» [أي أ أقل من ب] والصواب أن نعبر عنها بالصيغة الرمزية الآتية «أ ≥ ب» (أي إما أنها أقل من ب أو تساويها).

وبهذا المعنى نحدد المقصود بدخول فئة في فئة.

نضيف إلى التعريفات الثلاثة السالفة، المسلمات الستة الآتية، لنتخذ من التعريفات والمسلمات معًا أساسًا نستنبط منه كل ما يمكن حدوثه منطقيًّا من أنواع العلاقات التي ترتبط بها الحدود كائنة ما كانت.

والمسلمات الستة هي ما يلي (وسنسمي كلًّا منها مصادرة):

(مصادرة ١) أ × أ = أ.

أي إنك إذا فرزت من عالم الأشياء أفراد «أ»، ثم كرَّرت العملية مرَّة أخرى، وفرزت أفراد «أ»، كانت الأفراد في كلتا الحالتين هي نفسها؛ وهذا هو قانون الذاتية (الهوية)، أو مبدأ تحصيل الحاصل؛ ويُلاحَظ أن عمليات الجبر في المنطق تختلف في هذه النقطة عن عمليات الجبر في الرياضة، لأن «أ × أ» في الجبر الرياضي تساوي «أ^٢».

(مصادرة ٢) أ × ب = ب × أ.

أي إنك إذا فرزت من عالم الأشياء أفراد «أ» ثم من هذه الأفراد عدت ففرزت ما هو «ب»، كان لك بذلك نفس الأفراد التي تحصل عليها لو بدأت بفرز أفراد «ب» من عالم الأشياء، ثم عدت ففرزت منها ما هو «أ» وذلك هو ما أطلقنا عليه مبدأ تبادل الحدود.^١٥

(مصادرة ٣) أ × (ب × ﺟ) = (أ × ب) × ﺟ

أي إنه إذا كان لدينا شيء ما تُجمَع فيه صفتا «ب» و«ﺟ» ثم وصفناه بصفة ثالثة «أ»، كان ذلك هو نفسه الشيء الذي يكون موصوفًا بصفتَي «أ» و«ب» معًا، ثم نصفه بصفة «ﺟ».

بعبارة أخرى، لو فرزت من عالم الأشياء «أ» ثم عُدت ففرزت منها الأفراد التي تتصف بصفتَي «ب» و«ﺟ» فإنك تحصل على نفس الأفراد التي تحصل عليها لو فرزت من عالم الأشياء الأفراد التي تتصف بصفتَي «أ» و«ب» معًا ثم عدت ففرزت منها الأفراد الموصوفة بصفة «ﺟ».

وما دام هذا مسلمًا به، إذَن يمكن رفع الأقواس دون أن يتغير المعنى، فنقول:

أ × ب × ﺟ = أ × ب × ﺟ

وهذا هو ما يسمى بقانون ترتيب الحدود.^١٦

(مصادرة ٤) أ × ٠ = ٠

أي إن الأفراد التي تدخل في فئة «أ» وفئة «لا شيء» في وقت واحد، هي أفراد لا وجود لها.

وذلك معناه أن أفراد الفئة الفارغة مهما خلعت عليها من صفات، فلن تنقلب بفعل هذه الصفات فئة ذات أفراد، فافرض مثلًا أنك تتحدث عن «عنقاء» (وهي فئة فارغة) فأضفت إليها صفة أخرى قائلًا: «العنقاء طويلة العمر»؛ فإن إضافة هذه الصفة لن يجعل العنقاء شيئًا موجودًا، بل ستظل فئة فارغة.

(مصادرة ٥) إذا كان أ × ب = صفر إذَن أ ⊂ ب.

أي إنه إذا كان الجمع بين صفتَي «أ» و«لا − ب» مستحيلًا كانت كل أفراد «أ» داخلة في فئة «ب».

مثال ذلك: لو كانت صِفَتا «مصري» و«لا يعرف اللغة العربية» مستحيل اجتماعهما في فرد، إذَن فكل «مصري» داخل في فئة «من يعرفون اللغة العربية».

(مصادرة ٦) إذا كان أ ⊂ ب، أ ⊂ − ب إذَن أ = ٠

ومعناها أنه إذا كانت أفراد الفئة «أ» داخلة في الفئة «ب» وغير داخلة فيها في آنٍ واحد، كانت الفئة «أ» فئة فارغة بغير أفراد؛ لأن الفئة الفارغة هي وحدها التي تستطيع أن تحكم على أفرادها بصفة ونفيها معًا، فنقول مثلًا عن «ملوك فرنسا في القرن العشرين»: إنهم قصار القامة أو إنهم ليسوا قصار القامة، فكلا القولين سواء، ما دام الأفراد لا وجود لهم في عالم الأشياء.

ننتقل الآن إلى شرح طائفة من «النظريات»^١٧ فيما يتعلق بالحدود وطريقة تركيبها وتعادلها، لنرى كيف يمكن أن نبرهن على أية «نظرية» من تلك النظريات، بالتعريفات الثلاثة والمسلمات الستة السالف ذكرها.

(نظرية ١) (أ = ب) =: (أ ⊂ ب) ⋅ (ب ⊂ أ)

وهذه الصيغة تُقرأ هكذا:

قولنا: (إن «أ» تساوي «ب») مساوٍ لقولنا: (إن فئة «أ» داخلة في فئة «ب» وفئة «ب» داخلة في فئة «أ» في آنٍ واحد).

البرهان:

إذا كانت أ = ب.

إذَن فبضرب كل من الحدين في أ ينتج:

أ × أ = أ × ب

لكن أ × أ = أ بحكم مصادرة ١

∴ أ × ب = أ

∴ أ ⊂ ب بحكم تعريف ٣ … (١)

وكذلك بضرب كلٍّ من الحدَّين في ب ينتج:

ب = أ = ب = ب

لكن ب × ب = ب بحكم مصادرة ١

∴ ب × أ = ب

∴ ب ⊂ أ بحكم تعريف ٣ … (٢)

وعلى ذلك فلو كانت أ = ب فإنه ينتج أن أ ⊂ ب، ب ⊂ أ كما هو ظاهر في (١) و(٢) وهو المطلوب إقامة البرهان على صحته.

لاحظ أن هذه النظرية تحدد معنى «التساوي» بمعنى «الاحتواء» المتبادل بين الفئتين المتساويتين، أي إن فكرة الاحتواء أو الاشتمال أبسط من فكرة التساوي.^١٨

(نظرية ٢): ⊂ أ

هذه نظرية هامة في المنطق الرمزي، ومعناها أن الفئة الفارغة داخلة في أي فئة شئت؛ إذا نحن نرمز بالرمز «أ» لأي فئة كائنة ما كانت، ومعنى قولنا: إن الفئة الفارغة يمكن إدخالها في أي فئة شئت هو أن الفئة التي لا أفراد لها في الواقع تستطيع أن تصفها بما شئت من صفات، دون أن يتأثر صدق الكلام أو كذبه، ﻓ «مثال البرتقالة» فئة فارغة، وإذَن فلك أن تصفه بما أردت من صفات، قل مثلًا: إن مثال البرتقالة حلو أو قل إنه مر، أو قل إنه طويل أو إنه قصير أو ما شئت من صفات، فلا فرق هنا بين قول وقول، لأن الفئة الفارغة يمكن — كما قلنا — إدخالها في أي فئة من الفئات.

ونقول: إنها نظرية هامة، لأنها وحدها كافية لهدم الميتافيزيقا؛ إذ الميتافيزيقا بحكم تعريفها تقول قضايا عن معانٍ كلية ليست بذات أفراد في هذا العالم؛ عالم الأشياء الجزئية، وإذَن فهي تتحدث عن فئات فارغة؛ وبالتالي تستطيع أن تقول عن أي لفظة مما يرد في الميتافيزيقا ما شئت من صفات وخصائص، بل قُل عن كل لفظة من تلك الألفاظ صفة ونقيضها، ولن تعدو حدود المنطق، فلعلك ترى بعد ذلك عبث المناقشة في القضايا الميتافيزيقية.

والآن فلنبرهن على هذه النظرية:

٠ × أ = أ × ٠ بمقتضى مصادرة ٢.

لكن أ × ٠ = ٠ بمقتضى مصادرة ٤.

∴ ٠ × أ = ٠.

لكن (٠ × أ = ٠) = ٠ ⊂ أ بمقتضى تعريف ٣.

وهو ما أردنا إقامة البرهان على صحته.

(نظرية ٣) إذا كانت أ ⊂ ٠ إذَن أ = ٠

ومعناها: إنه إذا كانت فئة «أ» داخلة في فئة أخرى، وكانت هذه الفئة الأخرى فارغة، فإن فئة «أ» الداخلة فيها تكون فارغة كذلك؛ مثلًا: افرض أنني قلت: إن فئة «عروس البحر» داخلة في فئة «الجنيات» فإن معنى ذلك أن «عروس البحر» فئة فارغة ما دامت جزءًا من فئة فارغة.

البرهان:

أ ⊂ ٠ مساوية لقولنا أ × ٠ = أ بمقتضى تعريف ٣.

لكن أ × ٠ = ٠ بمقتضى مصادرة ٤.

∴ أ = ٠، وهو المطلوب إقامة البرهان عليه

(نظرية ٤) (أ × ب = ٠) = (أ × ب = أ) = (أ ⊂ ب)

هذه عبارات كلها متساوية المعنى: العبارة الأولى معناها: «إن الفئة التي تكون أفرادها هي أفراد في «أ» بالإضافة إلى كونها ليست أفرادًا في «ب» ولا وجود لها»؛ أي إنه لا وجود لشيء يتصف بصفة «أ» وبصفة «لا − ب» في وقت واحد؛ والعبارة الثانية معناها: إن الفئة التي تجمع أفرادها صفتي «أ» و«ب» معًا، تكون هي نفسها الفئة التي تتصف أفرادها بصفة «أ»؛ والعبارة الثالثة معناها: (إن فئة «أ» داخلة في فئة «ب».)

هذه العبارات الثلاث متساوية، والبرهان هو:

إذا كانت أ × ~ ب= … (١)

∴ أ ⊂ ب بمقتضى مصادرة ٥.

∴ أ × ب = أ بمقتضى تعريف ٣ … (٢).

وإذا كانت أ × ب = أ.

فاضرب كلًّا من الطرفين في ~ ب ينتج:

(أ × ب) ~ ب = أ × ~ ب

لكن (أ × ب) ~ ب = أ (ب × ~ ب) بمقتضى مصادرة ٣.

ولمَّا كانت ب × ~ ب = ٠، أي إن الشيء ونقيضه لا يجتمعان في شيء.

∴ أ (ب × ~ ب) = أ × ٠

وأيضًا أ × ~ ب = × أ ٠

∴ أ × ~ ب × ٠ بمقتضى مصادرة ٤.

أي إن أ ⊂ ب بمقتضى مصادرة ٥ … (٣).

وهكذا ترى أن عبارات (١)، (٢)، (٣) كلها يلزم بعضها عن بعض.

(نظرية ٥) ~ (~ أ + ~ ب) = أ × ب

الصيغة الأولى معناها: من الكذب أن يقال إنه إما «لا − أ» أو «لا − ب» وما دام تعريف «إما … أو …» هو: على الأقل أحد الطرفين صادق، فإن معنى العبارة هو تكذيب أن يكون أحد الطرفين صادقًا، وهما «لا − أ» و«لا − ب» وما دام هذان الطرفان كاذبَين معًا، وإذَن يكون نقيضاهما صادقين وهما «أ» و«ب» معًا، وذلك هو معنى الصيغة الثانية.

لاحظ أن هذه المعادلة تعبر عن القانون الآتي. نفي حاصل جمع نفي الطرفين، يساوي حاصل ضربهما.

وهو قانون يُعرف باسم نظرية دي مورجان،^١٩ ويُكمله القانون الآتي:

(نظرية ٦) ~ (أ ب) = ~ أ + أ ب

أي إن نفي حاصل ضرب الطرفين، يساوي حاصل جمع نفيهما، بعبارة أخرى تكذيب إمكان اجتماع صفتَي أ، ب معًا، مساوٍ لقولنا: إما «لا − أ» أو «لا − ب».

وبناءً على نظرية دي مورجان بشطريها (اللذين تراهما في نظريتي ٥، ٦) يمكن تحويل أي صيغة جبرية في المنطق تكون العلاقة بين حدودها هي علاقة الضرب، إلى صيغة تكون العلاقة بين حدودها هي علاقة الجمع.

وقد تُسمى هذه المقابلة بين الصيغ المنطقية المرتبطة حدودها بعلامة «×» والصيغ المنطقية المرتبطة حدودها بعلامة «+» بقانون التثنية.^٢٠

(نظرية ٧) إذا كانت أ ⊂ ب، ب ⊂ ﺟ إذَن أ ⊂ ﺟ

وتُقرأ هكذا: إذا كانت «أ» داخلة في فئة «ب» ثم كانت «ب» داخلة في فئة «ﺟ» إذَن تكون «أ» داخلة في فئة «ﺟ» وهو مبدأ القياس المبني على علاقة التعدي وبرهانه ما يلي:

إذا كانت أ ⊂ ب.

∴ أ ب = أ بمقتضى تعريف ٣ … (١).

وإذا كانت ب ⊂ ﺟ.

∴ ب ﺟ = ب بمقتضى تعريف ٣ … (٢).

بضرب كلٍّ من طرفَي معادلة (١) في ﺟ، ينتج:

أ ﺟ = (أ ب) ﺟ = أ (ب ﺟ).

لكن ب ﺟ = ب (معادلة ٢).

∴ أ (ب ﺟ) = أ ب.

،أ ب = أ

∴ أ ﺟ = أ.

∴ أ ⊂ ﺟ بمقتضى تعريف ٣.

وهو المطلوب البرهان عليه.

(نظرية ٨) (أ ⊂ ب) = (~ ب ~ ⊂ أ)

وتُقرأ هكذا: إن دخول فئة «أ» في فئة «ب»؛ أي قولنا: «كل أ هي ب» مساوٍ لدخول فئة «لا − ب» في فئة «لا − أ».

البرهان:

أ ⊂ ب مساويًا لقولنا أ × ~ ب = ٠

لأن الصيغة الأولى معناها أن كل أفراد «أ» أفراد في «ب»، وما دام الأمر كذلك، فالفرد الذي يكون «أ» ولا يكون «ب» في الوقت نفسه، لا وجود له، أي صفر.

لكن صيغة: أ × ~ ب = ٠ يمكن كتابتها ~ (~ أ) × ب = ٠

لأن ~ (~ أ) = أ نفي النفي إثبات.

واعكس وضع الطرفين ينتج:

~ ب × (أ) = ٠

وما دام اجتماع هذين النفيين في آنٍ واحد يؤدي إلى صفر، إذَن تكون أفراد فئة «لا − ب» هي أفراد في فئة «~ أ» أي إن:

~ ب ~ ⊂ أ

وهو المطلوب إقامة البرهان عليه.

ومن هذه النظرية ترى أن عبارة «كل أ هي ب» يمكن عكسها دائمًا بحيث تصبح «لا − ب» هي «لا − أ» وهو ما يعرف باسم «قانون تغيير وضع الحدود».^٢١

ومن قانون «تغيير وضع الحدود» تنتج النظريات الآتية:

(نظرية ٩) (أ ~ ⊂ ب) = ب ~ ⊂ أ

(نظرية ١٠) (~ أ ⊂ ب) = (~ ب ⊂ أ)

وننتقل الآن إلى طائفة من نظريات لها أهمية خاصة في تسهيل السير في العمليات الجبرية المنطقية، فوق أهميتها باعتبارها صيغًا أخرى لما قد ينشأ من تركيبات الحدود، وكلها أيضًا مستمد من التعريفات الثلاثة والمسلمات الستة التي فرضناها بادئ ذي بدء.

(نظرية ١١) أ (ب + ﺟ) = أ ب + أ ﺟ.

ومعناها أن كل أفراد فئة «أ» التي يمكن وصفها في الوقت نفسه بأنها إما «ب» أو «ﺟ» مساوية للأفراد التي نحصل عليها من قولنا إنها إما أفراد تتصف بصفتَي أ، ب معًا؛ أو أفراد تتصف بصفتَي أ، ﺟ معًا.

ومن هذه النظرية تنتج نظرية أخرى:

(نظرية ١٢) (أ + ب) (ﺟ + د) = أ ﺟ + ب ﺟ + أ د + ب د.

(نظرية ١٣) أ + أ ب = أ.

أي إن الأفراد التي يمكن أن نقول عنها إنها إما «أ» أو «أ، ب» معًا هي نفسها الأفراد التي نقول عنها إنها «أ» فقط.

ويُسمى هذا بقانون الامتصاص.^٢٢ وهو قانون مفيد أحيانًا في تسهيل السير في العمليات الجبرية، لأنك تستطيع به أن تبسط الصيغة المركبة، ما دامت كل حدود الصيغة المركبة محتوية على عنصر ما، فيمكن الاقتصار على ذكر هذا العنصر وحده، إن كنت لست بحاجة إلى سائر العناصر.

وبرهانه كما يلي:

أ ⊂ (أ + أ ب) … (١)

ومعنى هذه الصيغة هو أن كل فئة «أ» داخلة في فئة نقول عن أفرادها إنها إما «أ» أو «أ، ب معًا».

ولما كانت أ ⊂ أ بمقتضى قانون الذاتية (الهوية).

ومعناها أن كل ما تصفه بأنه «أ، ب معًا» تستطيع أن تصفه بأنه «أ» فقط.

إذَن فبجمع الصيغتين الأخيرتين ينتج أن:

(أ + أ ب) ⊂ أ … (٢)

وبإضافة صيغة (١) إلى (٢) ينتج:

أ + أ ب = أ، انظر «نظرية ١» التي تعرف التساوي بين طرفين بكون كل طرف يحتوي على الآخر.

(نظرية ١٤) أ = أ (ب + ~ ب) = أ ب + أ ~ ب

وهذه أيضًا نظرية مفيدة جدًّا في العمليات الجبرية المنطقية، لأن مؤداها هو أننا نستطيع أن نضيف أي عنصر نريد إضافته إلى صيغة أمامنا، وذلك بأن نضيفه هو ونقيضه معًا مرتبطين بعلامة «+».

ذلك لأن الفئة «أ» لا تتغير أفرادها إذا قلنا عنها إنها تتصف فوق كونها «أ» بصفة كونها إما «ب» أو «لا − ب» ويُسمى هذا بقانون التوسيع.^٢٣

وتطبيقًا لقانون التوسيع، نحصل على النظرية الآتية:

(نظرية ١٥) لقد أسلفنا أن الرقم ١ رمز للفئة الشاملة، التي قد تكون الكون كله، فلو قسمنا الكون إلى صفة «أ» ونقيضها، بحيث تقول عنه إنه إما «أ» أو «لا − أ» أي:

١ = أ + ~ أ

فإنه يمكن أن نضيف إلى هذه العبارة أي عنصر آخَر ونقيضه فلا يتغير المعنى، مثلًا:

١ = (أ + ~ أ) (ب + ب) (ﺟ + ﺟ) …

(نظرية ١٦) إذا كانت أ + ب = س وكانت أ = ٠ كانت ب = س؛ أي إنه إذا تساوى وَصْفُنا لفئة ما بأنها «إما أ أو ب» ووصفنا لها بأي صفة أخرى «س»، ثم إذا تبيَّن لنا أن «أ» فئة فارغة بغير أفراد، تحتَّم أن تكون فئة «ب» مساوية ﻟ «س».

(نظرية ١٧) أ + ب = ٠ مساوية لهاتين الصيغتين معًا:

أ = ٠، ب = ٠

أي إنه إذا وصفنا فئة ما بأن أفرادها إما أن تكون «أ» أو «ب» ثم تبيَّن أنها فئة فارغة، كانت «أ» على حدة فئة فارغة و«ب» على حدة فئة فارغة أيضًا.

(نظرية ١٨) العبارة أ ب =١ مساوية للعبارتين الآتيتين معًا:

أ = ١، ب = ١

أي إنك لو وجدت أن اجتماع صفتي أ، ب معًا يشمل كل أفراد المجال الذي نتحدث عنه، كانت صفة «أ» وحدها تشمل تلك الأفراد كلها، و«ب» وحدها تشمل تلك الأفراد كلها أيضًا.

(نظرية ١٩) أ = ب مساوية لقولنا أ ~ ب + ~ أ ب = ٠

ومساوية أيضًا لقولنا: أ ب + ~ أ ~ ب = ١

ذلك لأنه ما دامت أفراد «أ» هي نفسها أفراد «ب»، فإن وجود صفة أ دون صفة ب مستحيل، وكذلك وجود صفة ب دون صفة أ مستحيل، ومن ثَم كان قولنا: «إما ١ أ بغير ب، أو ب بغير «١»» لا يدل على أي فرد، يدل على فئة فارغة.

وكذلك ما دامت أفراد «أ» هي نفسها أفراد «ب» فإن الكون كله (وهو ما نعبر عنه بالرقم ١) لا يحتوي إلا على أحد شيئين، فإما شيء تجتمع فيه الصفتان معًا، وإما شيء تختفي فيه الصفتان معًا.

وبمناسبة قولنا: إن عبارة أ = ب مساوية لعبارة أ ~ ب + أ ب = ٠، نحب أن نذكر هنا حقيقة هامة، وهي أن تحويل أي معادلة إلى معادلة يكون فيها الصفر أحد شطريها، كثيرًا ما يفيد في تسهيل العمليات الجبرية.

وطريقة هذا التحويل هي أن تضرب طرفي المعادلة أحدهما في نفي الآخر، أي لو كانت المعادلة هي: أ = ب، فاضرب أ × ~ ب ثم اضرب ~ أ × ب وبعدئذٍ اجمع هذين الحاصلين هكذا أ × ~ ب + ~ أ × ب.

أو أ ب + ~ أ ب.

وسيكون حاصل الجمع مساويًا لصفر.

(نظرية ٢٠) إذا كانت أ ﺟ ≠ ب ﺟ إذَن أ ≠ ب.

هذه الصيغة تدل على لا تعادل بين الطرفين، فإذا كانت الفئة التي تجمع صفتي أ، ﺟ معًا لا تساوي الفئة التي تجمع صفتي ب، ﺟ معًا، كانت فئة أ وحدها لا تساوي فئة ب وحدها.

وسنكتفي بهذا المثل للصيغة التي تدل على اللاتعادل بين الطرفين، وبهذا نكون قد قدمنا للقارئ نماذج لما أدخله جورج بول على المنطق، وحين طبق على الحدود المنطقية نفس القوانين التي تطبق على الأعداد في الحساب، أو على الرموز في الجبر، ولعل القارئ قد رأى من هذه النماذج القليلة التي قدمناها، كيف يمكن استدلال صيغ لا حد لها، تبين ما يمكن أن ينشأ بين الحدود من علاقات وما يمكن أن يتركب منها من عبارات تتساوى، فإذا قارن ذلك بالدائرة الضيقة جدًّا، التي حصر المنطق التقليدي نفسه فيها حين أراد وصف ما قد ينشأ بين الحدود من أنواع التقابل، عرف مدى اتساع القفزة التي قفزها المنطق الرمزي الحديث في هذا المضمار.

^١ Lewis, C. I. and Langford, C. H., Symbolic Logic، ص٥.

^٢ Kneale, William, Boole and the Revival of Logic، بحث في مجلة Mind، رقم ٢٢٦، عدد أبريل سنة ١٩٤٨م.

^٣ George Boole وكتاباه الهامان هما:
The Mathematical Analysis of Logic (1847).
An Investigation of the Laws of Thought (1854).
وقد طُبع هذا الكتاب طبعة ثانية سنة ١٩١٦م.

^٤ Kneale, William, Boole and the Revival of Logic وهو بحث نُشر في مجلة Mind رقم ٢٢٦ عدد أبريل ١٩٤٨م.

^٥ Venn, J., Symbolic Logic، ص XXX من المقدمة.

^٦ هذا رأي William Kneale في بحثه المذكور عن «بول».

^٧ Venn, J., Symbolic Logic، ص XIII من المقدمة.

^٨ Schroder, E. راجع ما قلناه في مستهل الفصل السابق.

^٩ Peirce, C. S. راجع ما قلناه في مستهل الفصل السابق.

^١٠ Elective Symbols.

^١١ Commutative Principle أو Principle of Commutative ومن هذا المبدأ يتضح لك خطأ التحليل في منطق أرسطو، فيما يختص بالتعريف. إذا كان التعريف عند أرسطو — ومن لفَّ لفَّه — يتألف من جزأَيْن مختلفين من الوجهة المنطقية هما «الجنس» و«الفصل» [راجع الفصل الثامن من هذا الكتاب]؛ وجاء «ليبنتز» فتنبَّه إلى أن هذا التمييز ليس إلا عرضًا من أعراض طبيعة اللغة، فهنالك جزء من المعنى اعتدنا أن نقول عنه إنه اسم (وهو الذي يكون جنسًا في التعريف الأرسطي)، وجزء آخر اعتدنا أن نقول عنه إنه صفة (وهو الذي يكون فصلًا في التعريف الأرسطي)؛ لكننا إذا استطعنا أن نصوغ صفة من الاسم واسمًا من الصفة استطعنا بذلك أن نحصل على تعريف آخر مساوٍ للتعريف الأول، نعكس فيه وضعَي الجنس والفصل، وكثيرًا ما يجوز لنا أن نجعل الجنس فصلًا والفصل جنسًا؛ مثال ذلك قولنا: الإنسان حيوان عاقل، يمكننا أن نقلب فيه الوضع ونقول: إنه كائن عاقل يتصف بالحيوانية [هذا يتوقف على الخطوة التي نبدأ منها التقسيم: فهل نحن نقسِّم الحيوان إلى عاقل وغير عاقل، أو نقسِّم الكائنات العاقلة (على فرض وجود كائنات عاقلة غير الإنسان مثل الملائكة) إلى ما يتصف بالحيوانية وما ليس متصفًا بها]؟
وها هم المناطقة الرمزيون، ابتداءً من زعيمهم «بول» يعتبرون أن س × ص = ص × س، مما يبين في جلاء أن ترتيب الفئات في القراءة لا يؤثر إطلاقًا في حقيقة وصف ما نصفه من أفراد؛ فلا فرق بين أن أقول عن فرد ما: إنه داخل في فئتَي «س» و«ص» معًا، أو أعكس الترتيب وأقول إنه داخل في فئتَي «ص» و«س» معًا.
(راجع بحثًا قيمًا في هذا الموضوع، نشره Arthur, N., Brior على دفعتَين في مجلة Mind، عدد يناير ١٩٤٩م، وعدد أبريل التالي له).

^١٢ قد نلجأ إلى تكرار ذكر معاني الرموز، زيادة في توضيح الصيغ الرمزية حتى يألفها القارئ.

^١٣ يلاحظ أن «بول» لم يأخذ بهذا الرأي؛ إذ جعل «س + ص» لا تحتمل إمكان صدق «س × ص» لكن من مزايا جعل «إما … أو …» تعني «هذا أو ذاك أو هما معًا» أن تصدق هذه المعادلة: «س + س = س» التي تقابل في عملية الضرب معادلة «س × س = س» ويكون معنى «س + س = س» هو أن الشيء إذا كان إما «س» أو «س» فهو «س».

^١٤ Associative Operation.

^١٥ راجع ما قلناه في «عملية الضرب في المنطق».

^١٦ راجع شرحه أيضًا في «عملية الجمع في المنطق».

^١٧ سنختار طائفة من النظريات الواردة في الفصل الثاني من كتاب Symbolic Logic لمؤلفيه Langford, C. H., Lewis, C. I. فارجع إليه إذا أردت الزيادة.

^١٨ مما يجدر ذكره بهذه المناسبة أن ديكارت حين وضع قواعد منهجه واشترط أن نبدأ التفكير بما هو بسيط، ضرب مثلًا بالتساوي على أنه حقيقة بسيطة لا ترتد إلى ما هو أبسط منها، وها أنت ذا ترى أن التساوي يمكن تحليله إلى فكرة الاشتمال المتبادل بين فئتين.

^١٩ De Morgan, Augustus, Formal Logic.

^٢٠ Law of Duality.

^٢١ Law of Transposition.

^٢٢ Law of Absorption.

^٢٣ Law of Expansion.