دالة القضية^١

(١) الثوابت والمتغيرات

نقصد بهاتين الكلمتين: «الثوابت» و«المتغيرات» في المنطق، ما نقصده بهما في العلوم الرياضية، كالحساب.

فالرمز «الثابت» في الرياضة هو الذي لا يتغيَّر معناه رغم اختلاف مواضعه، فالأعداد: ١، ٢، ٣، ٤ … كلها ثوابت؛ لأن كل عدد منها له نفس المعنى أينما ورد، و«الصفر» ثابت لأن معناه كذلك لا يتغيَّر، والرموز «+»، «−»، «×»، «÷»، «=» كلها كذلك ثوابت؛ لأنها دائمًا ذات دلالة واحدة لا تتغيَّر بتغيُّر سياقها ووضعها.

وأما الرمز «المتغير» فهو عادةً يختار من أحرف الهجاء مثل أ، ب، ﺟ، س، ص … إلخ، وليس ﻟ «المتغيرات» معنًى بذاتها على الإطلاق، على عكس «الثوابت»، فبينما نعلم للثوابت معنًى محدودًا يُصاحبها أينما وردَت، ترانا لا نجعل ﻟ «المتغيرات» معنًى معلومًا محدودًا يُصاحبها أينما وردَت؛ فنحن نعلم — مثلًا — عن العدد «٢» أنه زوجي، وأنه عدد صحيح، وأنه هو الذي يتلو العدد «١» في سلسلة الأعداد، لكننا لا نعلم معنى الرمز «س»؛ لأن معناه يتغيَّر حسب ما نختاره له، فلو سُئلنا: هل العدد «س» زوجي أو فردي؟ أجبنا بأنه لا سبيل إلى معرفة ذلك إلا إذا عرفنا المدلول الذي جاءت «س» مُعبِّرة عنه في هذا الموضع أو ذاك، فقد يكون هذا الرمز «المتغير» دالًّا على عدد موجب، وقد يكون دالًّا على عدد سالب، وقد يكون دالًّا على صفر؛ ولما كانت الأعداد ليس فيها ما يجوز أن يكون أي شيء على هذا النحو، كان «المتغير» غير ذي معنًى، ويظل كذلك حتى نضع مدلوله مكانه.

(٢) دالة القضية

ما دامت المتغيرات ليس لها معنًى بذاتها، فإن العبارات المشتملة عليها مثل قولنا: «س عدد صحيح»، لا تكون قضايا منطقية، على الرغم من أن لها الصورة النحوية للجملة، وهي ليست قضايا لأنها تفقد الشرط الأساسي للقضية، وهو إمكان وصفها بالصدق أو الكذب؛ فأنت لا تستطيع أن تحكم على عبارة مثل: «س عدد صحيح» بصدق أو بكذب لأنك لا تدري ماذا تدل عليه «س»، وإلى أن تعلم ذلك، فالحكم مستحيل.

لا يكون لك من هذه العبارة «س عدد صحيح» قضية توصف بالصدق أو بالكذب، إلا إذا وضعت «ثابتًا» مكان «المتغير» س؛ فلو وضعت مكانها العدد «٢» مثلًا، فأصبحت: «٢ عدد صحيح»، تكوَّنَت بذلك قضية صحيحة، وإذا وضعت مكانها العدد ١ / ٢، فأصبحت ١ / ٢ «عدد صحيح» تكونت بذلك قضية كاذبة، وإذا وضعت مكانها كلمة مثل «أخضر» فأصبحت «أخضر عدد صحيح» تكونت عبارة فارغة من المعنى فلا تدخل في نطاق الكلام المفهوم، ولا يصح تبعًا لذلك أن توصف بصدق أو بكذب، لأن هاتين الصفتين مقصورتان على الكلام المفهوم الذي يمكن تحقيقه.

«المتغيرات» تظلُّ مجهولات، حتى نضع مكانها «قيمتها» — أي مدلولها الثابت — فتصبح معلومة، والضمائر في اللغة هي من قبيل «المتغيرات المجهولة»، فإذا قلت «هو في المنزل» دون أن تعرف مَن «هو»، كنتَ كالذي يقول «س في المنزل»؛ ولذا فإن العبارة التي فيها «ضمير» لا يمكن الحكم عليها بالصدق أو بالكذب؛ إلا إذا وضعت ﻟ «المجهول» «قيمة»؛ أي وضعت مكان الضمير اسم صاحبه أو مكان الرمز دلالته؛ وبالتالي لا تكون العبارةُ المشتملة على ضميرٍ قضيةً منطقية، إلا إذا عرفنا اسم صاحبه، كذلك قُل في العبارة التي تشتمل على فرد نكرة، كقولنا: «رجلٌ ما كان فيلسوفًا ومؤرخًا»، فليس يمكن في هذه الحالة أن تصف العبارة بصدق أو بكذب إلا إذا أحللتَ رجلًا مُعيَّنًا مكان الرجل النكرة، فنقول: هيوم كان فيلسوفًا ومؤرخًا، وعندئذٍ فقط يمكن الوصف بالصدق أو بالكذب؛ وبالتالي يمكن القول بأن العبارة قضية منطقية.

وإنما نسمِّي العبارة المشتملة على رمز مجهول القيمة «دالة قضية»، أو صورة قضية، ويمكن تحويلها إلى قضية بتحويلنا «المتغير» فيها إلى «ثابت» معلوم الدلالة.

ويمكن تشبيه دالة القضية «باستمارة» فارغة لا تصبح أداة لنقل المعلومات إلا إذا مُلئت «خاناتها»، وإلى أن تُملأ تلك «الخانات» لا يمكن وصف الاستمارة بأنها صادقة في معلوماتها أو كاذبة، لأنه ليس بها معلومات، أما إذا «ملأتها» بالاسم والعنوان والعمر وما إلى ذلك، فعندئذٍ فقط يبدأ إمكان الحكم على ما فيها بالصواب أو بالخطأ، ومن ثَم كانت دالة القضية توصف أحيانًا بأنها «عبارة شاغرة» بالنسبة إلى القضية التي هي «عبارة مغلقة» — وإنما وصفت دالة القضية بأنها «شاغرة» لأن بها ثقوبًا أو فتحات خالية، ولا تصبح قضية إلا إذا مُلئت تلك الفتحات بكلمات أو رموز لها معانٍ ثابتة.

(٣) الاسم الكلي ودالة القضية

الاسم الكلي رمز دال على مركَّب وصفي، يجوز أن يكون له بين مفردات الأشياء الكائنة في الوجود الفعلي ما يتجسَّد فيه، ويجوز ألا يكون؛ أي إن المركَّب الوصفي بذاته لا يضمن وجود الكائن الفرد الذي يتحقَّق فيه؛ فالاسم الكلي «وحيد القرن» هو في حقيقته اختصار لمجموعة أوصاف نتصوَّرها مجتمعة في كائن مُعيَّن، ولا يدلُّ ذلك وحده على أن ذلك الكائن موجود فعلًا؛ ولا فرق في ذلك بين «وحيد القرن» و«إنسان» و«شجرة» والأسماء الكلية كافة؛ فكلٌّ منها هو بمثابة عبارة وصفية لا تتحقَّق بالفعل إلا إذا وجدنا الفرد المُعيَّن الذي تتمثَّل فيه الصفات المشار إليها بتلك العبارة؛ وأنت ترى من هذا أن ثمة فرقًا بين أسماء الأعلام (أو الأسماء الجزئية) وبين الأسماء الكلية، فبينما اسم العلم مستحيل منطقيًّا ما لم يكُن ذا مسمًّى فعلي؛ إذ بغير وجود هذا المسمى الفعلي لا يجوز إطلاق ذلك الاسم، فإن الاسم الكلي لا يضمن وحده وجود الشيء الذي يصدق عليه.

ذلك لأن الاسم الكلي إذا حلَّلناه وجدناه دالة قضية، أي إنه في حقيقته عبارة فيها مجهول، ولا تكمل دلالتها إلا إذا وُضع معلوم مكان ذلك المجهول؛ فقَوْلي «إنسان» مساوٍ لقَوْلي «س يتصف بكذا وكذا من الصفات البشرية»، وهي عبارة تظل ناقصة الدلالة حتى نجد فردًا مُعيَّنًا نضع اسمه مكان الرمز «س» فتصبح العبارة — مثلًا — «سقراط يتصف بالصفات البشرية»، وهنا تتحوَّل دالة القضية إلى قضية؛ إذ يصبح في مستطاعنا أن نطابق بين هذه الجملة وبين الواقعة الخارجية.

وهذا مقياس يعينك على معرفة الكلمة التي أمامك إنْ كانت كلمة حقيقية ذات مدلولات، أم هي شبه كلمة، أخذت صورة الكلمة ولم تفعل فعلها، فلا يجوز استعمالها في أي مجال علمي، خُذ مثلًا كلمة «عنقاء»، فإذا أردتَ تحديد مدلولاتها، فضع دالة القضية الآتية: س عنقاء، ثم ابحث عن مفردات تضع كلًّا منها مكان س، لترى هل تتحوَّل دالة القضية إلى قضية صحيحة أو لا تتحوَّل وفي هذه الحالة لن تجد أفرادًا، فتعلم بذلك أن الكلمة جوفاء.

(٤) تعميم القول ودالة القضية

القول الدال على تعميم، مثل: المصريون ساميون، ومسرحيات شيكسبير من روائع الأدب، هو قول يحمل لنا نبأ العلاقة بين فئتَين من الأشياء، من حيث دخول الواحدة في الأخرى دخولًا يشمل أفرادها جميعًا أو بعض أفرادها دون بعض، وكذلك من حيث انفصال الواحدة عن الأخرى — إنْ كانتا منفصلتين — انفصالًا يشمل جميع أفرادها أو بعض أفرادها دون بعض.

ونحن إذ نتناول بالبحث هذه الأقوال العامة التي تحدثنا عن علاقة الفئات بعضها ببعض من حيث الاتصال أو الانفصال، نجد أنفسنا مع المنطق الأرسطي التقليدي على طرفَي نقيض.

فلم يكُن المنطق الأرسطي يفرِّق بين القول الذي يعبِّر عن دخول فرد واحد في فئة ما، والقول الذي يعبِّر عن دخول فئةٍ في فئة، بل كان يجعلها على السواء نوعًا واحدًا من الكلام، يطلق عليه اسم القضية الحملية، مع أن الفرق بين النوعَين بعيدٌ غاية البُعد في نظر المنطق الرمزي الحديث، فالقول الذي يُدخل فردًا جزئيًّا في فئة ينتمي إليها، هو وحده القول الذي يصف الحقيقة الواقعة وصفًا مباشرًا، لأن الواقع مُؤلَّف من جزئيات مفردة، وتصديق الأقوال التي تعبِّر عن حالات تلك الجزئيات، أو تكذيبها، يرجع مباشرة إلى كون تلك الأقوال صورة مطابقة أو غير مطابقة للواقع الذي تقرِّره وتصوره بألفاظها، ولذلك فالقول الذي يعبِّر عن حالة فرد جزئي هو وحده القضية بمعنى الكلمة الدقيق، لأنه هو وحده الذي يمكن وصفه مباشرة بالصدق أو الكذب، فقَوْلي: «القمر يدور حول الأرض» و«النيل يفيض في أغسطس» قول يُحقَّقُ مباشرةً بالمطابقة بين الصورة التي يرسمها عن فرد ما، وبين الفرد نفسه في الخارج.

وليس الأمر كذلك في القول الذي يعمم الحكم على أفراد كثيرة في وقت واحد، مثل «كل مسرحيات شيكسبير منظومة» و«بعض مسرحيات شيكسبير مترجم إلى العربية» — فالتصديق أو التكذيب ها هنا لا يكون إلا بتحليل القول العام إلى قضايا فردية الموضوع؛ إذ يستحيل عليَّ أن أعلم إنْ كانت «كل مسرحيات شيكسبير منظومة» أو لم تكُن، إلا بالنظر إليها مسرحيةً مسرحية، لأن الواقع الخارجي مؤلف من أفراد؛ وما دام الأمر كذلك في القول العام، فليس هو بالقضية بالمعنى الصحيح، بل هو دالة قضية لأنه بمثابة القول الذي يحدِّثني عن مجهول «س»، لا أعرف كيف أحكم عليه بصدق أو بكذب إلا إذا وضعت مكان المجهول «س» الفردَ الذي يدلُّ عليه ذلك المجهول.

إن القول العام قول شرطي لا قولٌ تقريري؛ أي إنه لا يقرِّر شيئًا عن الواقع تقريرًا مباشرًا على نحو ما تفعل القضية البسيطة التي تُحدِّثنا عن فرد واحد مُعيَّن، فإن قلت قولًا عامًّا مثل: «قصائد الشعر الجاهلي تذكر الأطلال» كان ذلك بمثابة قول شرطي، هو «إذا كانت «س» قصيدة من الشعر الجاهلي، فهي تذكر الأطلال»؛ ولا يتحتم منطقيًّا أن يكون هنالك فعلًا قصائد للشعر الجاهلي، فقد تكون بادت كلها، وانتفى وجودها، ومع ذلك يبقى الشرط قائمًا، وهو: إذا كانت «س» قصيدة من الشعر الجاهلي، فهي تذكر الأطلال، مما يدل على أن تصديق هذا القول أو تكذيبه متوقف على وجود القصيدة «س»، أي على وجود فرد جزئي.

نقول إن الفرق بعيد غاية البعد بين نظرة المنطق الرمزي الحديث إلى الأقوال العامة، وبين نظرة المنطق الأرسطي، فبينما ترى المنطق الأرسطي يحصر القضايا بكافة أنواعها في الأقوال العامة، حتى القضية التي تتحدث عن موضوع فردي جزئي، يعاملها معاملته للقضية الكلية، ترى المنطق الرمزي الحديث لا يعدُّها قضايا إطلاقًا؛ لاستحالة وصفها مباشرة بالصدق أو بالكذب.

لقد أسلفنا لك القول بأن دالة القضية هي العبارة التي بها ثغرة فيها رمزٌ لمجهول، ولا تصبح ممكنة التحقيق صدقًا أو كذبًا — أي لا تصبح قضية — إلا إذا مُلئَت الثغرة بمعلوم؛ فقولنا: «س إنسان» دالة قضية لأن «س» هنا رمز لمجهول، وما دامت كذلك فمحال أن توصف بأنها صادقة أو كاذبة إلا إذا أحللنا معلومًا مكان هذا الرمز، فتصبح — مثلًا — «العقاد إنسان»، وعندئذٍ تكون قضية صحيحة، أو تصبح «أبو الهول إنسان» وتكون بذلك قضية كاذبة ويسمى المعلوم الذي نضعه مكان الرمز ﺑ «قيمة» الرمز «س».

وعلى هذا الاعتبار، تكون كل معادلة رياضية فيها رموز؛ مثل س + ص = ٥ دالة قضية، وتتحوَّل إلى قضية حين تضع القيم الثابتة مكان الرموز المتغيرة، وتوصف القضية الناشئة عن استبدال القيم برموزها، بالصدق أو بالكذب حسب القيم التي نضعها مكان الرموز، ففي المعادلة السابقة، لو وضعنا ٢، ٣ على التوالي مكان س، ص بحيث تصبح ٢ + ٣ = ٥، كان الناتج قضية صحيحة، أما إذا وضعنا ٣، ٣ على التوالي مكان س، ص، بحيث تصبح ٣ + ٣ = ٥، كان الناتج قضية كاذبة.

وكذلك كل العبارات الرمزية الشائع استعمالها في المنطق، مثل كل س هي ص، أو بعض س هي ص، دالات لقضايا لا قضايا؛ إذ من غير المستطاع أن يوصف قولنا: كل س هي ص بصدق أو بكذب، حتى تحل القيم الثابتة مكان المجهولين س، ص؛ فإذا وضعنا كلمتَي: إنسان، فانٍ، على التوالي مكان س، ص، بحيث تصبح: كل إنسان هو فانٍ، أمكن عندئذٍ أن نعرف الفئة التي نختار منها الأفراد التي تبين لنا إن كانت العبارة صادقة أو كاذبة.

وليس ثمة تناقض بين قولنا: إن دالة القضية «تصدق على كل الحالات» وقولنا في الوقت نفسه: إن دالة القضية ذاتها لا تكون صادقة أو كاذبة.

والذي نعنيه حين نقول عن دالة قضية إنها تصدق على كل الحالات هو أن جميع القيم التي يجوز أن توضع مكان المجهول في دالة، تجعل الدالة قضية صحيحة، فلو كان لدينا دالة قضية «س هي م» قلنا إنها تصدق على كل الحالات لو كانت أية جزئية «أ» من الجزئيات التي إذا وُضعت إحداها مكان «س»، بحيث نقول «أ» هي «م»، تكون لنا قضية صحيحة.

ينطبق هذا الكلام على ما «سمي» في المنطق التقليدي بالقضية الموجبة الكلية والقضية السالبة الكلية على السواء، فكلاهما قول يصدق على كل الحالات، وإذَن فكلاهما بمثابة دالة قضية؛ الفرض فيها هو أنها تصبح قضية صحيحة لو أحللنا مكان الموضوع الكلي أي جزئي من جزئياته، وهذا هو بعينه ما نقصد إليه حين نقول: إن العبارة الكلية فيها عنصر الشرط.

ونضيف إلى ما قلناه عن دالة القضية التي تصدق في كل الحالات، حقيقة هامة، وهي أن كل قضايا المنطق على الإطلاق، هي من هذا القبيل؛ إن المنطق لا يُعنى — حين يقرر مبادئه العامة — بهذا الفرد الجزئي أو ذاك، إنه لا يُعنى بهذا الطائر الجزئي أو بهذه البقعة الجزئية من اللون، أو بهذه العلاقة الجزئية التي أراها الآن تربط الكتاب بالمنضدة، حين أقول: هذا الكتاب على هذه المنضدة؛ بل يُعنى المنطق بما هو عام إلى أقصى درجات التعميم، بحيث يجيء كل مبدأ عام من مبادئه ممكن التطبيق على كل حالة جزئية من حالات الوجود، فقولي مثلًا: «إذا كانت س يلزم عنها ص، ثم تبيَّن صدق س، لزم أن تكون ص صادقة» قول عام صادق على كل حالة تشير إليها س، ص كائنة ما كانت س أو ص، وعلى هذا الاعتبار تكون مبادئ المنطق كلها دالات لقضايا مما يصدق على كل الحالات.

فماذا نقول إذَن في دالة القضية التي تصدق على «بعض» الحالات؟ هنا نذكِّر القارئ بالمعنى الذي حدَّدنا به كلمة «بعض» وهو: «هنالك واحد على الأقل»، فإذا قلت: «بعض العلماء فقراء»، كان المراد «هنالك على الأقل عالِم واحد؛ بحيث يوصف هذا العالِم بالفقر» وهذا موقف لا يتوافر إلا إذا كانت هناك حالة جزئية من هذا القبيل، قد لوحظ وجودها فعلًا ولو لم يكُن هذا هكذا لما جاز للمتكلم أن يقول: «هنالك على الأقل عالم واحد بحيث يوصف هذا العالم بأنه فقير.»

ونتناول الآن بعض ما تصوره المنطق التقليدي فيما أسماه بالقضية الكلية والقضية الجزئية، لنرى مقدار بُعده عن التحليل الصحيح، ولنضرب لذلك مثلًا هذه الصورة الرمزية للقضية الكلية «كل ص هي ك»، هذه عند المنطق القديم قضية من أبسط الأوليات التي ينحل إليها الفكر، ولا يمكن أن تنحل إلى ما هو أبسط منها.

وكذلك قل في الجزئيتين الموجبة والسالبة: «بعض ص هي ك» و«بعض ص ليس ك»، فها هنا كذلك تتحد العبارتان في التركيب الصوري، ولا تختلفان إلا في الرمز الذي يرمز به للحد «ك» في كلٍّ من الحالتين.

(٥) وجهة النظر التقليدية للقضية الحملية

ويجمل بنا أن نقول كلمة موجزة غاية الإيجاز في أقسام «القضية الحملية» عند المنطق الأرسطي، ليلم القارئ بوجهة النظر التقليدية في ذلك، حتى يكون أقدر على مقارنة القديم بالحديث في غضون الحديث.

للقضية الحملية في المنطق الأرسطي تقسيم رباعي تقليدي مشهور، يقوم على أساس الكم والكيف.

فالقضية من حيث الكم تخبرنا بأحد أمرين:

فإن كانت الأولى سميت القضية قضية كلية؛ وإن كانت الثانية سميت القضية قضية جزئية.

فإن كانت الأولى سميت القضية قضية موجبة، وإن كانت الثانية سميت القضية قضية سالبة.

ومن هذين التقسيمين معًا، جاء التقسيم الرباعي المشهور، وهو أن تنقسم القضية إلى:

(٦) أسوار الكم والكيف