الفصل السابع

حركة الأجسام

(١) الفتاة الخارقة

في الشكل المبيَّن، يجب أن تُرفَع الفتاة (ووزنها س) والمقعد (ووزنه ص) من خلال جذب الفتاة الحبل لأسفل. تدبَّر موقفًا مثاليًّا: حبل عديم الاستطالة عديم الكتلة، وبكرة عديمة الوزن لا يُعاق دورانها، ودعم ثابت. ضع صندوقًا وهميًّا كبيرًا حول الفتاة والمقعد بحيث يخرج الحبل فقط منه (الصندوق الوهمي يعزل القوى العاملة فقط داخل هذا الصندوق عن القوى الخارجية). يلتف الحبل حول البكرة بالأعلى ويدعم الصندوق مرتين. وفق قانون نيوتن الثاني، في الاتجاه العمودي قوة الجذب لأسفل الخاصة بالجاذبية (التي تساوي الوزن الإجمالي: س + ص) يجب أن تفوقها قوة الجذب الإجمالية لأعلى لقطعتَي الحبل كي يكون لدينا محصلة قوى وتسارع لأعلى. قوة الشد لأعلى لكل قطعة حبل داعمة تنتج لنا قوة إجمالية لأعلى مقدارها ؛ ومن ثم يجب أن تكون أكبر من س + ص كي تتسارع المنظومة لأعلى. وبناءً عليه، إذا كان وزن الفتاة ١١٠ أرطال ووزن المقعد ١٠ أرطال، يجب أن تبذل الفتاة قوة لا تقل في مقدارها عن ٦٠ رطلًا على الحبل، وهو أمر يمكن تحقيقه بسهولة.

(٢) رَفْع نفسك بواسطة جذب رباط حذائك

في الشكل المبيَّن، يجذب الرجل (ووزنه س) الحبل لأعلى بقوة ، وهو ما ينتج قوة شد في الحبل. تدبَّرْ موقفًا مثاليًّا: حبل عديم الاستطالة عديم الكتلة، وبَكَرة عديمة الوزن لا يُعاق دورانها، ودعم ثابت من أعلى. ضع صندوقًا وهميًّا حول الرجل واللوح بحيث يخرج الحبل منه فقط كي يرتبط بالدعم الثابت (الصندوق الوهمي يعزل القوى العاملة فقط داخل هذا الصندوق عن القوى الخارجية). وفق قانون نيوتن الثاني يبدأ تسارعٌ لأعلى حين تفوق قوة الشد في قطعة الحبل الداعمة الوحيدة قوة الجذب لأسفل الخاصة بالجاذبية المؤثرة على كل شيء بالداخل؛ أي س + ص، وزن الرجل والصندوق. وبناءً عليه، حين يجذب الرجل بقوة أكبر من س + ص، سيرتفع هو والصندوق من على الأرض.

في اختبار فعلي، وصفه جيه بي دريك في عدد العشرين من أكتوبر عام ١٩١٧م لمجلة ساينتفيك أمريكان، لم يرفع رجل يزن ١٩٠ رطلًا نفسه بهذه الوسيلة وحسب، بل رفع أيضًا لوحًا وزنه ١١٠ أرطال أيضًا.

  • Mott-Smith, M. Principles of Mechanics Simply Explained. New York: Dover Publications, 1963, pp. 144-145.

(٣) الميزان الزُّنْبُركي

سيسجل الميزان قراءة مقدارها ١٠٠ رطل! عند تعليق الجسم البالغ وزنه ٦٠ رطلًا على خُطَّاف الميزان، تقل قوة الشد في الحبل السفلي فورًا إلى ١٠٠ رطل مطروحًا منها ٦٠ رطلًا؛ أي تصير ٤٠ رطلًا. ومع ذلك، مجموع القوى المؤثِّرة إلى أسفل التي يبذلها الجسم البالغ وزنه ٦٠ رطلًا وقوة الشد البالغة ٤٠ رطلًا في الحبل لا يزال مقداره ١٠٠ رطل. لقد أزال الجسم البالغ وزنه ٦٠ رطلًا بعضًا من الحِمل الذي يحمله الحبل، لكن الحِمل الإجمالي ظل كما هو. ومن ثم، إذا عُلِّقَ أي جسم يقل وزنه عن ١٠٠ رطل على الخطاف، فستظل القراءة عند ١٠٠ رطل. وإذا عُلِّقَ جسم وزنه ١٠٠ رطل على الخطاف، فستصير قوة الشد في الحبل صفرًا، وسيكون الجسم قد أخذ دور الحبل بالكامل. أما إذا عُلِّقَ جسمٌ وزنه أكثر من ١٠٠ رطل على الخطاف، فسيرتخي الحبل، وتتساوى القراءة مع وزن الجسم المعلَّق في الخطاف.

(٤) القرد والموز

العزمان الخارجيان المتقابلان اللذان ينتجهما القرد والموز حول محور البكرة سيُلغي أحدهما الآخر. ومن ثم يكون الزخم الزاوي حول محور البكرة محفوظًا كما يتطلبه قانون حفظ الزخم الزاوي. هنا يكون في البداية صفرًا؛ لذا هو يظل صفرًا بِغَض النظر عما يفعله القرد. وتحديدًا، أي حركات لأعلى من جانب القرد والموز لا بد أن تكون متساوية. بطبيعة الحال، إذا بدأ القرد الحركة وهو في موضع منخفض مقارنةً بسباطة الموز، فستظل المسافة الرأسية بينهما واحدة، وهو ما سيجعل القرد محبَطًا لعدم قدرته على الوصول للموز (نفترض هنا أن سباطة الموز لا تصل إلى ارتفاع يجعلها تثبت حركة البكرة).

بالنظر إلى تفاصيل القوى، ستحتاج إلى أن تضع في اعتبارك قوة الشد على امتداد الحبل، الذي يجب أن يدعم وزن القرد ويمده بالقوة من أجل تسارعه لأعلى الحبل على هذا الجانب بينما يدعم الموز على الجانب الآخر. وتحديدًا، ليس بوسع الحبل عديم الاستطالة أن يزيد قوة الشد الخاصة به، لكن عليك أن تفترض أن الحبل عديم الاستطالة له قوة شد متماثلة عند كل النقاط على امتداد الحبل.

عند الطرف الخاص بالقرد، تجذب آخرُ قطعة حبل القردَ لأعلى بقوة شد ؛ أي بقوة كي تدعم وزنها إضافةً إلى القوة الخارجية التي تساوي (مقدار شد القرد على الحبل) كي توفر تسارعًا لأعلى. وتعمل قوة الشد عينها على سباطة الموز على الطرف الآخر من الحبل كي تسبب تسارعها لأعلى بمقدار مساوٍ. وبذا سيرتفع القرد وسباطة الموز معًا.

(٥) ساعة رملية على ميزان

من اللحظة التي تضرب فيها أول حَبَّة رمل قاع الساعة الرملية إلى اللحظة التي تغادر فيها آخر حبَّة رمل الحجيرة العلوية، تظل القوة الناتجة عن اصطدام التيار الساقط ثابتة، وتساعد في جعل الوزن الإجمالي مساويًا لوزن الساعة الرملية قبل قلبها. فحين يبدأ تيار الرمال في السقوط، لا يسهم الرمل الساقط سقوطًا حرًّا في الوزن؛ لذا يُسجَّل وزنٌ أقل بدرجة طفيفة في الأجزاء القليلة الأولى من المائة من الثانية. ومع سقوط حبَّة الرمل الأخيرة واصطدامها، تكون هناك برهة قصيرة من الوقت يتجاوز الوزنُ فيها الوزنَ المبدئي. فلكل حبَّة رمل تضرب القاع الآن، لم يعُد هناك حبة رمل تغادر الحجيرة العلوية؛ لذا يزداد وزن الساعة الرملية.

  • Shen, K. Y., and B. L. Scott. “The Hourglass Problem.” American Journal of Physics 53 (1985): 787.

(٦) كم يبلغ وزنِي على أي حال؟

تَنتُج التذبذبات عن حركة مركز الجاذبية الخاص بالدم لأعلى ولأسفل مع مرور القلب بدورة ضرباته. بالنسبة إلى شخص يزن ١٦٥ رطلًا، يبلغ مقدار التذبذب نحو أوقية واحدة. ويمكنك محاكاة هذا التأثير (وتحقيق نتائج أكبر بكثير!) عن طريق الوقوف على ميزان الحمام مع رفع ذراعَيْك وخفضهما.

بينما تبدأ في النزول من على الميزان، سيكون عليك أن تثني ركبتك أو ركبتيك كي تأخذ الخطوة الأولى. وللحظة سيتسارع أغلب جسدك لأسفل؛ وبذا لا يدعم الميزان وزنه الكامل. ولهذا السبب «تقلُّ» قراءة الميزان بقدر طفيف!

(٧) اللَّوح والمطرقة

للمنظومة نفس الزخم الأفقي قبل اصطدام المطرقة باللوح وبعده مباشرة. فقبل اصطدام المطرقة المتحرِّكة باللوح الساكن مباشرةً، يكون زخمها في اتجاه اللوح. وبعد الاصطدام مباشرةً، يتحرَّك اللوح (والفتاة فوقه) في الاتجاه الأصلي لحركة المطرقة، وتتحرَّك المطرقة الآن مع اللوح (في الوضع المثالي). تسبب الفعل في نقل الزخم الأفقي من المطرقة إلى اللوح + الفتاة + المطرقة، بحيث يُستوفى قانون حفظ الزخم.

يلعب الاحتكاك مع الأرضية دورين؛ أولًا: الاحتكاك الساكن يمنع اللوح من التحرُّك إلى أن تضرب المطرقة ضربتها. وثانيًا: الاحتكاك الحركي العامل بين الأرضية واللوح المتحرِّك بعد الضربة يعمل على إعادة المنظومة المتحركة ثانيةً إلى السكون، وفي الوقت ذاته ينقل الزخم إلى الأرض.

  • Phillips, T. D. “Finding the External Force.” American Journal of Physics 22 (1954): 583.

(٨) الحصان المتمايل

في البداية، يتسارع الحصان من السكون، لكنه سريعًا ما يصل إلى سرعة ثابتة حتى يقترب من حافة الطاولة. التسارع المبدئي من السكون يأتي استجابةً لمحصِّلة القوى الأفقية المبذولة عبر الخيط بواسطة الثقل المعلَّق أسفل الحافة. والسرعة المتوسطة الثابتة تقريبًا هي نتيجة لهذه القوة الخارجية الأفقية الثابتة التي كافأتها قوة الاحتكاك الساكن المقاوِمة للحركة الأمامية. وحين يقترب الحصان المتمايل من الحافة، بحيث تميل زاوية الخيط بدرجة أكبر نحو المستوى الرأسي، تزداد القوة الطبيعية للحصان تجاه الطاولة بدرجة كبيرة. وهذا يزيد قوة الاحتكاك الساكن بما يجعل الحصان يتوقَّف ساكنًا قبل الحافة مباشرة. يا له من حصان بارع!

العديد من الناس يتدبَّرون القوة الأفقية للخيط وحسب ونقصانها في القيمة بينما يقترب الحصان من الحافة. وهم يخفقون في تطبيق قوانين نيوتن بالشكل الصحيح؛ لأنه حتى إذا صارت قوة الخيط هذه صفرًا قبل أن يصل الحصان إلى الحافة، فسينقلب الحصان من فوق الحافة مع ذلك! يقضي قانون نيوتن الأول بأن الحصان ينبغي له أن يستمر في حالة الحركة المنتظمة الخاصة به في خط مستقيم، ما لم تؤثِّر عليه قوة خارجية. وفي حالتنا هذه، محصِّلة القوى الخارجية الكبرى هي قوة احتكاك ساكن، وهو ما قد يؤدي بالحصان إلى التوقف في سكون، حتى لو لم تزدَدْ قيمة هذه القوة.

(٩) مدفعان

الإجابة المثيرة للدهشة هي أنه بغضِّ النظر عن المسافة الفاصلة بين المدفعين، والزاوية التي يصَوِّبان بها، ستتصادم القذيفتان دائمًا في الهواء (مع تجاهل التأثيرات الهوائية).

لفهم السبب، أوقِفْ عمل الجاذبية مؤقتًا. ستتحرَّك القذيفتان في هذه الحالة على امتداد مسار مستقيم بين المدفعين وتتصادمان في منتصف المسافة. أعِدْ تشغيل الجاذبية وستسقط القذيفتان مسافتين متساويتين إلى أن تتصادما في الهواء بالمثل.

(١٠) قانون الجذب العام

المعادلة التي بين أيدينا غير مكتملة. صرَّح نيوتن بوضوح بأن قانون التربيع العكسي للجذب العام ينطبق على الجسيمات ذات الكتلة وليس على الأجسام الممتدة؛ بحيث تشير إلى المسافة بين جُسَيْمين ذَوَيْ كتلة. فقط في حالة الكرات المتناظرة شعاعيًّا تشير إلى المسافة بين مركزَي الكتلة؛ أي المركزين الهندسيين. وفي الأحوال الأخرى كافةً، علينا دمج القوة المؤثِّرة على المكوِّنات الجُسَيْمية للأجسام الممتدة.

(١١) موازنة عصا المكنسة

الجواب هو: لا. فالجزء الأقصَر من عصا المكنسة الذي يحتوي على المقشَّة أثقل من الجزء الآخر. الجزء الأقصر والمقبض الطويل يتوازنان؛ لأنهما يبذلان عزمين متساويين متعاكسين حول نقطة الدعم، وليس لأنهما متساويان في الوزن. إن مركز جاذبية الجزء الأقصر أقرب إلى نقطة الدعم؛ لذا فإن وزنه (الذي يمكن افتراض أنه متركِّز هناك) يجب أن يكون أكبر كي يوفِّر العزم الموازِن. فكِّرْ في طفلين يركبان أرجوحة، كي يتوازنا يجب على الطفل الأثقل وزنًا أن يقترب من نقطة الارتكاز.

(١٢) يحيا الاختلاف!

في حالة الرجل يكون مركز الكتلة أقرب إلى الرأس مما في حالة المرأة. ومن ثم، سيعجز الرجل العادي في إسقاط عُلبة الثقاب دون أن يحرِّك مركز كتلته للأمام لأبعد من ركبتيه، وهو ما سيجعله ينقلب. بعبارة أخرى: تشكِّل الركبتان المحور الأفقي الذي يوفِّر مركز الكتلة عزمًا حوله. وما دام العزم يعيد الشخص إلى قدمَيْه ثانيةً، لا ينقلب النظام. ثمة طريقة أخرى للتعبير عن هذا الشرط تعتمد على كون مركز الكتلة في موضع أعلى من قاعدة الدعم المحدَّدة بواسطة أصابع اليدين والقدمين.

للنساء أيضًا مزية على الرجال عند الطفو على ظهورهن في الماء؛ لأن توزيع وزنهن يميل لأن يكون مختلفًا بدرجة كبيرة. بالنسبة إلى الرجال، يبتعد مركز الطفو كثيرًا عن مركز الجاذبية؛ إذ يقع مركز الطفو في منطقة الصدر فيما يوجد مركز الجاذبية عند الأرداف. بالنسبة إلى النساء، يوجد المركزان كلاهما في منطقة البطن. ونتيجة لذلك، يطفو الرجل بزاوية مائلة طفيفة؛ بحيث يكون الجزء العلوي من الجذع خارجًا من المياه بدرجة أكبر من الجزء السفلي من الجذع. أما النساء فيطفون على نحو مستوٍ.

  • McFarland, E. “Center of Mass Revisited.” Physics Teacher 21 (1983): 42.

(١٣) مفارقة التوازن

في كلا الشكلين، القضيبان AC وBD رأسيَّان على الدوام، والقضيبان EF وGH، المثبَّتان بإحكام إلى القضيبين الرأسيين، أفقيَّان على الدوام. بما أن F وG يقعان على المسافة عينها من المحور المركزي، فإن الجسمَيْن الموجودَيْن على القضيبين EF وGH يتحركان لأعلى ولأسفل بالمسافة عينها بغض النظر عن موضعهما على القضيبين.
ولأن وزنَيِ الجسمين متساويان، فإن الشغل المبذول بواسطة الجاذبية عند خفض الجسم الموجود على القضيب EF يجب أن يكون مساويًا للشغل الذي يمكن طرحه من الجسم الموجود على القضيب GH بعد أن يُرفع. لكن مقدار الشغل بالنسبة إلى الحركة الدورانية يساوي العزم مضروبًا في المسافة الزاوية المقطوعة. وبما أن كِلَا جانبَيِ القضيبين الطويلين للمنساخ الميكانيكي يتحركان عبر الإزاحة الزاوية ذاتها، يجب أن يكون العزمان المتقابلان حول بنزات الارتكاز متساويين في المقدار. ومن ثم، تظل المنظومة في حالة توازن بغض النظر عن موضع الجسمين على القضيبين الأفقيين في كل جانب من الجانبين.
إذا أزلنا القضيبين EF وGH وثبَّتنا صفيحتين مسطَّحتين عند A وB، فسنحصل على توازن ذي خاصية مفيدة للغاية؛ إذ لن يكون علينا وقتها أن نكون حريصين على وضع الجسم الموزون أو الأوزان في مركز الصفيحة.

في الواقع، تُعَدُّ وضعية متساوي الأضلاع عنصرًا ضروريًّا في كل الموازين التي تكون كِفَّاتُها مدعومة من الأسفل بدلًا من أن تكون معلَّقة من الأعلى. والميزان المشيَّد على هذا النحو يسمَّى ميزان روبيرفال، على اسم الفيزيائي والرياضي الفرنسي الذي اخترعه عام ١٦٦٩م.

  • “A Balance.” Little Stinkers section of Physics Teacher 3 (1965): 39.

(١٤) السير على حبل مشدود

الوزن الإضافي لا يهم السائر على الحبال إلا قليلًا؛ إذ يجب أن يمنع الشخص نفسه من الوقوع من على الحبل. يزيد القضيب الأفقي زخم الشخص القصوري حول محور الميل الموازي للحبل؛ بحيث يحدث أي ميل على نحو أبطأ بكثير مما كان سيحدث دون وجود القضيب. ومن ثم يكون هناك وقت أكبر بكثير للتعافي واستعادة التوازن.

سيضع الفيزيائي معظم كتلة القضيب قرب الطرفين؛ لأن الزخم القصوري ؛ حيث المسافة من محور الدوران. ومن شأن كتلة صغيرة في هذا الموضع أن تساوي في فعاليتها كتلة أكبر بكثير موضوعة قرب السائر على الحبل.

(١٥) موازنة عصا عمودية

تنطبق مقولة إن الأجسام ذات مركز الجاذبية المنخفض تكون أكثر استقرارًا من الأجسام ذات مركز الجاذبية المرتفع على المواقف التي تتضمن توازنًا ساكنًا (استاتيكيًّا). ففي هذه الظروف، ستتسبب أي إمالة طفيفة عن الوضع العمودي في تحريك الخط العمودي لمركز الجاذبية إلى خارج مساحة الاتصال الخاصة بالقاعدة، وهو ما ينتج عزمًا صافيًا حول المحور الأفقي. ومن ثم، تسقط العصا الطويلة بسهولة كبيرة مقارنة بعقب القلم الرصاص القصير، الذي يحتاج إلى إمالة أكبر.

عند موازنة العصا على طرف الإصبع، يكون من الممكن تحريك الإصبع حتى يتم الإبقاء عليه أسفل مركز جاذبية العصا. العصا الطويلة لها زخم قصوري أكبر؛ لذا يكون معدل دورانها الزاوي أصغر من العصا القصيرة. وبهذا سيكون لديك وقتٌ كافٍ لتحريك إصبعك نحو مركز الجاذبية قبل أن تسقط العصا.

(١٦) العِصِيُّ المتسابقة

خلافًا لتوقعات معظم الناس، تصل العصا (أ) إلى أدنى موضع لها قبل العصا (ب). في الواقع، خلال الحركة كلها من الموضع الأعلى إلى الموضع الأكثر انخفاضًا، تكون العصا (أ) متقدِّمة دومًا على العصا (ب).

هناك طرق عدة لتحليل سلوك العَصَوَين. على سبيل المثال، بتطبيق قانون نيوتن الثاني على العزم، سنستنتج أن التسارع الزاوي يتناسب طرديًّا مع معدل العزم مقسومًا على الزخم القصوري حول نقطة الارتكاز. فالعزم الأكبر المؤثِّر على العصا (ب) ليس كافيًا لتعويض زخمها القصوري الأكبر؛ لذا يظل تسارعها الزاوي دائمًا أصغر من التسارع الزاوي للعصا (أ).

  • Hoffman, P. O. “A Mechanics Demonstration.” American Journal of Physics 23 (1955): 624.

(١٧) الأصابع السحرية

قد تتوقَّع أن ينزلق الإصبع الداعم العلوي أولًا؛ لأنه يبدو وكأنه يدعم وزنًا أقل. ستكون قيمة قوة الاحتكاك الساكن القصوى الخاصة به أقل؛ ومن ثم سيسهل تجاوزها. ومع ذلك، بوضع العصا بالزاوية نفسها، يزيد الضغط للداخل عند الجانبين على نحوٍ متساوٍ من القوة الداعمة لحظيًّا (ومن ثم يزيد من الاحتكاك الساكن) عند نقطة الاتصال العليا، ويسمح للإصبع الداعم الأسفل بالحركة أولًا.

(١٨) سباق عُلب الحساء

الحساء السائل كحساء الدجاج لا يقترن جيدًا (بمعنى أنه ينزلق) مع الجدار الداخلي للعُلبة بينما تتدحرج هابطة على السطح المائل. ومن ثم معظم الطاقة الحركية الخاصة به عند كل موضع منخفض على امتداد السطح المائل ستكون طاقة حركية انتقالية، يصاحبها مقدار طفيف للغاية من الطاقة الحركية الدورانية. في المقابل، سيدور الحساء الأكثر تماسكًا، مثل كريمة البروكلي، مع دوران العُلبة؛ بحيث تصير الطاقة الحركية الدورانية ملحوظةً يصاحبها مقدار طفيف من الطاقة الحركية الانتقالية. ومن ثم، سيملك الحساء الأكثر سيولةً على الدوام سرعةً انتقالية أكبر أثناء هبوط السطح المائل بما يمكِّنه من الفوز بالسباق.

لا تلعب كتلة العُلبة أو نصف قُطرها دورًا أساسيًّا في سلوك التدحرج الخاص بالعُلب ذات أنصاف الأقطار الكبيرة، لكن علينا أن نتدبَّر مدى قرب جدار الحساء من السائل الموجود بالداخل من أجل الاعتبارات الخاصة باقتران اللزوجة. وكلما صار نصف قُطر العُلبة أصغر، حاوَلَ المزيد والمزيد من الحساء السائل التدحرج بنفس الحركة الدورانية الخاصة بالعُلبة.

  • Stannard, C. R.; P. O. Thomas; and A. J. Telesca Jr. “A Ball with Pure Translational Motion?” Physics Teacher 30 (1992): 526.

(١٩) النحلة الدوَّارة المنقلبة

من منظور الشخص الناظر من أعلى على النحلة الدوَّارة، تدور النحلة الدوَّارة حول نفسها في الاتجاه عينه، سواء حين تكون منتصبة أو بعد انقلابها. ومع ذلك، بما أن النحلة انقلبت رأسًا على عقب، فلا بد أن دورانها قد انعكس! عندما نضع في الاعتبار الدورانَيْنِ حول المحور العمودي فقط، فإن الاحتكاك مع السطح هو ما قدَّم العزم المطلوب لتحقيق هذا الأمر مع انقلاب النحلة رأسًا على عقب.

  • Barnes, G. “Tippe Top Thoughts.” Physics Teacher 25 (1987): 200.
  • Cohen, R. J. “The Tippe Top Revisited.” American Journal of Physics 45 (1977): 12–17.

(٢٠) الحجر نصف البيضاوي الغامض

إن عدم المحاذاة بين المحور الطولي للجزء البيضاوي والمحور الطولي للجزء المسطَّح — أي محور الجسد — يسهم في وجود هذا السلوك. فإذا أُدير الحجر في الاتجاه «الخاطئ»، فستتسبَّب قوة الاحتكاك الحركي في نهاية المطاف في سكون الحجر دورانيًّا، لكن مع استمرار حركة الاهتزاز. وحين يلمس الاهتزاز إلى الأسفل سطحَ الطاولة بدرجة مناسبة، تبذل الطاولة عزمًا دورانيًّا صافيًا صغيرًا في الاتجاه «الصحيح»، ويبدأ الحجر في الدوران. وما دامت الحركة الاهتزازية مستمرة، يمكن أن تنشأ عزوم صافية صغيرة إضافية، بحيث تواصل تحويل الحجر إلى الدوران في الاتجاه «الصحيح» ضد القوة الاحتكاكية المعاكِسة.

  • Walker, J. “The Mysterious ‘Rattleback’: A Stone That Spins in One Direction and Then Reverses.” Scientific American 250 (1979): 172.

(٢١) الرصاصة الغامضة

الرصاصتان متماثلتان في كل شيء ما عدا المادة المصنَّعة منها كل رصاصة منهما. فالرصاصة (أ) لا بد أنها مرَّت بتصادم مَرِن مع الهدف وارتدَّت عنه، بينما انغرست الرصاصة (ب) في الهدف. في أبسط الحالات، كان التغير في زخم الرصاصة (أ) ضعف التغير في زخم الرصاصة (ب) لو أن التغير في الزخم لكلتا الرصاصتين حدث خلال الفترة الزمنية عينها. عندئذٍ ستكون قوة الاصطدام الخاصة بالرصاصة (أ) ضعف قوة الاصطدام الخاصة بالرصاصة (ب).

(٢٢) مركزا الكتلة لمثلث ومخروط

مركز الكتلة لمخروط دائري قائم يقع على مسافة «ربع» ارتفاع المخروط. سبب انخفاض مركز الكتلة هذا سيصير واضحًا لو أننا تصوَّرنا أن المخروط يتكوَّن من شرائح مثلثة رفيعة موازية لأكبر شريحة مثلثة تمر عبر القمة. مركز كتلة كل شريحة مثلثة يقع على مسافة ثلث ارتفاع الشريحة. ومع ذلك، بينما تصير الشرائح أصغر وأصغر نحو الإطار الخارجي للمخروط، تنخفض بالمثل ارتفاعات مراكز الكتلة أكثر وأكثر ناحية قاعدة المخروط. نتيجة لذلك، ينخفض مركز كتلة المخروط كله إلى نقطة تقع على مسافة ربع ارتفاع محوره. ومن الممكن حساب قيمة الربع باستخدام حساب التفاضل والتكامل.

(٢٣) البقاء على القمة

عوامل عديدة تؤثِّر على الموضع الذي تتحرَّك إليه التفاحات أثناء الاهتزاز. ليس بوسع أي تفاحة يزيد حجمها عن الحيز الفاصل بين تفاحتين أسفلها أن تنزلق عبر هذا الحيز؛ ومن ثم لا تتحرك التفاحات الموجودة بالأسفل إلى الجانب، وتظل التفاحة الأكبر فوقها. في المقابل، أي تفاحة أصغر من الحيز المتاح يمكنها أن تسقط بسهولة لأسفل. وحين تحدث إعادة التموضع هذه مرات عديدة داخل دلو مملوءة بتفاحات ذات أحجام مختلفة، سينتهي المآل بالتفاحات الأكبر حجمًا في المستويات الأعلى.

في الصورة الأكبر، يكون النظام في أكثر مواضعه استقرارًا حين تصل طاقة الوضع الخاصة به إلى مستواها الأدنى. سيكون مركز جاذبية التفاحات في أدنى مواضعه حين تصير التفاحات الموجودة في القسم الأدنى من الدلو في أشد صور الاحتشاد إحكامًا. وسيكون مركز الجاذبية في أدنى مواضعه لو كانت كل الفجوات والثغرات مملوءة بالتفاحات الصغيرة. ونتيجة لذلك، سينتهي المطاف بالتفاحات الأكبر على القمة.

الأكثر إثارةً للدهشة هو أنه حتى الأجسام الأشد كثافةً يمكن جعلها تتحرك لأعلى بهذه الطريقة! فارتفاع الصخور في فصل الربيع يحدث في الأساس بسبب الاضطرابات التي تسمح لحظيًّا للحُبيبات بالانزلاق لأسفل تحت الصخور كي تمنع عودتها إلى موضعها المبدئي، رغم أنه عادةً ما يُفسَّر هذا الأمر بأنه راجع إلى الصقيع الموجود في الأرض. هنا تأخذ الاضطرابات شكل تجمُّد وذوبان، لكن يمكن تحقيق النتيجة عينها من الصدمة والاهتزاز. وكمثال آخر على الانفصال بسبب الحجم فكِّر في إجابة السؤال التالي: أين تجد حُبيبات الذرة التي لن تنتفخ وتتحوَّل إلى فشار؟ الجواب هو: في القاع. ففي هذه الحالة تعد الكثافة الأعلى لحُبيبات الذرة التي لم تتحوَّل إلى فشار عاملًا مساهمًا هي الأخرى.

  • Raybin, D. M. “The Stones of Spring and Summer.” Physics Teacher 27 (1989): 500.

(٢٤) الجاذبية المضادة

شاهِدِ البِلْية بحرص من الجانب، وسترى ما يحدث في حقيقة الأمر. بينما تتدحرج البِلية ناحية الطرف العلوي، فإنها في الواقع تهبط قليلًا بين الماصتين المتباعدتين. ومن الممكن ملاحظة التأثير عينه عند السماح لمخروط مزدوج (أي مخروط له طبقتان) مصنوع من قمعين بلاستيكيين بالتدحرج هابطًا مسارًا مزدوجًا منحدرًا محفورًا في ورق مقوًّى.

  • Edge, R. D. “String and Sticky Tape Experiments: An ‘Antigravity’ Experiment.” Physics Teacher 16 (1978): 46.

(٢٥) أي مسار؟

الكرة المتدحرجة على امتداد المسار ADC ستصل القاع أولًا. صحيح أن الكرتين تقطعان مسافتين متماثلتين، وأن التسارع على امتداد AC وAB متساوٍ مع التسارع على امتداد AD وBD بسبب الانحدار المتساوي للأسطح. إلا أن الكرة التي تتحرك عبر المسار DC ستتمتع بسرعة ابتدائية عالية اكتسبتها خلال هبوطها السريع على امتداد السطح AD. من ناحية أخرى، الكرة المتحركة على الجانب المكافئ AB ستتمتع بسرعة ابتدائية أقل؛ نظرًا لأن سرعتها الابتدائية تساوي صفرًا.

(٢٦) هل الطريق الأقصر هو الأسرع؟

المسارات الزمنية الأقصَر موضحة بالشكل. وبالمقارنة بين المسارات الثلاثة، يتبيَّن أن المسار الزمني الأقصر هو في الواقع المسار PB وليس المسار PA أو PC. أغلب الناس يظنون أن أقصر مسار زمني سيكون المسار ذا الخط الأفقي المماسي عند قاع المنحنى. لكن هذا ليس صحيحًا. فإذا كانت إحداثيات النقطة الأخيرة هي ، فسيمر المسار الدويري بهذه النقطة بانحدار لأعلى لو كانت .

كان أول من توصَّل إلى حل هذا المسار، الذي يُطلَق عليه «منحنى أقصر وقت»، هو جون برنولي (١٦٦٧–١٧٤٨م)، لكن المنحنى الذي قدَّم الحل — الدويري — كان معروفًا بالفعل لجاليليو بوصفه المسار الشبيه بالقوس الذي ترسمه نقطة على حافة عجلة متدحرجة. يتسم المسار الدويري بالجمال، وأدَّى إلى العديد من الخلافات في عالم الهندسة لدرجة أنه سمِّي «هيلين الهندسة».

للدويري أيضًا خاصية «تَسَاوِي وقتٍ» مدهشة؛ فالخرزة العديمة الاحتكاك ستصل إلى القاع في الفترة الزمنية عينها بغضِّ النظر عن الموضع الذي تُطلَق منه الخرزة على المنحنى من وضع السكون!

  • Hoffman, D. T. “A Cycloid Race.” Physics Teacher 29 (1991): 395.

(٢٧) منحنى أقصر وقت غير المقيد

ستفوز البِلْية (ب) بالسباق؛ وذلك بأن تهبط المنخفضات وتصعد المرتفعات. المكوِّن الأفقي للسرعة للبِلية (ب) في أي وقت بعينه يكون دائمًا مساويًا للسرعة الأفقية للبِلية (أ) أو أكبر منها. وتذكَّر أنه ليس بوسع أيٍّ من البِليتين مغادرة مسارها أو الانزلاق.

  • Stork, D. G., and J. Yang. “The Unrestrained Brachistochrone.” American Journal of Physics 54 (1986): 992.
  • Zwicker, E. “High Road/Low Road.” Physics Teacher 27 (1989): 293.

(٢٨) قصبتان مائلتان*

القصبة العارية ستضرب الأرض أولًا. تَحدَّد وقت السقوط بواسطة التسارع الزاوي، الذي يتناسب طرديًّا مع معدل العزم الناتج عن الجاذبية والزخم القصوري. ويعتمد العزمان كلاهما على توزيع الكتلة.

التسارع الزاوي للقصبة العارية ذات المقطع العرضي المنتظم والكتلة هو ؛ حيث طول القصبة و الزاوية بين العصا والجدار. سنكتشف على الفور أنه قبل أن تضرب القصبة الأرض ( تساوي ٩٠ درجة)، يكون التسارع العمودي لأسفل عند طرف القصبة ؛ أي أكبر من عجلة الجاذبية .
على سبيل المقارنة، التسارع الزاوي لقصبة ذات جسم نقطي كتلته مربوط على مسافة من المحور يكون ؛ حيث ، و ، و ، وهو التسارع الزاوي للقصبة العارية. لهذه النتيجة تبعات عديدة مفاجئة. فحين تكون ، ومن ثم تضع الكتلة النقطية على ثلثي المسافة من نقطة المحور، سيكون التسارع الزاوي هو نفسه بالنسبة إلى القصبة العارية! وحين تكون ، ويصير المعامل أقل من ١، يصير زمن السقوط أطول، ويزيد تأثير القصور الدوراني بدرجة أكبر من تأثير العزم كي ينتج لنا النتيجة السابقة. والعكس صحيح حين تكون .
  • Haber-schaim U. “On Qualitative Problems” (letter). Physics Teacher 30 (1992): 260.
  • Hewitt, P. G. “Figuring Physics.” Physics Teacher 30 (1992): 126.

(٢٩) أسرع من السقوط الحر*

يسقط الكوب بالفعل بعجلة تفوق عجلة الجاذبية؛ أي أسرَع من السقوط الحر. لكن هذه النتيجة لا تخرق سلوك السقوط الحر المتوقَّع؛ لأن المسطرة ليست في حالة سقوط حر. فبالإضافة إلى قوة الجاذبية المؤثرة على المسطرة عند مركز الجاذبية، هناك قوة لأعلى تدعم المسطرة عند نقطة اتصالها بالأرضية. والعزم الإجمالي الناتج عن قوة الجاذبية إضافة إلى قوة الاتصال بالأرضية يمكنه أن يُنتج مكوِّنًا رأسيًّا للتسارع لأسفل أكبر من عجلة الجاذبية عند نقاط بعينها على امتداد المسطرة. وبفرض أن المسطرة يمكن معاملتها بوصفها قصبة رفيعة منتظمة، نجد أن المكون الرأسي لتسارع الطرف الساقط يكون ؛ حيث الزاوية التي تصنعها المسطرة مع الرأسي. وقيمة التسارع هذه تزيد بزيادة وستفوق قيمة حين تكون حوالي ٣٥ درجة أو أقل.
جرب تنويعات أخرى: ما الذي سيحدث عندما تقلل زاوية البداية أو تضع الكرة والكوب في موضع أقرب إلى الطرف السفلي للمسطرة؟ هل ستتسارع المسطرة بعجلة تفوق عجلة الجاذبية ؟
  • Edge, R. D. String and Sticky Tape Experiments. College Park, Md.: American Association of Physics Teachers, 1987, experiment 1.50.
  • Theron, W. F. D. “The ‘Faster than Gravity’ Demonstration Revisited.” American Journal of Physics 56 (1988): 736.

(٣٠) أسطوانتان متسابقتان*

دع الأسطوانتين تتدحرجان دون انزلاق هابطتين سطحًا مائلًا. في قاع السطح يجب أن يكون إجمالي طاقة الحركة لكل أسطوانة مساويًا لإجمالي طاقة الحركة الخاص بالأخرى، بما أنهما هبطتا من الارتفاع ذاته؛ بمعنى أن التغير في طاقة وضع الجاذبية كان واحدًا بالنسبة إلى كلتيهما. إجمالي طاقة الحركة في القاع (وطوال رحلة الهبوط) يتكون من جزء انتقالي ، وهو ما يتوافق مع حركة مركز الكتلة، وجزء دوراني ؛ حيث الزخم القصوري و هو السرعة الزاوية لأسطوانة نصف قطرها . وبفرض التساوي في طاقتَي الحركة للأسطوانتين، يشير الزخم القصوري الأكبر للأسطوانة المجوفة إلى قيمة أقل والعكس صحيح. ستتدحرج الأسطوانة المجوفة بسرعة أبطأ طوال رحلة هبوطها.

(٣١) الاحتكاك المساعد للحركة*

كلَّا، الاستنتاج غير صحيح. ففي حالة اللف من دون انزلاق، تكون نقطة الاتصال بالأرض — ولنُسَمِّهَا مثلًا — ساكنة لحظيًّا. إذن تدور الأسطوانة حول محور أفقي يمر بالنقطة في أي لحظة. سنتجاهل الاحتكاك؛ لأن العزم الخاص به حول هذا المحور المار بالنقطة يساوي صفرًا؛ فلا توجد ذراع رافعة. وباستخدام قانون نيوتن الثاني لحساب العزم حول النقطة ، يمكننا أن نحدد أن ؛ حيث R نصف القطر و التسارع الأفقي لمركز الأسطوانة. نتيجة هذه المعادلة هي أن . يجب لقوة الاحتكاك الساكن في الاتجاه الأفقي أن تكون ، وأن تكون في نفس اتجاه القوة المبذولة! يجب أن يدرك المرء أنَّ تدحرُج الأسطوانة يدفع للخلف عن طريق الاحتكاك الساكن؛ ومن ثم تستجيب الأرض بما يتفق وقانون نيوتن الثالث.
  • Relland, R. J. “Two Fundamental Surprises.” Physics Teacher 27 (1989): 326.
  • Sherfinski, J. “Rotational Dynamics: Two Fundamental Issues.” Physics Teacher 26 (1988): 290.

(٣٢) ملف الخيوط المطيع*

بالنسبة إلى الأجسام كافة، في حالة اللف من دون انزلاق، تكون نقطة الاتصال بالأرض — ولْنُسَمِّها مثلًا — ساكنة لحظيًّا. سيمر المحور الأفقي للدوران بالنقطة ؛ لذا علينا تدبُّر العزم حول هذا المحور الأفقي. لا يوجد عزم حول هذا المحور متى مرَّ خط قوة الشريط بهذا المحور؛ لأنه لن توجد وقتها أي ذراع رافعة. وبشد الشريط بهذه الزاوية الحرجة (التي تساوي ) ينزلق الملف وحسب على السطح. وحين تفُوق زاوية خط القوة هذه الزاوية الحرجة، يكون العزم حول المحور في اتجاه عقارب الساعة، ويلف الملف في اتجاه الراصد. وعلى الجانب المعاكس للزاوية الحرجة، يلف الملف بعيدًا عن الراصد.

(٣٣) من الفائز؟*

سيتغلب المخروط المصمت على الكرة المصمتة! إن القوة المحدِّدة هي المُعامِل العددي في معادلة الزخم القصوري. وكلما كانت قيمة المعامل للمحور الموازي لمحور الدوران أقل، كان التسارع نزولًا على السطح المائل أكبر. والمعامِلات العددية للزخم القصوري هي: (أ) ١ / ٢ بالنسبة إلى الأسطوانة المصمتة حول محور الأسطوانة، (ب) ٢ / ٥ بالنسبة إلى الكرة المصمتة حول أي قُطر لها. أما بالنسبة إلى المخروط الدائري العمودي فإن القيمة المكافئة هي ٣ / ١٠؛ ومن ثم يربح المخروط المصمت السباقَ. ولجعْل المخروط يتدحرج على نحو مستقيم أثناء الهبوط على السطح المائل، ثبِّتْ به حلقة سلكية عديمة الكتلة تقريبًا قُطْرها مساوٍ لقطر قاعدة المخروط بالقرب من الطرف المستدقِّ للمخروط.

بالمناسبة، هذه الأشكال الثلاثة — الأسطوانة والكرة والمخروط، والأخيران يدخلان على نحوٍ محكَم داخل الأسطوانة — هي الأشكال الثلاثة الموجودة على قبر أرشميدس. وقد كان أرشميدس هو أول من حدد نِسَب الحجم الخاصة بها: ١:٢:٣.

(٣٤) تحريك الأرجوحة*

إن الآلية الخاصة ببدء تحريك الأرجوحة من السكون مثيرةٌ للاهتمام بشدة. فالطفل يبدأ من موضع توازن. وفي حالة السكون، تكون نقطة الدعم فوق الموضع الذي يُمسك به الطفل بالحبل بيديه وفوق مركز جاذبيته مباشرة. قوة شد الحبل تكون عمودية ويعادلها وزن الطفل . سنتجاهل هنا وزن المقعد والحبل.

الآن يمكننا أن نرى المعضلة الحقيقية. إن القوتين الخارجيتين الوحيدتين المؤثرتين على الطفل هما قوة شد الحبل ووزن الطفل، بَيْدَ أن مجموعهما صفر. وَفْق قانون نيوتن الأول، ما دامت محصِّلة القوة الخارجية صفرًا، فبغضِّ النظر عما يفعله الطفل فإن مركز جاذبيته سيظل في حالة سكون. فإذا مال الطفل للخلف، فستندفع ساقاه للأمام وللأعلى، وإذا مال الطفل للأمام، فستندفع ساقاه للخلف. يعدِّل مركز الجاذبية من موضعه على نحوٍ متواصل استجابةً لأي تغيرات في وضعية الجسد، وذلك «نسبةً إلى الجسد».

نحن بحاجة إلى طريقة لإنتاج عزمٍ صافٍ حول المحور الأفقي المار بنقاط الدعم مع الإطار. ستشير قوة شد الحبل على الدوام ناحية محوره؛ لذا لن يكون بوسع قوة الشد مطلقًا أن تنتج هذا العزم. لكن من الممكن إزاحة خط قوةِ متَّجِه الوزن-العمودي من محور الدوران بحيث توجد ذراع رافعة. ما على الطفل أن يفعله ببساطة هو أن يعطي الحبل دفعة مفاجئة للخلف بذراعيه، مع الحفاظ على بقية الجسد في وضعية ثابتة. وفق قانون نيوتن الثالث، سيتحرك جسد الطفل إلى الأمام قليلًا، ووقتها فإن العزم الصغير في اتجاه عقارب الساعة حول محور الدعم سيبدأ الحركة للخلف.

للبدء من السكون في وضعية الجلوس، يميل الطفل للخلف فجأةً لاكتساب عزم زاويٍّ حول مركز الكتلة، لكن في غياب أي عزوم خارجية حول محور الارتكاز الخاص بالأرجوحة، يُزاح مركز الكتلة من موضعه المبدئي كي يبدأ حركة الأرجوحة. لمعرفة الطرق الأخرى انظر المراجع.

  • Curry, S. M. “How Children Swing.” American Journal of Physics 44 (1976): 924.
  • Gore, B. F. “The Child’s Swing.” American Journal of Physics 38 (1970): 378.

(٣٥) تحريك الأرجوحة في وضعية الوقوف*

يستطيع الطفل الواقف على الأرجوحة تحريكها بعدة طرق مختلفة. الأمر المشترك بين هذه الطرق هو أن الطفل يَثني ركبتيه عند نهاية كل أرجَحَةٍ إلى الخلف أو الأمام (أو حتى عند كليهما)، بينما يفرد ركبتيه في منتصف الأرجحة إلى الخلف أو الأمام أو كليهما. يتمثل تأثير حركة فرد وثني الركبتين هذه في رفع مركز جاذبية الطفل في منتصف الأرجحة وخفضه عند نهاية كل دورة أرجحة.

لرفع مركز جاذبيته في منتصف الأرجحة، يبذل الطفل شغلًا بطريقتين: (١) زيادة طاقة وضع الجاذبية الخاصة به، و(٢) زيادة طاقة الحركة الخاصة به.

تزداد طاقة الحركة؛ لأن الزخم الزاوي حول المحور الأفقي للدعم لا يتغير في اللحظة التي يكون فيها مركز الجاذبية مرفوعًا. والعزم الناتج عن القوة التي يمر خطُّها بمحور الدعم يساوي صفرًا. الزخم الزاوي هو الناتج ؛ حيث كتلة الطفل، و سرعته، و المسافة بين مركز الجاذبية والمحور. حين تُجعل أقصر، لا بد أن تزداد السرعة حتى يظل الناتج ثابتًا.
بينما تزداد السرعة ، تزداد بالمثل طاقة حركة الطفل . وهذا الموقف شبيه بفعل الراقصة على الجليد التي تضم ذراعيها إلى جانبيها؛ كي تزيد من سرعة دورانها حول نفسها.

حين يخفض الطفل مركز جاذبيته عند نهاية كل أرجحة، تقل طاقة الوضع الخاصة به. لا يوجد تغير في طاقة الحركة؛ لأنه يكون وقتها في حالة سكون لحظي. يكون موضع مركز الجاذبية الخاص بالطفل وقتها على امتداد القوس نفسه كما كان في البداية، بيد أنه مائل بزاوية أكبر، مستعدًّا لبدء التتابع من جديد. وعلى مدار دورة الأرجَحَة كان هناك مكسب صافٍ في الطاقة، التي زادت من سعة الأرجحة، وهذه الطاقة نُقِلَت من الطفل إلى الأرجوحة من خلال عضلاته.

  • Tea, P. L. Jr., and H. Falk. “Pumping on a Swing.” American Journal of Physics 36 (1968): 1165.

(٣٦) تحريك الأرجوحة في وضعية الجلوس*

الجواب هو: نعم. في وضعية الوقوف، من شأن ثَنْي وفرد ركبتيك في اللحظات الملائمة أن يدفع الأرجوحة إلى مستويات شدة أكبر. أما في وضعية الجلوس، فلن تتأثر حركة مركز الجاذبية تقريبًا. وهنا يكون على الطفل أن يفعل شيئًا مثيرًا للاهتمام. فعند نهاية الأرجحة إلى الخلف وبداية الأرجحة إلى الأمام يؤرجح الطفل ساقَيْه؛ وبذا يدير جسده في عكس اتجاه عقارب الساعة. بطبيعة الحال لا يمكن أن يستمر دورانه؛ لأنه سيسقط عن مقعده؛ لذا هو يُوقِف الدوران بأن يشد الحبل.

  • Curry, S. M. “How Children Swing.” American Journal of Physics 44 (1976): 924.

(٣٧) العجلة الدوَّارة*

الجواب هو: لا. فمن قبيل المفارقة، ما على الشخص عمله هو أن يدفع بيده اليمنى لأعلى، وبيده اليسرى «لأسفل»!

بادئ ذي بدء، سنستعرض الحُجَّة دون استخدام العزم. تدبَّرْ حالة الحركة الخاصة بأربعة عناصر للكتلة في الإطار. العنصر الموجود في القمة متجهُ السرعةِ الخاصُّ به أفقيٌّ ويتجه مباشرةً بعيدًا عن الشخص؛ لذا من المطلوب عمل تغيُّر صغير في السرعة؛ من أجل تحقيق الدوران المقترَح لسطح العجلة. العنصر الموجود في القاع متجهُ السرعةِ الخاصُّ به أفقيٌّ ويتجه مباشرةً نحو بطن الشخص، وهو ما يتطلَّب تغيرًا إلى اليمين. العنصران الموجودان في المقدمة والمؤخرة لهما متَّجهَا سرعة رأسيان، لأسفل ولأعلى، وهو ما يتطلَّب عدم إحداث أي تغيير على الإطلاق من أجل تحقيق التغير المنشود في اتجاه العجلة.

يمكن التوسع في الحجَّة بسهولة، عن طريق أخذ مركبَي السرعة الأفقي والرأسي؛ لبيان أن كل عناصر الكتلة في النصف الأعلى من العجلة تحتاج تغيرًا في السرعة إلى اليسار، بينما كل العناصر الموجودة في الأسفل تحتاج تغيرًا في السرعة إلى اليمين.

بما أن السبيل الوحيد لتغيير سرعة أي عنصر كتلة في أي اتجاه بعينه هو بَذْل محصلة قُوى في هذا الاتجاه، يجب على الشخص أن يعمل عبر جذع العجلة والمحامل والمحور والبرامق عن طريق الضغط لأعلى بيده اليمنى ولأسفل بيده اليسرى. ومن دون استخدام العزوم، اكتشفنا السلوك «الجانبي» العجيب للقوة الجيروسكوبية؛ فمن أجل إحداث تأثير في أحد الأسطح، على المرء بَذْل قوى على السطح بزاوية عمودية على السطح الأول.

الآن جاء دور التفسير القائم على العزم. في البداية، العجلة الدوارة لها متجه الزخم الزاوي الأفقي الخاص بها، الذي نختار أن نحاذيه بالمحور السيني. ومن شأن الدفع للأمام باليد اليمنى والشد للخلف باليد اليسرى أن يقلِّل هذا المركب السيني للزخم الزاوي ويزيد المركب الصادي. لكن العزم المبذول هو في حقيقة الأمر مبذول حول المحور العيني! لذا ما يحدث فعلًا هو أن المحور يميل للأسفل كي يزيد المركب العيني بدلًا من أن يتبع المسار المنشود. ولزيادة المركب الصادي للزخم الزاوي، علينا بَذْل عزم صافٍ حول المحور الصادي؛ بمعنى الدفع لأعلى باليد اليمنى ولأسفل باليد اليسرى!

(٣٨) الاصطدام بجدار مصمَت*

حتى إن كان التصادم مَرِنًا، يجب أن ترتد الكرة عن الجدار بسرعة تقلُّ قليلًا عن سرعة اصطدامها به. ومن ثم فإن التصادم المرِن ما هو إلا تقريبٌ جيدٌ للحالة المثالية التي فيها يتمتع الجسم بطاقة الحركة ذاتها قبل التصادم وبعده. وهذا التأثير معروف جيدًا في حالة جزيئات الغاز التي تضرب المكبس المثالي القابل للتحرك، وبهذا تَبْذل شغلًا خلال تمدُّد الغاز المثالي.

زخم الجدار + الأرض، ، هو كمية محددة تساوي . يمكن التعبير عن طاقة الحركة الخاصة بالجدار + الأرض على النحو التالي: . لو لم تكن لا نهائية، وصارت ، التي هي الكتلة المجمعة للجدار والأرض، كبيرة للغاية، فستقترب طاقة الحركة من الصفر. هذه النتيجة تبين أن الجسم المصمت قد يكون له زخم قابل للملاحظة وفي الوقت ذاته يملك طاقة حركة تساوي الصفر فعليًّا.

وقد يرغب المرء في تقدير مقدار طاقة الحركة الابتدائية التي أنتجت طاقة حرارية وصوتية خلال التصادم.

  • Macomber, H. K. “Massive Walls and the Conservation Laws: A Paradox.” Physics Teacher 13 (1975): 28.

(٣٩) لعبة المديرين: كرات نيوتن*

هذه الكرات تجسِّد مبدأَيْ حفظ الطاقة وحفظ الزخم. إذا فرضنا أن كرتين من الطرف الأيمن تُركتا من السكون على ارتفاع وضَربتا الكرات الأخرى بالسرعة ، إذن سيكون الزخم الإجمالي قُبيل التصادم مباشرةً . بعد التصادم تكون الكرات الثلاث عند الطرف الأيمن ساكنة، وتتحرك الكرتان عند الطرف الأيسر بعيدًا بالسرعة وبزخم إجمالي قدره ، وهو ما يساوي تمامًا الزخم الإجمالي قُبيل التصادم مباشرة.
الطاقة أيضًا تظل محفوظة؛ فطاقة الحركة الإجمالية بعد التصادم مباشرة هي ، وهو نفس مقدار طاقة الحركة قُبيل التصادم المبدئي مباشرة. لماذا لم تندفع كرة واحدة إلى الخارج بسرعة مقدارها ؟ ومن الممكن أن يكون الزخم النهائي . هذا أمر طيب، لكن في هذه الحالة ستكون طاقة الحركة النهائية .
ثمة مفهوم شائع يقضي بأن مبدأَيْ حفظ الزخم الخطِّي وحفظ الطاقة يكفيان للتنبؤ بسلوك الكرات. بَيْدَ أن قانونَيِ الحفظ لا يقدمان سوى معادلتين فقط من أجل السرعات النهائية المجهولة. وحتى لو استُخدمت ثلاث كرات فقط، فسيكون لدينا معادلتان في ثلاثة مجاهيل! وللحصول على حل، نحتاج إلى مبدأ استرشادي آخر. يمكننا أن نختار تدبر اصطدام الجسمين فقط؛ بحيث إنه على امتداد صف الكرات، إذا ضَرَبت كرة من اليمين جارتها الساكنة بالسرعة ، تصير الكرة الأولى في موضع سكون وتبدأ الكرة المجاورة لها في التحرك بالسرعة . ويُنقَل الزخم على امتداد الصف بهذه الطريقة. في هذا النموذج المثالي، نعتبر أن الطاقة كلها والزخم كله متركزان في نقاط التواصل بين الكرات المتلاصقة. لكن في الواقع، ينتقل قدر من الطاقة لمواضع أخرى في الكرة، والهيكل الداعم، والبيئة المحيطة.
من الممكن التوصل إلى حلول مسائل أكثر صعوبة. على سبيل المثال، تضرب كرة من أحد الطرفين لها كتلة مقدارها ثلاث كرات مصطفَّة لكلٍّ منها كتلة مقدارها . بُعَيْدَ التصادم مباشرة، تتحرك الكرة ذات الكتلة بسرعة مقدارها ، والكرة الأولى، ذات الكتلة ، تتحرك بالسرعة . من الممكن عمل مثل هذه الحسابات لكل تصادم على امتداد صف الكرات، وبهذا ستُحَل المسألة بالكامل.
  • Bose, S. K. “Remarks on a Well-Known Collision Experiment.” American Journal of Physics 54 (1986): 660.
  • Flansburg, L., and K. Hudnut. “Dynamic Solutions for Linear Elastic Collisions.” American Journal of Physics 47 (1979): 911.
  • Herrmann, F, and M. Seitz. “How Does the Ball-Chain Work?” American Journal of Physics 50 (1982): 977.

(٤٠) المطرقة*

عند غرس وَتد في الأرض، فإن ما نرغب فيه هو تعظيم طاقة الحركة الخاصة بالوتد والمنتَجة بواسطة ضربة المطرقة. أما عند تشكيل قطعة معدن فإننا نريد تقليل طاقة الحركة الخاصة بالسندان والمطرقة إلى حدِّها الأدنى بعد التصادم، بحيث يصير المقدار الأقصى من الطاقة في ضربة المطرقة متاحًا من أجل تغيير شكل قطعة المعدن. وكِلَا الموقفين يقفان على طَرَفَيِ النقيض.

تدبَّرْ أولًا التصادم غير المرِن بالمرة؛ ذلك التصادم الذي يحدث دون أي ارتداد. هذا النوع من التصادم هو الأنسب لعملية تشكيل المعادن؛ لأن المطرقة ستصير في حالة سكون على السندان الحامل لقطعة المعدن.

طاقة الحركة الابتدائية للمطرقة المتحرِّكة هي ، وطاقة الحركة الإجمالية للجسمين المتصادمين بُعَيدَ التصادم مباشرة هي ؛ حيث كتلة السندان (إضافة إلى قطعة المعدن). وبأخذ الاختلاف في طاقة الحركة بعد التصادم وقبله وتطبيق مبدأ حفظ الزخم، نخلُص إلى أن مقدار طاقة الحركة الابتدائية المتاح الآن من أجل تشكيل قطعة المعدن يتناسب طرديًّا مع النسبة . ومن الواضح أنه من أجل جعْل هذا المقدار قريبًا من الواحد الصحيح، ينبغي أن تكون كتلة السندان أكبر بكثير من كتلة المطرقة. على أرض الواقع، أغلب طاقة السندان هذه تصير طاقة حرارية خلال عملية التصادم!
عند غرس الوتد نريد تعظيم طاقة الحركة الخاصة بالوتد خلال عملية التصادم، وهو ما يعني أن علينا تعظيمَ كتلة المطرقة إلى الحد الأقصى مقارنةً بكتلة الوتد . النسبة المذكورة أعلاه تنطبق فقط على التصادم الذي تتحرك فيه المطرقة والوتد معًا — أي التصادم غير المرِن بالمرة — بيد أنها تمنحنا تنبؤًا صحيحًا في حالتنا هذه؛ إذ يجب جعل كتلة المطرقة كبيرة بقدر الإمكان.
ولعمل ما هو أفضل من هذا، تدبَّرِ التصادم المرِن المثالي. في هذا التصادم كل طاقة الحركة الخاصة بالمطرقة تُنقَل إلى الوتد المتحرك، ويجب أن يبذل احتكاك الأرض المزيد من الشغل كي يعيد الوتد المتحرك بسرعة إلى وضع السكون. ومن ثم يخترق الوتد إلى عمق أكبر. في الحالة العامة، تعتمد طاقة الحركة المنقولة إلى الوتد على نسبة الكتلة المذكورة أعلاه مضروبة في ؛ حيث مُعامل الاسترجاع (بحيث إن تساوي ١ في حالة التصادم المرِن، وتساوي صفرًا في حالة التصادم غير المرِن بالمرة).
  • Hartog, J. P. D. Mechanics. New York: Dover Publications, 1961, pp. 291-292.
  • Miller, J. S. “Observations on a Pile Driver.’’ American Journal of Physics 22 (1954): 409.

(٤١) زيادة السرعة*

سنفترض أن كتلة الكرة الصغرى كتلةٌ مهملة مقارنةً بكتلة الكرة الأكبر، وأن التصادمين مرِنَان؛ تصادم الكرة بالكرة والكرة بالأرض. يمكننا محاكاة هذه الظروف المثالية عن طريق استخدام كرتين مطاطيتين مختلفتَي الحجم. خلال التصادم المرِن مع الأرض، ترتد الكرة السفلى — الأكبر — وتبدأ في الحركة لأعلى وستغادر الأرض بسرعة قيمتها ، وهي نفس السرعة التي كانت عليها قُبيل التصادم مباشرة. في الوقت ذاته، تكون الكرة العليا على وشْك التصادم مع الكرة السفلى. من منظور الكرة الكبيرة، تقترب الكرة الصغيرة من الكرة الكبيرة بالسرعة (سرعة الكرة الصغيرة إضافة إلى سرعة الكرة الكبيرة). وحين تضرب الكرة الصغيرة الكرة الكبيرة، فإنها ترتد عنها بسرعة لأعلى نسبة إلى الكرة الكبيرة. لكن ينبغي ألا ننسى أن الكرة الكبيرة تتحرك فعليًّا لأعلى بالسرعة ؛ لذا فإن الكرة الصغيرة تتحرك مبدئيًّا لأعلى بسرعة مقدارها نسبة إلى الأرض قُبيل التصادم مباشرة. الارتفاع المكتسب يكون مقداره مربعَ مكونِ السرعةِ الابتدائية لأعلى؛ وبذا فإن الكرة الصغيرة الأسرع بثلاث مرات يصير ارتفاعها أعلى بتسعِ مرات مقارنةً بالارتفاع الابتدائي! في الحالات الأكثر واقعية، التي لا تكون فيها التصادمات مرِنة بالكامل مطلقًا، يمكن للكرة الصغيرة أن ترتد أربعة أضعاف ارتفاعها الابتدائي فوق الأرض. في حالة استخدام ثلاث كرات أو أكثر، تصير التأثيرات أكثر إثارةً. فعند إلقاء مجموعة من ثلاث كرات تكون فيها الكرة الصغرى في الأعلى، تستطيع الكرة الصغيرة نظريًّا أن تبلغ ارتفاعًا أقصى مقداره تسعٌ وأربعون مرة قدْر الارتفاع وقت إسقاطها. وهنا يتضح أن نسبة الارتفاع المثالية (الارتفاع النهائي المتحقق مقسومًا على ارتفاع الإسقاط الابتدائي) تكون ؛ حيث عدد الكرات. هذه النسبة تزيد بسرعة كبيرة مع ، لدرجة أنه بإمكان المرء أن يُوصل كرة إلى القمر عن طريق إسقاط مجموعة من خمس عشرة كرة متصلة من ارتفاع متر واحد فقط! كم سيكون الأمر رائعًا لو أن الطبيعة تعاونت معنا وأطاعت الحالة المثالية بشكل دقيق!
  • Carpenter D. R. Jr.; D. J. Rehbein; and J. J. Barometti. “Ban™ Deodorant Ball Mortar.” Physics Teacher 26 (1988): 522.
  • Harter, W. G., Class of. “Velocity Amplification in Collision Experiments including Superballs.” American Journal of Physics 39 (1971): 656.
  • Spradley, J. L. “Velocity Amplification in Vertical Collisions.” American Journal of Physics 55 (1987): 183.
  • Stroink, G. “Superball Problem.” Physics Teacher 21 (1983): 466.

(٤٢) ارتداد الكرة المطاطية المرنة*

سيجيب العديد من الفيزيائيين قائلين: «لا بد أن تبدأ الكرة بدوران خلفي.» وهذا غير صحيح. تدبَّرْ أولًا مثالًا أبسط. دَعْ كرة مطاطية مرنة تقترب من الأرض بسرعة للأمام ودون أي دوران. بعد الارتداد عن الأرض، ستظل الكرة تتحرَّك إلى الأمام، لكن على نحوٍ أبطأ. ما اتجاه الدوران؟ سيكون للكرة دوران علوي، بحيث يدور أعلى الكرة نحو الاتجاه الأمامي.

المشكلة الأصلية التي بين أيدينا تمثِّل موقفًا معكوسًا زمنيًّا لهذا المثال. تطيع قوانين نيوتن الثبات المعكوس زمنيًّا، لكننا بحاجة إلى تجاهل إنتاج الحرارة والاهتزازات الداخلية للكرة وما إلى ذلك من أمور. عندها سنرى أن الكرة في المشكلة الأصلية لا بد من أن تمتلك دورانًا ابتدائيًّا علويًّا كي تصل إلى حالة نهائية بعد الارتداد، ليس فيها دوران، وتكون السرعة فيها للأمام.

يتطلَّب الحل التفصيلي تطبيق مبدأَيْ حفظ الطاقة وحفظ الزخم الخطي والزاوي. وحل المشكلة الأصلية يستلزم ألا يُنتج اتجاهُ زخم الكرة المرنة خلال التصادم مع الأرض عزمًا دورانيًّا علويًّا؛ بمعنى أن اتجاه متجه الزخم يكون على الجانب الملائم لمحور الدوران خلال الاتصال، وهو شرط تَضْمنه ديناميكيات التصادم الفائق المرونة.

يمكننا بعد ذلك التقدم وبيان أنه بعد التصادم الثاني تكون الكرة المرنة الآن في نفس الحالة الابتدائية التي كانت عليها!

  • Bridges, R. “The Spin of a Bouncing Superball.” Physics Education 26 (1991): 350–354.
  • Crawford, F. S. “Superball and Time-Reversal Invariance.” American Journal of Physics 50 (1982): 856.
  • Garwin, R. L. “Kinematics of the Ultraelastic Rough Ball.” American Journal of Physics 37 (1969): 88.

(٤٣) البندول الحلقي*

ما دامت المقاطع في البندول متناظرة، فستظل الفترات الخاصة بالأجسام الباقية كما هي دون تغيير! ثمة مفاجأة إضافية؛ وهي أنه حتى إذا قُطع الطوق كله على نحو متناظر، بحيث لم يتبقَّ سوى قطعة صغيرة للغاية، فلن تتغير الفترات. سنحتاج إلى أن نبيِّن رياضيًّا أن العزم المستعيد والزخم القصوري لهما نفس الاعتماد على المسافة من محور الدوران؛ بحيث إن أي تغيُّر في إحدى الكميتين يؤدِّي إلى تغيُّر في الكمية الأخرى.

(٤٤) بندول عجيب*

سيزيد مدى أرجحة البندول الحلقي بسرعة؛ لأن هذه المنظومة تسلك سلوكَ هزَّاز بارامتري. يكون الرنين البارامتري في أقوى صوره حين يكون تردُّد المُعامل المتغير مع الوقت — أي موضع الدعم — ضعفَ التردد الطبيعي للمنظومة المتحركة. يعني هذا أنَّ نَقْل الطاقة يكون في أفضل صوره عند ، ويكون أقل بكثير عند الترددات الأخرى ؛ حيث عدد صحيح.
بالنسبة إلى البندول البسيط ذي السلوك المتناظر على كِلَا جانبَيِ الخط العمودي المار بنقطة الدعم، يمكننا ملاحظة أن أي منظومة نقل كفء للطاقة توجد على الجانب الأيسر للحركة يجب أيضًا أن توجد على الجانب الأيمن. في الواقع، في هذا المثال البارامتري وفي حالة المثال المألوف الخاص بالطفل على الأرجوحة، يكون ضخ الطاقة عند أمرًا كفئًا بدرجة كبيرة. وإذا وقف الأب والأم كلٌّ عند أحد طرفَيْ قوس الأرجحة فسيكون بمقدورهما زيادة مدى الأرجحة بدرجة كبيرة من خلال دفع الطفل، وهو ما سيسعده كثيرًا بالتأكيد!
  • Landau, L. D., and E. M. Lifshitz. Mechanics. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1969, pp. 80–84.

جميع الحقوق محفوظة لمؤسسة هنداوي © ٢٠٢١