الفصل السادس

الحركة التوافقية البسيطة

(١) حلول مسائل الحركة التوافقية البسيطة

(٦-١) لقد بيَّنَّا أن معادلة الحركة هي نفسها كما في إطارٍ تمَّ تعديلُ عجلةِ الجاذبية فيه إلى ؛ حيث ؛ إذنْ لابد أن يكون الزمن الدوري للبندول:
(6-1)
(٦-٢) حركة الجسيم مماثلة لحركة كرة بندول بسيط. استُبدِل بالشد في هذه الحالة القوة العمودية للسطح الكروي على الجسيم. يمكننا استخدام القوى المؤثرة على الجسيم لاستنتاج معادلة الحركة. دعنا بدلًا من ذلك نتبع المقارنة الواردة في الفصل السادس القسم (٤) وننظر إلى الطاقة الميكانيكية. نرى من شكل ٦-١ أن ارتفاع الجسيم فوق أدنى نقطة للسطح الكروي هو:
(6-2)
لا يوجد احتكاك، وبالتالي فإن جميع القوى محافظة؛ ومن ثَمَّ يمكننا كتابة:
(6-3)
fig21
شكل ٦-١: الحل (٦-٢).
حيث كتلة الجسيم. نلاحظ أن مقدار السرعة الزاويَّة للجسيم عند أي لحظة هو . نأخذ مشتقة معادلة الطاقة بالنسبة إلى الزمن للحصول على:
(6-4)
حيث بالطبع العجلة الزاويَّة. لإزاحات صغيرة من أدنى نقطةٍ نحتاج أن يكون ؛ ومن ثَمَّ فإن ؛ إذنْ فإن:
(6-5)
والذي يكون له نفس صورة (6-3) إذا استبدلنا ؛ ومن ثَمَّ نرى على الفور أن معادلة الحركة تتنبَّأ بتذبذُبٍ توافُقيٍّ بسيط زمنه الدوري:
(6-6)
(٦-٣) يمكن تحديد موضع الجسيم على أنه كما هو مبيَّن في الشكل ٦-١٠، ويكون هذا الموضع هو:
(6-7)
مقدار القوة على الجسيم عند هذا الموضع هو:
(6-8)
حيث ؛ لأن كثافة الكتلة منتظمةٌ (ومن ثَمَّ تساوي ) و . مركبة المتجه في اتجاه عمودي على النفق تكون متزنة مع القوى العمودية التي تُبقِي الجسيم داخل النفق. المركبة الموازية لسطح النفق هي:
(6-9)
حيث توضِّح الإشارةُ السالبة أن اتجاه القوة يكون دائمًا نحو مركز النفق. عند هذه النقطة يكون ، وتكون القوة المتجهة في الاتجاه الموازي صفرًا؛ ومن ثم فإن هذه النقطة تُمثل موضع اتزان. تكون المعادلة التي تصف حركة الجسيم إذنْ:
(6-10)
وهو نفس صورة (6-3)، وبالتالي نحدِّد هذه الحركة بأنها تذبذُبٌ توافقيٌّ بسيط على طول النفق، وتردده الزاوي هو:
(6-11)
زمن العبور من إحدى نهايتَيِ النفق إلى الأخرى هو نصف الزمن الدوري للذبذبة:
(6-12)

لاحظ أن النتيجة لا تعتمد على كتلة الجسيم أو طول النفق! ومن الملاحظات المثيرة للانتباه أيضًا أن الزمن الدوري مساوٍ للزمن الدوري لقمرٍ صناعيٍّ يحلِّق فوق أسطح منازل الأرض في مدارٍ دائري.

(٦-٤) بالنسبة إلى القالب العلوي، فإن القوة العمودية نتيجة القالب السفلي هي . القيمة العظمى للقوة الأفقية التي يمكنها أن تؤثِّر على القالب العلوي تُعطَى بالقيمة العظمى لقوة الاحتكاك الاستاتيكي، وبالتالي فإن أقصى عجلة ممكنة للقالب العلوي قبل حدوث الانزلاق هي ، وللحصول على القيمة العظمى للعجلة بالنسبة إلى السعة المعطاة نعود إلى (6-13). في هذه الحالة تكون لنا حرية ضبط نقطة المرجع . يُعطَى التردد الزاوي من:
(6-13)
ومن معادلة الحركة (6-13) نرى أن أقصى مقدار للعجلة يحدث عند موضعي السعة (أقصى مقدار ﻟ )؛ إذنْ فإن:
(6-14)

جميع الحقوق محفوظة لمؤسسة هنداوي © ٢٠٢٢