حركة الأجسام

(١) الفتاة الخارقة

(٢) رَفْع نفسك بواسطة جذب رباط حذائك

في اختبار فعلي، وصفه جيه بي دريك في عدد العشرين من أكتوبر عام ١٩١٧م لمجلة ساينتفيك أمريكان، لم يرفع رجل يزن ١٩٠ رطلًا نفسه بهذه الوسيلة وحسب، بل رفع أيضًا لوحًا وزنه ١١٠ أرطال أيضًا.

(٣) الميزان الزُّنْبُركي

سيسجل الميزان قراءة مقدارها ١٠٠ رطل! عند تعليق الجسم البالغ وزنه ٦٠ رطلًا على خُطَّاف الميزان، تقل قوة الشد في الحبل السفلي فورًا إلى ١٠٠ رطل مطروحًا منها ٦٠ رطلًا؛ أي تصير ٤٠ رطلًا. ومع ذلك، مجموع القوى المؤثِّرة إلى أسفل التي يبذلها الجسم البالغ وزنه ٦٠ رطلًا وقوة الشد البالغة ٤٠ رطلًا في الحبل لا يزال مقداره ١٠٠ رطل. لقد أزال الجسم البالغ وزنه ٦٠ رطلًا بعضًا من الحِمل الذي يحمله الحبل، لكن الحِمل الإجمالي ظل كما هو. ومن ثم، إذا عُلِّقَ أي جسم يقل وزنه عن ١٠٠ رطل على الخطاف، فستظل القراءة عند ١٠٠ رطل. وإذا عُلِّقَ جسم وزنه ١٠٠ رطل على الخطاف، فستصير قوة الشد في الحبل صفرًا، وسيكون الجسم قد أخذ دور الحبل بالكامل. أما إذا عُلِّقَ جسمٌ وزنه أكثر من ١٠٠ رطل على الخطاف، فسيرتخي الحبل، وتتساوى القراءة مع وزن الجسم المعلَّق في الخطاف.

(٤) القرد والموز

بالنظر إلى تفاصيل القوى، ستحتاج إلى أن تضع في اعتبارك قوة الشد على امتداد الحبل، الذي يجب أن يدعم وزن القرد ويمده بالقوة من أجل تسارعه لأعلى الحبل على هذا الجانب بينما يدعم الموز على الجانب الآخر. وتحديدًا، ليس بوسع الحبل عديم الاستطالة أن يزيد قوة الشد الخاصة به، لكن عليك أن تفترض أن الحبل عديم الاستطالة له قوة شد متماثلة عند كل النقاط على امتداد الحبل.

(٥) ساعة رملية على ميزان

من اللحظة التي تضرب فيها أول حَبَّة رمل قاع الساعة الرملية إلى اللحظة التي تغادر فيها آخر حبَّة رمل الحجيرة العلوية، تظل القوة الناتجة عن اصطدام التيار الساقط ثابتة، وتساعد في جعل الوزن الإجمالي مساويًا لوزن الساعة الرملية قبل قلبها. فحين يبدأ تيار الرمال في السقوط، لا يسهم الرمل الساقط سقوطًا حرًّا في الوزن؛ لذا يُسجَّل وزنٌ أقل بدرجة طفيفة في الأجزاء القليلة الأولى من المائة من الثانية. ومع سقوط حبَّة الرمل الأخيرة واصطدامها، تكون هناك برهة قصيرة من الوقت يتجاوز الوزنُ فيها الوزنَ المبدئي. فلكل حبَّة رمل تضرب القاع الآن، لم يعُد هناك حبة رمل تغادر الحجيرة العلوية؛ لذا يزداد وزن الساعة الرملية.

(٦) كم يبلغ وزنِي على أي حال؟

تَنتُج التذبذبات عن حركة مركز الجاذبية الخاص بالدم لأعلى ولأسفل مع مرور القلب بدورة ضرباته. بالنسبة إلى شخص يزن ١٦٥ رطلًا، يبلغ مقدار التذبذب نحو أوقية واحدة. ويمكنك محاكاة هذا التأثير (وتحقيق نتائج أكبر بكثير!) عن طريق الوقوف على ميزان الحمام مع رفع ذراعَيْك وخفضهما.

بينما تبدأ في النزول من على الميزان، سيكون عليك أن تثني ركبتك أو ركبتيك كي تأخذ الخطوة الأولى. وللحظة سيتسارع أغلب جسدك لأسفل؛ وبذا لا يدعم الميزان وزنه الكامل. ولهذا السبب «تقلُّ» قراءة الميزان بقدر طفيف!

(٧) اللَّوح والمطرقة

للمنظومة نفس الزخم الأفقي قبل اصطدام المطرقة باللوح وبعده مباشرة. فقبل اصطدام المطرقة المتحرِّكة باللوح الساكن مباشرةً، يكون زخمها في اتجاه اللوح. وبعد الاصطدام مباشرةً، يتحرَّك اللوح (والفتاة فوقه) في الاتجاه الأصلي لحركة المطرقة، وتتحرَّك المطرقة الآن مع اللوح (في الوضع المثالي). تسبب الفعل في نقل الزخم الأفقي من المطرقة إلى اللوح + الفتاة + المطرقة، بحيث يُستوفى قانون حفظ الزخم.

يلعب الاحتكاك مع الأرضية دورين؛ أولًا: الاحتكاك الساكن يمنع اللوح من التحرُّك إلى أن تضرب المطرقة ضربتها. وثانيًا: الاحتكاك الحركي العامل بين الأرضية واللوح المتحرِّك بعد الضربة يعمل على إعادة المنظومة المتحركة ثانيةً إلى السكون، وفي الوقت ذاته ينقل الزخم إلى الأرض.

(٨) الحصان المتمايل

في البداية، يتسارع الحصان من السكون، لكنه سريعًا ما يصل إلى سرعة ثابتة حتى يقترب من حافة الطاولة. التسارع المبدئي من السكون يأتي استجابةً لمحصِّلة القوى الأفقية المبذولة عبر الخيط بواسطة الثقل المعلَّق أسفل الحافة. والسرعة المتوسطة الثابتة تقريبًا هي نتيجة لهذه القوة الخارجية الأفقية الثابتة التي كافأتها قوة الاحتكاك الساكن المقاوِمة للحركة الأمامية. وحين يقترب الحصان المتمايل من الحافة، بحيث تميل زاوية الخيط بدرجة أكبر نحو المستوى الرأسي، تزداد القوة الطبيعية للحصان تجاه الطاولة بدرجة كبيرة. وهذا يزيد قوة الاحتكاك الساكن بما يجعل الحصان يتوقَّف ساكنًا قبل الحافة مباشرة. يا له من حصان بارع!

العديد من الناس يتدبَّرون القوة الأفقية للخيط وحسب ونقصانها في القيمة بينما يقترب الحصان من الحافة. وهم يخفقون في تطبيق قوانين نيوتن بالشكل الصحيح؛ لأنه حتى إذا صارت قوة الخيط هذه صفرًا قبل أن يصل الحصان إلى الحافة، فسينقلب الحصان من فوق الحافة مع ذلك! يقضي قانون نيوتن الأول بأن الحصان ينبغي له أن يستمر في حالة الحركة المنتظمة الخاصة به في خط مستقيم، ما لم تؤثِّر عليه قوة خارجية. وفي حالتنا هذه، محصِّلة القوى الخارجية الكبرى هي قوة احتكاك ساكن، وهو ما قد يؤدي بالحصان إلى التوقف في سكون، حتى لو لم تزدَدْ قيمة هذه القوة.

(٩) مدفعان

الإجابة المثيرة للدهشة هي أنه بغضِّ النظر عن المسافة الفاصلة بين المدفعين، والزاوية التي يصَوِّبان بها، ستتصادم القذيفتان دائمًا في الهواء (مع تجاهل التأثيرات الهوائية).

لفهم السبب، أوقِفْ عمل الجاذبية مؤقتًا. ستتحرَّك القذيفتان في هذه الحالة على امتداد مسار مستقيم بين المدفعين وتتصادمان في منتصف المسافة. أعِدْ تشغيل الجاذبية وستسقط القذيفتان مسافتين متساويتين إلى أن تتصادما في الهواء بالمثل.

(١٠) قانون الجذب العام

(١١) موازنة عصا المكنسة

الجواب هو: لا. فالجزء الأقصَر من عصا المكنسة الذي يحتوي على المقشَّة أثقل من الجزء الآخر. الجزء الأقصر والمقبض الطويل يتوازنان؛ لأنهما يبذلان عزمين متساويين متعاكسين حول نقطة الدعم، وليس لأنهما متساويان في الوزن. إن مركز جاذبية الجزء الأقصر أقرب إلى نقطة الدعم؛ لذا فإن وزنه (الذي يمكن افتراض أنه متركِّز هناك) يجب أن يكون أكبر كي يوفِّر العزم الموازِن. فكِّرْ في طفلين يركبان أرجوحة، كي يتوازنا يجب على الطفل الأثقل وزنًا أن يقترب من نقطة الارتكاز.

(١٢) يحيا الاختلاف!

في حالة الرجل يكون مركز الكتلة أقرب إلى الرأس مما في حالة المرأة. ومن ثم، سيعجز الرجل العادي في إسقاط عُلبة الثقاب دون أن يحرِّك مركز كتلته للأمام لأبعد من ركبتيه، وهو ما سيجعله ينقلب. بعبارة أخرى: تشكِّل الركبتان المحور الأفقي الذي يوفِّر مركز الكتلة عزمًا حوله. وما دام العزم يعيد الشخص إلى قدمَيْه ثانيةً، لا ينقلب النظام. ثمة طريقة أخرى للتعبير عن هذا الشرط تعتمد على كون مركز الكتلة في موضع أعلى من قاعدة الدعم المحدَّدة بواسطة أصابع اليدين والقدمين.

للنساء أيضًا مزية على الرجال عند الطفو على ظهورهن في الماء؛ لأن توزيع وزنهن يميل لأن يكون مختلفًا بدرجة كبيرة. بالنسبة إلى الرجال، يبتعد مركز الطفو كثيرًا عن مركز الجاذبية؛ إذ يقع مركز الطفو في منطقة الصدر فيما يوجد مركز الجاذبية عند الأرداف. بالنسبة إلى النساء، يوجد المركزان كلاهما في منطقة البطن. ونتيجة لذلك، يطفو الرجل بزاوية مائلة طفيفة؛ بحيث يكون الجزء العلوي من الجذع خارجًا من المياه بدرجة أكبر من الجزء السفلي من الجذع. أما النساء فيطفون على نحو مستوٍ.

(١٣) مفارقة التوازن

في الواقع، تُعَدُّ وضعية متساوي الأضلاع عنصرًا ضروريًّا في كل الموازين التي تكون كِفَّاتُها مدعومة من الأسفل بدلًا من أن تكون معلَّقة من الأعلى. والميزان المشيَّد على هذا النحو يسمَّى ميزان روبيرفال، على اسم الفيزيائي والرياضي الفرنسي الذي اخترعه عام ١٦٦٩م.

(١٤) السير على حبل مشدود

الوزن الإضافي لا يهم السائر على الحبال إلا قليلًا؛ إذ يجب أن يمنع الشخص نفسه من الوقوع من على الحبل. يزيد القضيب الأفقي زخم الشخص القصوري حول محور الميل الموازي للحبل؛ بحيث يحدث أي ميل على نحو أبطأ بكثير مما كان سيحدث دون وجود القضيب. ومن ثم يكون هناك وقت أكبر بكثير للتعافي واستعادة التوازن.

(١٥) موازنة عصا عمودية

تنطبق مقولة إن الأجسام ذات مركز الجاذبية المنخفض تكون أكثر استقرارًا من الأجسام ذات مركز الجاذبية المرتفع على المواقف التي تتضمن توازنًا ساكنًا (استاتيكيًّا). ففي هذه الظروف، ستتسبب أي إمالة طفيفة عن الوضع العمودي في تحريك الخط العمودي لمركز الجاذبية إلى خارج مساحة الاتصال الخاصة بالقاعدة، وهو ما ينتج عزمًا صافيًا حول المحور الأفقي. ومن ثم، تسقط العصا الطويلة بسهولة كبيرة مقارنة بعقب القلم الرصاص القصير، الذي يحتاج إلى إمالة أكبر.

عند موازنة العصا على طرف الإصبع، يكون من الممكن تحريك الإصبع حتى يتم الإبقاء عليه أسفل مركز جاذبية العصا. العصا الطويلة لها زخم قصوري أكبر؛ لذا يكون معدل دورانها الزاوي أصغر من العصا القصيرة. وبهذا سيكون لديك وقتٌ كافٍ لتحريك إصبعك نحو مركز الجاذبية قبل أن تسقط العصا.

(١٦) العِصِيُّ المتسابقة

خلافًا لتوقعات معظم الناس، تصل العصا (أ) إلى أدنى موضع لها قبل العصا (ب). في الواقع، خلال الحركة كلها من الموضع الأعلى إلى الموضع الأكثر انخفاضًا، تكون العصا (أ) متقدِّمة دومًا على العصا (ب).

هناك طرق عدة لتحليل سلوك العَصَوَين. على سبيل المثال، بتطبيق قانون نيوتن الثاني على العزم، سنستنتج أن التسارع الزاوي يتناسب طرديًّا مع معدل العزم مقسومًا على الزخم القصوري حول نقطة الارتكاز. فالعزم الأكبر المؤثِّر على العصا (ب) ليس كافيًا لتعويض زخمها القصوري الأكبر؛ لذا يظل تسارعها الزاوي دائمًا أصغر من التسارع الزاوي للعصا (أ).

(١٧) الأصابع السحرية

قد تتوقَّع أن ينزلق الإصبع الداعم العلوي أولًا؛ لأنه يبدو وكأنه يدعم وزنًا أقل. ستكون قيمة قوة الاحتكاك الساكن القصوى الخاصة به أقل؛ ومن ثم سيسهل تجاوزها. ومع ذلك، بوضع العصا بالزاوية نفسها، يزيد الضغط للداخل عند الجانبين على نحوٍ متساوٍ من القوة الداعمة لحظيًّا (ومن ثم يزيد من الاحتكاك الساكن) عند نقطة الاتصال العليا، ويسمح للإصبع الداعم الأسفل بالحركة أولًا.

(١٨) سباق عُلب الحساء

الحساء السائل كحساء الدجاج لا يقترن جيدًا (بمعنى أنه ينزلق) مع الجدار الداخلي للعُلبة بينما تتدحرج هابطة على السطح المائل. ومن ثم معظم الطاقة الحركية الخاصة به عند كل موضع منخفض على امتداد السطح المائل ستكون طاقة حركية انتقالية، يصاحبها مقدار طفيف للغاية من الطاقة الحركية الدورانية. في المقابل، سيدور الحساء الأكثر تماسكًا، مثل كريمة البروكلي، مع دوران العُلبة؛ بحيث تصير الطاقة الحركية الدورانية ملحوظةً يصاحبها مقدار طفيف من الطاقة الحركية الانتقالية. ومن ثم، سيملك الحساء الأكثر سيولةً على الدوام سرعةً انتقالية أكبر أثناء هبوط السطح المائل بما يمكِّنه من الفوز بالسباق.

لا تلعب كتلة العُلبة أو نصف قُطرها دورًا أساسيًّا في سلوك التدحرج الخاص بالعُلب ذات أنصاف الأقطار الكبيرة، لكن علينا أن نتدبَّر مدى قرب جدار الحساء من السائل الموجود بالداخل من أجل الاعتبارات الخاصة باقتران اللزوجة. وكلما صار نصف قُطر العُلبة أصغر، حاوَلَ المزيد والمزيد من الحساء السائل التدحرج بنفس الحركة الدورانية الخاصة بالعُلبة.

(١٩) النحلة الدوَّارة المنقلبة

من منظور الشخص الناظر من أعلى على النحلة الدوَّارة، تدور النحلة الدوَّارة حول نفسها في الاتجاه عينه، سواء حين تكون منتصبة أو بعد انقلابها. ومع ذلك، بما أن النحلة انقلبت رأسًا على عقب، فلا بد أن دورانها قد انعكس! عندما نضع في الاعتبار الدورانَيْنِ حول المحور العمودي فقط، فإن الاحتكاك مع السطح هو ما قدَّم العزم المطلوب لتحقيق هذا الأمر مع انقلاب النحلة رأسًا على عقب.

(٢٠) الحجر نصف البيضاوي الغامض

إن عدم المحاذاة بين المحور الطولي للجزء البيضاوي والمحور الطولي للجزء المسطَّح — أي محور الجسد — يسهم في وجود هذا السلوك. فإذا أُدير الحجر في الاتجاه «الخاطئ»، فستتسبَّب قوة الاحتكاك الحركي في نهاية المطاف في سكون الحجر دورانيًّا، لكن مع استمرار حركة الاهتزاز. وحين يلمس الاهتزاز إلى الأسفل سطحَ الطاولة بدرجة مناسبة، تبذل الطاولة عزمًا دورانيًّا صافيًا صغيرًا في الاتجاه «الصحيح»، ويبدأ الحجر في الدوران. وما دامت الحركة الاهتزازية مستمرة، يمكن أن تنشأ عزوم صافية صغيرة إضافية، بحيث تواصل تحويل الحجر إلى الدوران في الاتجاه «الصحيح» ضد القوة الاحتكاكية المعاكِسة.

(٢١) الرصاصة الغامضة

الرصاصتان متماثلتان في كل شيء ما عدا المادة المصنَّعة منها كل رصاصة منهما. فالرصاصة (أ) لا بد أنها مرَّت بتصادم مَرِن مع الهدف وارتدَّت عنه، بينما انغرست الرصاصة (ب) في الهدف. في أبسط الحالات، كان التغير في زخم الرصاصة (أ) ضعف التغير في زخم الرصاصة (ب) لو أن التغير في الزخم لكلتا الرصاصتين حدث خلال الفترة الزمنية عينها. عندئذٍ ستكون قوة الاصطدام الخاصة بالرصاصة (أ) ضعف قوة الاصطدام الخاصة بالرصاصة (ب).

(٢٢) مركزا الكتلة لمثلث ومخروط

مركز الكتلة لمخروط دائري قائم يقع على مسافة «ربع» ارتفاع المخروط. سبب انخفاض مركز الكتلة هذا سيصير واضحًا لو أننا تصوَّرنا أن المخروط يتكوَّن من شرائح مثلثة رفيعة موازية لأكبر شريحة مثلثة تمر عبر القمة. مركز كتلة كل شريحة مثلثة يقع على مسافة ثلث ارتفاع الشريحة. ومع ذلك، بينما تصير الشرائح أصغر وأصغر نحو الإطار الخارجي للمخروط، تنخفض بالمثل ارتفاعات مراكز الكتلة أكثر وأكثر ناحية قاعدة المخروط. نتيجة لذلك، ينخفض مركز كتلة المخروط كله إلى نقطة تقع على مسافة ربع ارتفاع محوره. ومن الممكن حساب قيمة الربع باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

(٢٣) البقاء على القمة

عوامل عديدة تؤثِّر على الموضع الذي تتحرَّك إليه التفاحات أثناء الاهتزاز. ليس بوسع أي تفاحة يزيد حجمها عن الحيز الفاصل بين تفاحتين أسفلها أن تنزلق عبر هذا الحيز؛ ومن ثم لا تتحرك التفاحات الموجودة بالأسفل إلى الجانب، وتظل التفاحة الأكبر فوقها. في المقابل، أي تفاحة أصغر من الحيز المتاح يمكنها أن تسقط بسهولة لأسفل. وحين تحدث إعادة التموضع هذه مرات عديدة داخل دلو مملوءة بتفاحات ذات أحجام مختلفة، سينتهي المآل بالتفاحات الأكبر حجمًا في المستويات الأعلى.

في الصورة الأكبر، يكون النظام في أكثر مواضعه استقرارًا حين تصل طاقة الوضع الخاصة به إلى مستواها الأدنى. سيكون مركز جاذبية التفاحات في أدنى مواضعه حين تصير التفاحات الموجودة في القسم الأدنى من الدلو في أشد صور الاحتشاد إحكامًا. وسيكون مركز الجاذبية في أدنى مواضعه لو كانت كل الفجوات والثغرات مملوءة بالتفاحات الصغيرة. ونتيجة لذلك، سينتهي المطاف بالتفاحات الأكبر على القمة.

الأكثر إثارةً للدهشة هو أنه حتى الأجسام الأشد كثافةً يمكن جعلها تتحرك لأعلى بهذه الطريقة! فارتفاع الصخور في فصل الربيع يحدث في الأساس بسبب الاضطرابات التي تسمح لحظيًّا للحُبيبات بالانزلاق لأسفل تحت الصخور كي تمنع عودتها إلى موضعها المبدئي، رغم أنه عادةً ما يُفسَّر هذا الأمر بأنه راجع إلى الصقيع الموجود في الأرض. هنا تأخذ الاضطرابات شكل تجمُّد وذوبان، لكن يمكن تحقيق النتيجة عينها من الصدمة والاهتزاز. وكمثال آخر على الانفصال بسبب الحجم فكِّر في إجابة السؤال التالي: أين تجد حُبيبات الذرة التي لن تنتفخ وتتحوَّل إلى فشار؟ الجواب هو: في القاع. ففي هذه الحالة تعد الكثافة الأعلى لحُبيبات الذرة التي لم تتحوَّل إلى فشار عاملًا مساهمًا هي الأخرى.

(٢٤) الجاذبية المضادة

شاهِدِ البِلْية بحرص من الجانب، وسترى ما يحدث في حقيقة الأمر. بينما تتدحرج البِلية ناحية الطرف العلوي، فإنها في الواقع تهبط قليلًا بين الماصتين المتباعدتين. ومن الممكن ملاحظة التأثير عينه عند السماح لمخروط مزدوج (أي مخروط له طبقتان) مصنوع من قمعين بلاستيكيين بالتدحرج هابطًا مسارًا مزدوجًا منحدرًا محفورًا في ورق مقوًّى.

(٢٥) أي مسار؟

(٢٦) هل الطريق الأقصر هو الأسرع؟

كان أول من توصَّل إلى حل هذا المسار، الذي يُطلَق عليه «منحنى أقصر وقت»، هو جون برنولي (١٦٦٧–١٧٤٨م)، لكن المنحنى الذي قدَّم الحل — الدويري — كان معروفًا بالفعل لجاليليو بوصفه المسار الشبيه بالقوس الذي ترسمه نقطة على حافة عجلة متدحرجة. يتسم المسار الدويري بالجمال، وأدَّى إلى العديد من الخلافات في عالم الهندسة لدرجة أنه سمِّي «هيلين الهندسة».

للدويري أيضًا خاصية «تَسَاوِي وقتٍ» مدهشة؛ فالخرزة العديمة الاحتكاك ستصل إلى القاع في الفترة الزمنية عينها بغضِّ النظر عن الموضع الذي تُطلَق منه الخرزة على المنحنى من وضع السكون!

(٢٧) منحنى أقصر وقت غير المقيد

ستفوز البِلْية (ب) بالسباق؛ وذلك بأن تهبط المنخفضات وتصعد المرتفعات. المكوِّن الأفقي للسرعة للبِلية (ب) في أي وقت بعينه يكون دائمًا مساويًا للسرعة الأفقية للبِلية (أ) أو أكبر منها. وتذكَّر أنه ليس بوسع أيٍّ من البِليتين مغادرة مسارها أو الانزلاق.

(٢٨) قصبتان مائلتان^*

القصبة العارية ستضرب الأرض أولًا. تَحدَّد وقت السقوط بواسطة التسارع الزاوي، الذي يتناسب طرديًّا مع معدل العزم الناتج عن الجاذبية والزخم القصوري. ويعتمد العزمان كلاهما على توزيع الكتلة.

(٢٩) أسرع من السقوط الحر^*

(٣٠) أسطوانتان متسابقتان^*

(٣١) الاحتكاك المساعد للحركة^*

(٣٢) ملف الخيوط المطيع^*

(٣٣) من الفائز؟^*

سيتغلب المخروط المصمت على الكرة المصمتة! إن القوة المحدِّدة هي المُعامِل العددي في معادلة الزخم القصوري. وكلما كانت قيمة المعامل للمحور الموازي لمحور الدوران أقل، كان التسارع نزولًا على السطح المائل أكبر. والمعامِلات العددية للزخم القصوري هي: (أ) ١ / ٢ بالنسبة إلى الأسطوانة المصمتة حول محور الأسطوانة، (ب) ٢ / ٥ بالنسبة إلى الكرة المصمتة حول أي قُطر لها. أما بالنسبة إلى المخروط الدائري العمودي فإن القيمة المكافئة هي ٣ / ١٠؛ ومن ثم يربح المخروط المصمت السباقَ. ولجعْل المخروط يتدحرج على نحو مستقيم أثناء الهبوط على السطح المائل، ثبِّتْ به حلقة سلكية عديمة الكتلة تقريبًا قُطْرها مساوٍ لقطر قاعدة المخروط بالقرب من الطرف المستدقِّ للمخروط.

بالمناسبة، هذه الأشكال الثلاثة — الأسطوانة والكرة والمخروط، والأخيران يدخلان على نحوٍ محكَم داخل الأسطوانة — هي الأشكال الثلاثة الموجودة على قبر أرشميدس. وقد كان أرشميدس هو أول من حدد نِسَب الحجم الخاصة بها: ١:٢:٣.

(٣٤) تحريك الأرجوحة^*

الآن يمكننا أن نرى المعضلة الحقيقية. إن القوتين الخارجيتين الوحيدتين المؤثرتين على الطفل هما قوة شد الحبل ووزن الطفل، بَيْدَ أن مجموعهما صفر. وَفْق قانون نيوتن الأول، ما دامت محصِّلة القوة الخارجية صفرًا، فبغضِّ النظر عما يفعله الطفل فإن مركز جاذبيته سيظل في حالة سكون. فإذا مال الطفل للخلف، فستندفع ساقاه للأمام وللأعلى، وإذا مال الطفل للأمام، فستندفع ساقاه للخلف. يعدِّل مركز الجاذبية من موضعه على نحوٍ متواصل استجابةً لأي تغيرات في وضعية الجسد، وذلك «نسبةً إلى الجسد».

نحن بحاجة إلى طريقة لإنتاج عزمٍ صافٍ حول المحور الأفقي المار بنقاط الدعم مع الإطار. ستشير قوة شد الحبل على الدوام ناحية محوره؛ لذا لن يكون بوسع قوة الشد مطلقًا أن تنتج هذا العزم. لكن من الممكن إزاحة خط قوةِ متَّجِه الوزن-العمودي من محور الدوران بحيث توجد ذراع رافعة. ما على الطفل أن يفعله ببساطة هو أن يعطي الحبل دفعة مفاجئة للخلف بذراعيه، مع الحفاظ على بقية الجسد في وضعية ثابتة. وفق قانون نيوتن الثالث، سيتحرك جسد الطفل إلى الأمام قليلًا، ووقتها فإن العزم الصغير في اتجاه عقارب الساعة حول محور الدعم سيبدأ الحركة للخلف.

للبدء من السكون في وضعية الجلوس، يميل الطفل للخلف فجأةً لاكتساب عزم زاويٍّ حول مركز الكتلة، لكن في غياب أي عزوم خارجية حول محور الارتكاز الخاص بالأرجوحة، يُزاح مركز الكتلة من موضعه المبدئي كي يبدأ حركة الأرجوحة. لمعرفة الطرق الأخرى انظر المراجع.

(٣٥) تحريك الأرجوحة في وضعية الوقوف^*

يستطيع الطفل الواقف على الأرجوحة تحريكها بعدة طرق مختلفة. الأمر المشترك بين هذه الطرق هو أن الطفل يَثني ركبتيه عند نهاية كل أرجَحَةٍ إلى الخلف أو الأمام (أو حتى عند كليهما)، بينما يفرد ركبتيه في منتصف الأرجحة إلى الخلف أو الأمام أو كليهما. يتمثل تأثير حركة فرد وثني الركبتين هذه في رفع مركز جاذبية الطفل في منتصف الأرجحة وخفضه عند نهاية كل دورة أرجحة.

لرفع مركز جاذبيته في منتصف الأرجحة، يبذل الطفل شغلًا بطريقتين: (١) زيادة طاقة وضع الجاذبية الخاصة به، و(٢) زيادة طاقة الحركة الخاصة به.

حين يخفض الطفل مركز جاذبيته عند نهاية كل أرجحة، تقل طاقة الوضع الخاصة به. لا يوجد تغير في طاقة الحركة؛ لأنه يكون وقتها في حالة سكون لحظي. يكون موضع مركز الجاذبية الخاص بالطفل وقتها على امتداد القوس نفسه كما كان في البداية، بيد أنه مائل بزاوية أكبر، مستعدًّا لبدء التتابع من جديد. وعلى مدار دورة الأرجَحَة كان هناك مكسب صافٍ في الطاقة، التي زادت من سعة الأرجحة، وهذه الطاقة نُقِلَت من الطفل إلى الأرجوحة من خلال عضلاته.

(٣٦) تحريك الأرجوحة في وضعية الجلوس^*

الجواب هو: نعم. في وضعية الوقوف، من شأن ثَنْي وفرد ركبتيك في اللحظات الملائمة أن يدفع الأرجوحة إلى مستويات شدة أكبر. أما في وضعية الجلوس، فلن تتأثر حركة مركز الجاذبية تقريبًا. وهنا يكون على الطفل أن يفعل شيئًا مثيرًا للاهتمام. فعند نهاية الأرجحة إلى الخلف وبداية الأرجحة إلى الأمام يؤرجح الطفل ساقَيْه؛ وبذا يدير جسده في عكس اتجاه عقارب الساعة. بطبيعة الحال لا يمكن أن يستمر دورانه؛ لأنه سيسقط عن مقعده؛ لذا هو يُوقِف الدوران بأن يشد الحبل.

(٣٧) العجلة الدوَّارة^*

الجواب هو: لا. فمن قبيل المفارقة، ما على الشخص عمله هو أن يدفع بيده اليمنى لأعلى، وبيده اليسرى «لأسفل»!

بادئ ذي بدء، سنستعرض الحُجَّة دون استخدام العزم. تدبَّرْ حالة الحركة الخاصة بأربعة عناصر للكتلة في الإطار. العنصر الموجود في القمة متجهُ السرعةِ الخاصُّ به أفقيٌّ ويتجه مباشرةً بعيدًا عن الشخص؛ لذا من المطلوب عمل تغيُّر صغير في السرعة؛ من أجل تحقيق الدوران المقترَح لسطح العجلة. العنصر الموجود في القاع متجهُ السرعةِ الخاصُّ به أفقيٌّ ويتجه مباشرةً نحو بطن الشخص، وهو ما يتطلَّب تغيرًا إلى اليمين. العنصران الموجودان في المقدمة والمؤخرة لهما متَّجهَا سرعة رأسيان، لأسفل ولأعلى، وهو ما يتطلَّب عدم إحداث أي تغيير على الإطلاق من أجل تحقيق التغير المنشود في اتجاه العجلة.

يمكن التوسع في الحجَّة بسهولة، عن طريق أخذ مركبَي السرعة الأفقي والرأسي؛ لبيان أن كل عناصر الكتلة في النصف الأعلى من العجلة تحتاج تغيرًا في السرعة إلى اليسار، بينما كل العناصر الموجودة في الأسفل تحتاج تغيرًا في السرعة إلى اليمين.

بما أن السبيل الوحيد لتغيير سرعة أي عنصر كتلة في أي اتجاه بعينه هو بَذْل محصلة قُوى في هذا الاتجاه، يجب على الشخص أن يعمل عبر جذع العجلة والمحامل والمحور والبرامق عن طريق الضغط لأعلى بيده اليمنى ولأسفل بيده اليسرى. ومن دون استخدام العزوم، اكتشفنا السلوك «الجانبي» العجيب للقوة الجيروسكوبية؛ فمن أجل إحداث تأثير في أحد الأسطح، على المرء بَذْل قوى على السطح بزاوية عمودية على السطح الأول.

الآن جاء دور التفسير القائم على العزم. في البداية، العجلة الدوارة لها متجه الزخم الزاوي الأفقي الخاص بها، الذي نختار أن نحاذيه بالمحور السيني. ومن شأن الدفع للأمام باليد اليمنى والشد للخلف باليد اليسرى أن يقلِّل هذا المركب السيني للزخم الزاوي ويزيد المركب الصادي. لكن العزم المبذول هو في حقيقة الأمر مبذول حول المحور العيني! لذا ما يحدث فعلًا هو أن المحور يميل للأسفل كي يزيد المركب العيني بدلًا من أن يتبع المسار المنشود. ولزيادة المركب الصادي للزخم الزاوي، علينا بَذْل عزم صافٍ حول المحور الصادي؛ بمعنى الدفع لأعلى باليد اليمنى ولأسفل باليد اليسرى!

(٣٨) الاصطدام بجدار مصمَت^*

حتى إن كان التصادم مَرِنًا، يجب أن ترتد الكرة عن الجدار بسرعة تقلُّ قليلًا عن سرعة اصطدامها به. ومن ثم فإن التصادم المرِن ما هو إلا تقريبٌ جيدٌ للحالة المثالية التي فيها يتمتع الجسم بطاقة الحركة ذاتها قبل التصادم وبعده. وهذا التأثير معروف جيدًا في حالة جزيئات الغاز التي تضرب المكبس المثالي القابل للتحرك، وبهذا تَبْذل شغلًا خلال تمدُّد الغاز المثالي.

وقد يرغب المرء في تقدير مقدار طاقة الحركة الابتدائية التي أنتجت طاقة حرارية وصوتية خلال التصادم.

(٣٩) لعبة المديرين: كرات نيوتن^*

(٤٠) المطرقة^*

عند غرس وَتد في الأرض، فإن ما نرغب فيه هو تعظيم طاقة الحركة الخاصة بالوتد والمنتَجة بواسطة ضربة المطرقة. أما عند تشكيل قطعة معدن فإننا نريد تقليل طاقة الحركة الخاصة بالسندان والمطرقة إلى حدِّها الأدنى بعد التصادم، بحيث يصير المقدار الأقصى من الطاقة في ضربة المطرقة متاحًا من أجل تغيير شكل قطعة المعدن. وكِلَا الموقفين يقفان على طَرَفَيِ النقيض.

تدبَّرْ أولًا التصادم غير المرِن بالمرة؛ ذلك التصادم الذي يحدث دون أي ارتداد. هذا النوع من التصادم هو الأنسب لعملية تشكيل المعادن؛ لأن المطرقة ستصير في حالة سكون على السندان الحامل لقطعة المعدن.

(٤١) زيادة السرعة^*

(٤٢) ارتداد الكرة المطاطية المرنة^*

سيجيب العديد من الفيزيائيين قائلين: «لا بد أن تبدأ الكرة بدوران خلفي.» وهذا غير صحيح. تدبَّرْ أولًا مثالًا أبسط. دَعْ كرة مطاطية مرنة تقترب من الأرض بسرعة للأمام ودون أي دوران. بعد الارتداد عن الأرض، ستظل الكرة تتحرَّك إلى الأمام، لكن على نحوٍ أبطأ. ما اتجاه الدوران؟ سيكون للكرة دوران علوي، بحيث يدور أعلى الكرة نحو الاتجاه الأمامي.

المشكلة الأصلية التي بين أيدينا تمثِّل موقفًا معكوسًا زمنيًّا لهذا المثال. تطيع قوانين نيوتن الثبات المعكوس زمنيًّا، لكننا بحاجة إلى تجاهل إنتاج الحرارة والاهتزازات الداخلية للكرة وما إلى ذلك من أمور. عندها سنرى أن الكرة في المشكلة الأصلية لا بد من أن تمتلك دورانًا ابتدائيًّا علويًّا كي تصل إلى حالة نهائية بعد الارتداد، ليس فيها دوران، وتكون السرعة فيها للأمام.

يتطلَّب الحل التفصيلي تطبيق مبدأَيْ حفظ الطاقة وحفظ الزخم الخطي والزاوي. وحل المشكلة الأصلية يستلزم ألا يُنتج اتجاهُ زخم الكرة المرنة خلال التصادم مع الأرض عزمًا دورانيًّا علويًّا؛ بمعنى أن اتجاه متجه الزخم يكون على الجانب الملائم لمحور الدوران خلال الاتصال، وهو شرط تَضْمنه ديناميكيات التصادم الفائق المرونة.

يمكننا بعد ذلك التقدم وبيان أنه بعد التصادم الثاني تكون الكرة المرنة الآن في نفس الحالة الابتدائية التي كانت عليها!

(٤٣) البندول الحلقي^*

ما دامت المقاطع في البندول متناظرة، فستظل الفترات الخاصة بالأجسام الباقية كما هي دون تغيير! ثمة مفاجأة إضافية؛ وهي أنه حتى إذا قُطع الطوق كله على نحو متناظر، بحيث لم يتبقَّ سوى قطعة صغيرة للغاية، فلن تتغير الفترات. سنحتاج إلى أن نبيِّن رياضيًّا أن العزم المستعيد والزخم القصوري لهما نفس الاعتماد على المسافة من محور الدوران؛ بحيث إن أي تغيُّر في إحدى الكميتين يؤدِّي إلى تغيُّر في الكمية الأخرى.

(٤٤) بندول عجيب^*