الفصل الخامس

الأعداد المهمة

إنَّ الأعداد التي تظهر تلقائيًّا في مسائل العد مهمة؛ ولذلك خضعت لدراسات مكثفة. وسأشير هنا إلى معاملات ذات الحدَّين، والأعداد الكاتلانية، وأعداد فيبوناتشي، وأعداد سترلينج؛ لأنها تَسْرد مجموعات طبيعية معينة. ولكن سنبدأ أولًا بمتتاليات أعداد كبيرة الأهمية.

الأعداد المثلثية والمتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية

نظرًا لأننا سنعاود التطرق إلى الأعداد المثلثية لدى التحدث عن معاملات ذات الحدين، فسوف ألقي نظرة عليها الآن. فالعدد منها — ويُرمز له — يُعرَّف بأنه مجموع أول من أعداد العد. ويمكن تحديد قيمته — باستخدام صيغة — بالحيلة التالية؛ إذ نكتب بوصفها ناتج الجمع المذكور للتوِّ، ثم نكتبها مرة أخرى كنفس المجموع ولكن بترتيب معكوس. وعند جمع نسختَي معًا:
فإن الناتج بالطبع سيكون التعبير الجبري . مع ذلك، فالهدف من القيام بذلك هو اقتران مع ، و مع ، و مع ، وهكذا. فمجموع أيٍّ من هذه الأزواج يعطي القيمة نفسها؛ وهي ، ويوجد من هذه الأزواج معًا. في النهاية، نستنتج أن ، أو بعبارة أخرى، قيمة في العدد المثلثي هي . على سبيل المثال، مجموع كل الأعداد الصحيحة من حتى يساوي .
في الواقع، تسمح لنا هذه المعادلة بإيجاد قاعدة لجمع أول من الحدود لأي متسلسلة حسابية، أو متتالية كما يطلق عليها، وتكون في صيغة . وعلينا أولًا أن ننتبه لتغيير المقدار. فمن خلال ضرب التعبير الجبري في ، نرى أن . ولإيجاد معادلة حاصل جمع المتسلسلات الحسابية العامة، لاحظ أولًا أن حاصل جمع حدَّي الأولين في المتسلسلة السابقة ينتج عن طريق استبدال مكان في المعادلة السابقة، من أجل الوصول إلى . وتنتج المتسلسلة الحسابية العامة الآن من إضافة لكل حد ووضع كأول حد أيضًا. وهذا يعني أننا نحتاج لإضافة إلى المجموع السابق للحصول على المعادلة العامة لحاصل جمع من الحدود الأولى في المتسلسلة الحسابية:
على سبيل المثال، بوضع و ، نجد أن حاصل جمع من الأعداد الفردية الأولى هو ، أي مربع .
إذا استبدلنا الضرب بالجمع، ننتقل من المتسلسلة الحسابية إلى «المتسلسلة الهندسية». في المتسلسلة الحسابية، يُفرَّق بين كل زوج من الحدود المتتالية ﺑ «الفرق المشترك»، وهو العدد في نظام الترميز الذي نستخدمه. بعبارة أخرى، للانتقال من حد إلى الحد التالي، نضيف ببساطة. وفي المتسلسلة الهندسية، نبدأ مرة أخرى بعدد عشوائي، بوصفه الحد الأول، ثم ننتقل من حدٍّ إلى حدٍّ تالٍ عن طريق «الضرب» في عدد ثابت، يسمى «نسبة مشتركة»، ويُشار إليها بالرمز . بمعنى أن المتسلسلة الهندسية العادية تكون في صورة بحيث يكون الحد معادلًا للعبارة . وكما هي الحال مع المتسلسلة الحسابية، توجد معادلة لحاصل جمع أول من الحدود في المتسلسلة الهندسية:
الطريقة السريعة للتحقق من صحة هذه المعادلة هي الحصول على الطرفين المتساويين من ضرب كلا طرفي هذه المعادلة في والضرب خارج الأقواس. فنحصل من الجانب الأيسر على ما يلي:
فيقصُر التعبير الجبري كله، بمعنى أنه كلُّ حدٍّ فيه تقريبًا يُلغى بواسطة حدٍّ في القوس الآخر: الاستثناء الوحيد هو ، مما يبين أن معادلتنا لناتج الجمع صحيحة. على سبيل المثال، بوضع و ، نحصل على ناتج جمع قوى العدد 2:

وهذه المعادلة هي ما تحتاجه فحسب من أجل التحقق من نتائج إقليدس في الفصل الثالث حول كيفية الحصول على أعداد كاملة زوجية من أعداد ميرسين الأولية.

المضروب والتباديل ومعاملات ذات الحدين

كما رأينا سابقًا، العدد المثلثي ينشأ من جمع كل الأعداد من حتى معًا. وإذا استبدلنا الضرب بالجمع في هذه الفكرة، فسنحصل على ما يسمى «أعداد المضروب»، التي سَبَقَت الإشارة إليها في الفصل الثاني.
يظهر المضروب باستمرار في مسائل العد والاحتمال؛ مثل احتمالات الحصول على مجموعة معينة من الأوراق في ألعاب الورق على غرار البوكر. ولهذا السبب، لديه رمزه الخاص؛ إذ يشار إلى المضروب بالمعادلة . تتزايد الأعداد المثلثية بسرعة معقولة، إلى قرابة نصف معدل الأعداد المربعة، ولكن أعداد المضروب تتزايد بسرعة كبيرة، وسريعًا ما تتجاوز الملايين والملايين؛ على سبيل المثال . وتُنَبِّهُنا علامة التعجب إلى معدل نموِّها المخيف هذا.
وعلى وجه الخصوص، العدد يمثل عدد الطرق المختلفة المميزة التي يمكنك من خلالها ترتيب من العناصر في صف؛ على غرار الكرات المرقمة البالغ عددها . وهذا يتبع أنه لديك خيارات عددها لاختيار الكرة التي توضع في البداية، ولكل خيار من هذه الخيارات لديك عدد من الكرات لتُوضع في المكان الثاني، و للمكان الثالث، وهكذا. وإذا توقفنا بعد اختيار كرات فحسب، وأشرنا إلى العدد المقابل لها بالعبارة ، نرى أنه يوجد من التباديل — كما قلنا — الخاصة بالكرات ، مع أخذ في كل مرة. يُعبَّر عن ذلك أيضًا على نحو مناسب بأنه النسبة بين عاملين: . على سبيل المثال، إذا كنت توزع دورة في لعبة البوكر، تأخذ خمس بطاقات من مجموعة الورق البالغ عددها ، وعدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها ذلك هي . مع ذلك، لا تعتمد دورة الورق في البوكر على ترتيب سحبك للبطاقات، ولكن على مجموعة الورق نفسها فحسب. فبالنسبة لدورة الورق، فإن كل خمس بطاقات يمكن أن يعاد ترتيبها بطرق يبلغ عددها ؛ لذلك فإن عدد سحب البطاقات الخمس المختلفة حقًّا هو ؛ أيْ حوالي مليونين ونصف مليون طريقة.
أكثر الفئات تميزًا التي تظهر في مسائل العد — أو كما يطلق عليها «السرد» — هي فئة «معاملات ذات الحدين»، وسميت هكذا لأنها تنشأ كمضاعفات لقوى عند فك التعبير الجبري ذي الحدين . والمعامل ذو الحدين هو عدد الطرق المختلفة التي قد نبني من خلالها مجموعة من الحجم من مجموعة من الحجم . على سبيل المثال: ؛ إذ إنه يوجد ستة أزواج (مأخوذة دون الوضع في الاعتبارِ الترتيبَ داخلَ الزوج) يمكن اختيارها من مجموعة من أربعة؛ على سبيل المثال: إذا كان لدينا أربعة أطفال — أليكس وباربرا وكارولين وديفيد — يوجد ست طرق يمكننا من خلالها اختيار زوجٍ من المجموعة: AB, AC, AD, BC, BD, CD.
يمكن حساب معاملات ذات الحدين بطريقتين مختلفتين؛ أولًا: يمكننا توسيع نطاق البرهان السابق الذي استخدمناه لحساب : فنرى بوجه عام أن ، التي بدورها تقدم لنا التعبير الجبري المفيد:
وتحدث حالة خاصة بارزة عندما نضع ، تقابل عدد الأزواج التي يمكن اختيارها من مجموعة عناصر . الجواب هو . والآن، كل العوامل الموجودة في الحد في المقام تُلغى مع العوامل المقابلة في ، ونظرًا لأن ، فإن التعبير يُبسط إلى . بعبارة أخرى، عدد طرق اختيار زوج من مجموعة من عناصر هو ، مع كون عددًا مثلثيًّا. على سبيل المثال، كما رأينا بالفعل، ، الذي هو بالفعل العدد المثلثي الثالث.
إنَّ هذه الصيغة القائمة على المضروب لحساب معاملات ذات الحدين تقدم بالفعل فهمًا جبريًّا تامًّا للمعاملات ذات الحدين؛ مما يمكِّننا من إيضاح خصائصها المميزة العديدة. مع ذلك، عادةً ما يكون تطوُّر هذه الخصائص أكثر وضوحًا إذا ركَّزنا على طريقة ثانية لإنتاج هذه الأعداد الصحيحة، وهي من خلال المثلث الحسابي (انظر شكل ٥-١)، المعروف أيضًا باسم مثلث باسكال، تكريمًا لعالم الرياضيات والفيلسوف الفرنسي بليز باسكال (١٦٢٣–١٦٦٢) الذي عاش في القرن السابع عشر. (اكتُشف المثلث الحسابي وأعيد اكتشافه في فارس والهند والصين على مدار الألفية السابقة: على سبيل المثال، كان موجودًا على الغلاف الأمامي لكتاب «المرآة النفيسة» الذي ألفه تشو شيه تشيه في عام ١٣٠٣.)
كل عدد في هيكل المثلث هو ناتج جمع العددين الموجودَين أعلاه. والمثلث — الذي يمكن مواصلة تكوينه إلى ما لا نهاية — يقدِّم قائمةً كاملة من معاملات ذات الحدين. على سبيل المثال، لإيجاد عدد الطرق التي يمكن من خلالها اختيار خمسة أشخاص من مجموعة بها سبعة أشخاص، اتَّبعِ الخطوات التالية: رقِّم سطور المثلث بدءًا من صفر في القمة، وعلى نحو مماثل رقِّم المواضع في كل صف من اليسار إلى اليمين، بدءًا من صفر مرة أخرى، واذهب إلى السطر رقم ، ثم اذهب للعدد الموجود في ذلك السطر في الموضع الخامس (تذكَّر أن تبدأ العد من صفر)؛ سنجد أن الإجابة هي . سوف تلاحظ تماثل كل صف؛ على سبيل المثال، هو أيضًا عدد طرق اختيار شخصين من مجموعة فيها سبعة أشخاص. يُفسَّر ذلك من خلال ملاحظة أنه عندما نختار الخمسة من السبعة، فإننا في الوقت نفسه نختار اثنين من السبعة أيضًا؛ الاثنان هما الزوج المتبقي. وبرهان التماثل هذا ينطبق بالطبع على كل صف. وهذا أيضًا مبرهن عليه في المعادلة: ؛ حيث إنها تعطينا التعبير نفسه إذا استبدلنا ؛ إذ إن الحدين و اللذين نراهما في المقام يتبادلان فحسب مكانيهما.
fig2
شكل ٥-١: المثلث الحسابي.
ليس من الصعب إدراك السبب في أن هذا النمط يقدم الإجابة الصحيحة. فكل صف مبنيٌّ من الصف الموجود فوقه. ويمكننا أن نرى بسهولة أن الصفوف الثلاثة الأولى صحيحة: على سبيل المثال، العدد في مركز الصف الثالث يعلمنا بأنه توجد طريقتان لاختيار شخص واحد من زوج من الأشخاص. والعدد الموجود على القمة يقول إنه توجد طريقة واحدة لاختيار مجموعة بالحجم صفر من المجموعة الفارغة. وفي الواقع، توجد طريقة واحدة لاختيار مجموعة بالحجم صفر من أي مجموعة، وهذا هو السبب في بدء كل صف بالعدد . دعنا نركز على المثال المقدم للتو: توجد ( ) طريقة لاختيار خمسة من مجموعة من سبعة أشخاص. تنقسم المجموعات الخماسية البالغ عددها طبيعيًّا إلى نوعين. أولًا، توجد طريقة لتكوين مجموعة من أربعة من أول ستة أشخاص، ويمكننا إضافة الشخص السابع لكلٍّ منها لتكوين مجموعة الخمسة أشخاص. مع ذلك، إذا لم نشمل الشخص السابع في ذلك، فعلينا حينها تكوينُ مجموعة من خمسة أشخاص من أول ستة أشخاص، وتوجد ست طرق للقيام بهذا الأمر. وهذا يوضح كيف يؤدي كل صف إلى الصف الذي يليه؛ فكل عنصر يمثل مجموع العنصرين الموجودين أعلاه، وهذا النمط هو السائد في المثلث. وبالرموز، تتخذ هذه القاعدة الشكل:
والمثلث غني بالأنماط. على سبيل المثال، مجموع الأعداد في كل صف متتابع يعطي المتتالية المتضاعفة ، ، ، ، ، … متتالية قوى العدد . وعلى سبيل المثال، بجمع الصف الذي يبدأ ، ، ، … فإننا نجمع عدد طرق اختيار مجموعة بالحجم ، ، ، … من مجموعة من . وفي النهاية، يعطينا ذلك عدد طرق اختيار مجموعة بأي حجم من مجموعة من عناصر، وهو ما يساوي ناتج ؛ وعمومًا مجموعة بالحجم تحتوي على من المجموعات الفرعية بداخلها.
يمكن رؤية هذه الحقيقة الأخيرة مباشرةً؛ إذ إنه يمكن تحديد مجموعة فرعية من مجموعة بالحجم من خلال سلسلة ثنائية بالطول بالطريقة التالية. نضع المجموعة المذكورة بترتيب معين مثلًا، ثم تحدد سلسلة ثنائية بالطول مجموعة فرعية من خلال قول إن كل ظهور للعدد 1 في السلسلة يشير إلى وجود المقابل في المجموعة الفرعية المنشودة. على سبيل المثال، إذا كان ، فإن السلسلتين و تمثلان على الترتيب، وتمثلان المجموعة الفارغة. ونظرًا لأنه يوجد خياران لكل مُدخل في السلسلة الثنائية، فيوجد عدد سلسلة إجمالًا؛ ومن ثم مجموعة فرعية ضمن مجموعة بالحجم .

الأعداد الكاتلانية

كل صف ثانٍ في المثلث الحسابي به عدد يقع في المنتصف: ، ، ، ، ، ، … وتقبل هذه الأعداد القسمة على أعداد العد المتتابعة ، ، ، ، ، ، … وتُعرف الأعداد التي تنتج من إجرائنا لعمليات القسمة تلك — ، ، ، ، ، ، … — باسم «الأعداد الكاتلانية». وباستخدام صيغة معاملات ذات الحدين المركزية تلك، يمكن التعبير عن العدد الكاتلاني بالعبارة الجبرية ؛ حيث .
أحد أبسط التمثيلات البصرية التي تُنتج هذا النوع من الأعداد هو عدد الطرق التي يُمْكننا من خلالها رسْمُ جبال باستخدام خطوط الصاعدة وخطوط النازلة (انظر شكل ٥-٢).
مع ذلك، فلكل نمط جبلي تفسير بوصفه آلية ذات معنًى للحصر داخل أقواس؛ ومن ثم فإن عدد الطرق ذات المعنى المستخدمة لترتيب مجموعة من أزواج الأقواس يعبِّر عن العدد الكاتلاني . على سبيل المثال، الطريقتان و هما طريقتان ذواتا معنًى للحصر داخل أقواس، ولكن الطريقة ليست ذات معنًى، ولكي تكون ذات معنًى، يجب ألا يقل عدد الأقواس المفتوحة إلى اليسار عن عدد الأقواس المفتوحة إلى اليمين حينما نعدُّ من اليمين إلى اليسار. وهذا يتوافق مع الشرط الطبيعي بأن جبالنا يجب ألا تغوص أسفل سطح الأرض. على سبيل المثال، يتوافق النمطان الجبليان الأول والأخير — في شكل ٥-٢ — مع آليَّتَي الحصر داخل الأقواس و على الترتيب.
كذلك يمثل العدد الكاتلاني عدد الطرق التي يمكننا من خلالها تقسيم مضلع منتظم بطول ضلع إلى مثلثات عن طريق الخطوط القطرية التي لا تقطع بعضها بعضًا؛ ويوجد تفسيرات أخرى مصاحبة لهذه الخطوط. وكما هي الحال مع معاملات ذات الحدين، توجد معادلات تربط الأعداد الكاتلانية بأعداد كاتلانية أصغر، وهذا يجعلها قابلة للتلاعب بها.
fig3
شكل ٥-٢: بثلاثة خطوط صاعدة وثلاثة خطوط نازلة، يوجد خمسة أنماط جبلية.

أعداد فيبوناتشي

متتالية فيبوناتشي هي متسلسلة من الأعداد التي تبهر العامة بشدة. وتسير المتتالية كما يلي:
حيث يكون كل عدد بعد عددَي الأوَّلين هو مجموع العددين السابقين له. وفي هذا الأمر يوجد تشابُه مع معاملات ذات الحدين؛ حيث إن كل حد يكون مجموع الحدين السابقين له في المتتالية، ولكن طريقة تكوين أعداد فيبوناتشي أكثر بساطة:
حيث تشير إلى العدد فيبوناتشي ، ويُثبت . ونطلق على هذه الصيغة التي تحدد كل عنصر في المتتالية وفق سابقيه «تكرارًا» أو «علاقة تكرارية».

كيف تنشأ هذه المتتالية؟ قدَّمَها لأول مرة عام ١٢٠٢ ليوناردو أوف بيزا — الذي اشتُهر أكثر باسم فيبوناتشي — في صورة مسألة الأرنب الشهيرة الخاصة به. تولد أنثى أرنب وبعد شهرين تصل إلى مرحلة النضج وتلد أرنبًا كل شهر. وعدد الأرانب الإناث الذي يكون لدينا في بداية كل شهر نتوصل إليه عن طريق أعداد فيبوناتشي؛ إذ إنه يوجد أنثى واحدة في بداية الشهر الأول والشهر الثاني، ولكن في بداية الشهر الثالث تلد الأنثى أرنبًا أخرى؛ ومن ثم يكون لدينا أنثيان. وفي الشهر اللاحق تلد أنثى أخرى، فيكون لدينا ثلاث، وفي الشهر الذي يليه يكون لدينا خمس أرانب؛ لأن الأم وكبرى بناتها قادرتان الآن على الإنجاب. وبوجه عام، في بداية كل شهر منذ ذلك الحين فصاعدًا، يكون عدد الإناث المولودات حديثًا مساويًا لعدد الإناث التي كانت لدينا قبلها بشهرين؛ حيث تكون قد كبرت بما يتيح التكاثر. يترتب على ذلك أن عدد الإناث لدينا في بداية كل شهر تالٍ يساوي مجموع الشهر السابق (أرانب فيبوناتشي خالدة) والعدد الذي لدينا في الشهر السابق له. ومن ثم، فإن قاعدة تكوين أعداد فيبوناتشي تتطابق تمامًا مع نمط التكاثر لدى هذه الأرانب.

وعلى الرغم من حقيقة أن الأرانب الحقيقية لا تتكاثر بهذه الطريقة المفتعلة، فإن أعداد فيبوناتشي تظهر في الطبيعة بمجموعة متنوعة من الطرق، بما في ذلك نمو النبات. وأسباب هذا الأمر مفهومة جيدًا، ولكن ترتبط بسمات أكثر دقة للمتتالية المرتبطة بما يسمى «النسبة الذهبية»، وهي العدد الذي نوشك على شرحه.

أبسط أنواع متتاليات الأعداد هي المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية المذكورتان في الجزء الأول. ومع أن متتالية فيبوناتشي ليست من أي النوعين، فإن لها مع ذلك رابطًا مدهشًا مع النوع الثاني. إذا شكَّلْنا متتالية فروق من متتالية فيبوناتشي، نحصل على ، ، ، ، ، ، ، … استنادًا إلى طريقة تحديد المتتالية؛ أي إننا نستعيد متتالية فيبوناتشي مرة أخرى غير أننا نبدأ في هذه المرة من الصفر. يحدث هذا بالتحديد بسبب طريقة تكوين المتتالية: فالفارق بين عددي فيبوناتشي متتالين هو العدد الذي يسبقهما مباشرة في المتتالية. (لرؤية ذلك جبريًّا، اطرح من كلا طرفي تكرار فيبوناتشي السابق.) وليست المتتاليةُ متتاليةً هندسية؛ حيث إن النسبة بين عددي فيبوناتشي متتالين ليست ثابتة. مع ذلك، عندما ننظر للنسبة بين حدين متتالين، نرى أنها تستقر عند قيمة نهائية. ويظهر هذا السلوك شبه المستقر سريعًا إلى حدٍّ ما؛ حيث نجد عند قسمة كل عدد فيبوناتشي على سابقه:
ولكن ما هذا العدد الغامض الذي ينتج؟ هذا العدد يُعرف باسم النسبة الذهبية، ويظهر تلقائيًّا في السياقات الهندسية التي تبدو بعيدة كل البعد عن أرانب فيبوناتشي. على سبيل المثال، هي نسبة قطر المضلع الخماسي المنتظم إلى طول ضلعه (انظر شكل ٥-٣). وكل قطر يقابل آخر في نقطة تقسمه إلى جزأين النسبة بينهما هي . وأزواج الأضلاع المتقاطعة والأقطار المتقاطعة تشكل الأضلاع الأربعة للمعين (متوازي أضلاع «مربع») كما هو موضح. عندما تتقاطع الأقطار، تُشَكِّل مضلعًا خماسيًّا أصغر مقلوبًا.
إن «التشابه الذاتي» من الخصائص المرتبطة بالنسبة الذهبية، ومعناه أن الأشكال — على غرار المضلع الخماسي — التي تتضمن عادة ما تحتوي داخلها على نسخ أصغر من نفسها. ويتضح هذا في المستطيل ذي الأضلاع التي يبلغ طولها و ؛ إذ إنه فريد من نوعه في عرض هذه السمة؛ فإذا اقتطعنا منه أكبر مربع يمكننا اقتطاعه (مربع طول ضلعه ) فإن المستطيل الأصغر الذي يتبقى يكون نسخة من المستطيل الأصلي. وهذا الشكل يعرف بسبب ذلك باسم «المستطيل الذهبي» (انظر شكل ٥-٣). يمكن اكتشاف قيمة من السمة المذكورة للمستطيل؛ حيث إنه إذا سمَّيْنا طول الضلع الأطول وجعلنا الضلع الأقصر وحدة واحدة، نتوصل إلى التشابه بين المستطيلين من خلال المساواة بين ، التي نحصل عليها عن طريق مساواة النسبة بين الضلع الأطول والضلع الأقصَر في المستطيلين. وينتج عن الضرب التبادلي الذي يحدث في هذا التعبير الجبري، المعادلة . وعند استخدام الصيغة العادية لحل هذه المعادلة التربيعية (المعادلة التي تتضمن عددًا مربعًا)، نجد أن الجذر الموجب لهذه المعادلة يساوي: