الفصل الثالث

قانون نيوتن الثاني

(١) حلول مسائل قانون نيوتن الثاني للحركة

(٣-١) (أ) مخطط الجسم الحر لهذه الحالة كما يلي: البكرةُ عديمةُ الوزن؛ مما يجعل من الحتمي أن تكون محصلة القوة المؤثِّرة عليها صفرًا، فإذا كان الاتجاه لأعلى هو الاتجاهَ الموجب (اتجاه متجه الوحدة المبيَّن في شكل ٣-١)، فإن:
(3-1)
إن عجلة أيٍّ من الكتلتين في إطارٍ قصوريٍّ هي الجمع المتجهي لعجلة مركز القرص وعجلة تلك الكتلة بالنسبة إلى مركز القرص. لنُسَمِّ الأخيرة للكتلة و للكتلة . وبما أن الخيط غير ممطوط، إذنْ فنحن متأكِّدون أن . إذا كانت عجلة مركز القرص ، إذنْ بكتابة ، يكون لدينا . الآن يمكننا كتابة معادلات القانون الثاني للكتلتين.
(3-2)
fig8
شكل ٣-١: مخطَّط الجسم الحر للمسألة (٣-١) (أ).
يمكن إعادة كتابة هاتين المعادلتين كما يلي:
(3-3)
بجمع المعادلتين يمكننا حلهما في ، ثم في كما يلي:
(3-4)
إذا ما طرحنا بدلًا من ذلك المعادلةَ الأولى من المعادلة الثانية؛ إذنْ فإن:
(3-5)

(ب) تم استنتاج الشد بالفعل ومقداره ٥٠ نيوتن.

(٣-٢) نحل المسألة في إطار قصوري له نفس السرعة التي كان عليها المصعدُ عندما تحرَّرَتِ الكرةُ (نفترض أن الكرة لا ترتطم بسقف المصعد). إذا جعلنا في اللحظة التي تحرَّرت عندها الكرة وسمَّينا المحور الرأسي ، إذنْ فإن و . ارتفاع الكرة فوق الأرضية ، ويكُون قيمةً عظمى عند ومقداره:
(3-6)
نرى أن أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة فوق الأرضية هو نفس الارتفاع الذي كانت ستصل إليه لو أنها قُذِفت لأعلى بسرعةٍ داخلَ صندوق غير متسارع فوق كوكبٍ عجلةُ جاذبيتِه (بدلًا من ؛ حيث ، و تشير رأسيًّا لأعلى من فوق سطح الكرة الأرضية). رأينا بالفعل (مثال ٣-٢) أن القوة المتجهة لأعلى التي تؤثِّر بها الأرضيةُ على شخصٍ كتلتُه داخل مصعد متسارِع (القوة التي يقيسها الميزان) هي ، وهي التي كان سيقرؤها الميزان إذا لم يكن المصعد متسارعًا، ولكنه على كوكبٍ عجلةُ جاذبيتِه .
بصورةٍ أعمَّ إلى حدٍّ ما، يمكننا توضيح أنه إذا كان لصندوقٍ ما عجلة (دون أن يدور) بالنسبة إلى إطار قصوري، فإنه يمكننا معاملة أي محاور مرتبطة بالصندوق كما لو كانت إطارًا قصوريًّا، بشرط أن نضيف لقائمة القوى المؤثرة على جسمٍ داخل الصندوق قوةَ الاحتكاك . لهذه القوة الإضافية نفس صورة قوة الجاذبية ، نسميها «خيالية» لأنها ليسَتْ ناتجةً من أي جزءٍ قابل للتحديد من المادة.
برهان. إذا كانت محاور الإطار القصوري هي ، وكانت المحاور المرتبطة بالصندوق هي ، فإن أيَّ جسيم عجلته بالنسبة إلى المحاور المميزة بالشرطات تكون عجلته بالنسبة إلى الإطار القصوري. معادلة الحركة للجسيم هي ؛ حيث هي القوة الكلية المؤثِّرة على الجسيم. يمكننا إعادة كتابة ذلك على الصورة ؛ حيث هي مجموع القوة الحقيقية والقوة الخيالية .
(٣-٣) (أ) إذا كان اللوح لا ينزلق فإن عجلة الصبي في إطار قصوري تكون أيضًا ؛ لا بد إذنْ أن تكون هناك قوة تؤثر على الصبي، ولا بد أنه يؤثِّر بقوة لها نفس المقدار على اللوح؛ ومن ثَمَّ فإن أقل عجلة للصبي تتسبب في الانزلاق هي:
(3-7)
(ب) عجلة الصبي تتخطى . ليكن اتجاه عجلة الصبي، ولأن اللوح ينزلق على الجليد فسنسمي عجلته ، وتكون عجلة الصبي عندئذٍ (بوحدات المتر/ثانية تربيع)، وعندها ينبغي أن تكون القوة المؤثرة على الصبي كالتالي:
(3-8)
باستخدام قانون نيوتن الثالث، تكون إذنْ محصلة القوة الأفقية على اللوح كالتالي:
(3-9)
fig9
شكل ٣-٢: الموضعان الابتدائي والنهائي للإسفين والكتلة المنزلقَيْن في المسألة (٣-٤).
عجلة الصبي بالنسبة إلى الجليد هي:
(3-10)
(٣-٤) الحالة الابتدائية والنهائية مبيَّنَة في شكل ٣-٢. مخطَّطَا الجسم الحر للوتد والقالب مبيَّنَان في شكل ٣-٣. نختار إطار الكرة الأرضية القصوري بحيث يكون المحور في الاتجاه الأفقي (نحو اليمين)، والمحور رأسيًّا لأعلى؛ عندئذٍ تكون معادلات القانون الثاني هي:
(3-11)
حيث و هما مركبتَا عجلة القالب في الاتجاهين و ، و هي العجلة الأفقية للوتد. نعلم أن سطح المنضدة والجاذبية يمنعان أي عجلة رأسية للوتد. مع عدم معلومية كلٍّ من ، و و ، و ، نحتاج إلى معادلة واحدة إضافية لحلِّ جميع المجاهيل. المعادلة المتبقية هي القيد الذي يُلزِم القالبَ بأن يظلَّ مُلامِسًا للوتد خلال الرحلة بالكامل (وإلا فإن القوة الأفقية على الوتد سوف تتوقف). إذا كان الوتد ساكنًا، فينتج من حركة القالب على الوتد لأسفل لمسافة أن و . في الإطار المتحرك الذي ينزلق فيه الوتد بحرية، (نستخدم الشرطة كعلامة للمحاور في هذا الإطار)، ينبغي أن تكون دائمًا النسبة بين المسافتين و هي من أجل أن يحافظ القالب على البقاء ملامِسًا للوتد؛ ومن ثَمَّ يكون لدينا في الإطار القصوري للكرة الأرضية:
(3-12)
حيث إننا اتخذنا فقط المشتقة الثانية بالنسبة إلى الزمن للحصول على العجلة. ويكون لدينا الآن من معادلات القوة:
(3-13)
fig10
شكل ٣-٣: مخطَّط الجسم الحر للإسفين والكتلة المنزلقَين في المسألة (٣-٤).
والتعويض في معادلتنا، والجمع بين و يُنتِج:
(3-14)
لتكن المسافةُ التي يقطعها الوتد في الزمن الذي يحتاجه القالب ليصل إلى قاعدة الوتد هي . نعيِّن كلًّا منهما من المسافة الرأسية التي يقطعها القالب كالآتي:
(3-15)
fig11
شكل ٣-٤: مخطط الجسم الحر في المسألة (٣-٥) (أ).
(٣-٥) (أ) مخطط الجسم الحر مبيَّن في الشكل ٣-٤. مركبتا القوى و تكون أولاهما موازية للسطح المائل والثانية عمودية عليه. يحافظ الخيط على عجلة كرة البندول على طول الاتجاه