الخوارزميات التاريخية: أمثلة بسيطة

(١) مقدمة

في هذا الفصل نقدِّم بعض الأمثلة «البدائية» لتوضيح الأفكار الأساسية التي تناولناها في الفصل الثاني. نضرب هذه الأمثلة أيضًا لإلقاء بعض الضوء على نوع الهجمات التي قد تشنها الأطراف المعترضة، ولبيان بعض الصعوبات التي يواجهها مصممو الخوارزميات. تنتمي جميع أمثلة الخوارزميات المذكورة هنا إلى النوع المتناظر، وهي أمثلة لخوارزميات جرى تصميمها واستخدامها قبل وقت طويل من اقتراح نظم التشفير ذات المفتاح المعلن. ويستهدف هذا الفصل القارئ غير المتخصص في العلوم الرياضية، لكن توجد أمثلة نشعر فيها بالحاجة إلى طرح المبادئ الرياضية الأساسية فيها، خاصة علم المقياس الحسابي. عندما يحدث هذا، لن يتأثر استيعاب القارئ جراء تجاوزه الجانب الحسابي في الأمثلة المذكورة. ومع ذلك سوف نطرح أمثلة رياضية توضيحية مبسطة (في الملحق الوارد في نهاية الفصل) لتمكين جميع القراء من فهم النص إذا رغبوا في ذلك.

تعتبر أمثلة الخوارزميات هذه قديمة ولا تعبر في واقع الأمر عن أيٍّ مِن أساليب التشفير الحديثة. ومع ذلك من الأهمية بمكان دراسةُ عدد من الأنظمة البدائية كان يجري التشفير فيها من خلال استبدال الأحرف بعضها ببعض، فيما يُطلق عليه استبدال الأحرف، و/أو تغيير ترتيب الأحرف. يوجد عدد من الأسباب وراء ذكر مثل هذه الأمثلة؛ أوَّلها: تمكِّننا هذه الأنظمة من ضرب أمثلة بسيطة وسهلة الاستيعاب تبين المفاهيم الأساسية، كما تمكِّننا من بيان عدد من نقاط الضعف في الشفرات. كما يوجد سبب آخر يتمثَّل في كونها أمثلةً تقدِّم متعة بالغة في حلها، وبما أنها لا تتضمن في الأغلب الكثيرَ من العمليات الرياضية، يستطيع «الهواة» ممن لم يتلقَّوا تدريبًا علميًّا الاستمتاع بها.

(٢) شفرة قيصر

«ماكينة» تنفِّذ شفرة قيصر.

يتبين من هذا المثال البسيط سهولة كسر شفرات قيصر. ومع ذلك نجح يوليوس قيصر في استخدامها؛ ربما لأن أعداءه لم يجُلْ بخاطرهم استخدامه أيَّ شفرات. حاليًّا، لا يوجد أحد ليس على دراية بالتشفير.

يمكن استخدام مصطلحات رياضية لتحل محل عجلة قيصر لوصف شفرة قيصر. سنذكرها هنا، لكن لا ضرر في أن يتخطى هذا الجزء مَن لا يألف استخدام المصطلحات الرياضية وينتقل إلى الجزء التالي.

مثلما رأينا، يعتبر عدد المفاتيح بالنسبة إلى الشفرات الجمعية صغيرًا للغاية. إذا حاولنا التفكير في طرق للحصول على نظام شفرات يتضمن عددًا أكبر من المفاتيح، فربما نستخدم عملية الضرب كبديل لقاعدة التشفير في شفرة قيصر. ومع ذلك إذا حاولنا تطبيق قاعدة الضرب هذه، بما أن التشفير يجب أن يكون عملية قابلة للعكس، توجد قيود على عدد «المفاتيح الخاضعة لقاعدة الضرب».

(٣) شفرات الاستبدال البسيط

على الرغم من أن توافر عدد كبير من المفاتيح يعتبر شرطًا ضروريًّا لتحقيق الأمن في عملية التشفير، فمن الأهمية بمكان الإشارة إلى أن توفر عدد كبير من المفاتيح لا يضمن بالضرورة قوة نظام التشفير. من الأمثلة على ذلك شفرة الاستبدال البسيط (أو الشفرة أحادية الأحرف) التي نعرضها تفصيلًا هنا. لا يبين عرض هذه الشفرة في هذا الفصل مخاطر الاعتماد على عدد كبير من المفاتيح كمؤشر على قوة الشفرة، بل يبين أيضًا كيف يمكن استغلال الإحصاءات اللغوية، في هذه الحالة الإنجليزية، من قِبَل الطرف المُعترِض.

في حالة شفرات الاستبدال البسيط نكتب الأحرف الأبجدية عشوائيًّا تحت أحرف الهجاء تمامًا كما هي مرتبة أبجديًّا، مثلما هو موضح هنا:

هذا لا شك رقم كبير وليس من المحتمل أن يحاول أحد التوصل إلى المفتاح من خلال إجراء عملية بحث شاملة. لكن وجود مثل هذا العدد الضخم من المفاتيح له مشكلاته، وهناك فضلًا عن ذلك عددٌ من الملاحظات تتصل بمشكلات إدارة المفاتيح التي تصاحب استخدام شفرات الاستبدال البسيط. تتمثل الملاحظة البديهية الأولى في طول وصعوبة تذكُّر المفتاح، على خلاف شفرة قيصر؛ من ثَمَّ، عندما كان هذا النوع من الأنظمة يُستخدم يدويًّا، في عصر ما قبل الكمبيوتر، كانت تجري عادةً كتابةُ المفتاح في ورقة. وفي حال الاطلاع على هذه الورقة و/أو سرقتها، يجري اختراق النظام. وفي حال فقدان الورقة «تُفقد» جميع الرسائل المشفَّرة؛ بمعنى أنه كان يتعين على المتلقي المقصود للرسائل أن يتولى كسر الخوارزمية لبيان محتوى الرسائل.

يعني ذلك، على الأقل بالنسبة إلى هذا النوع من التشفير، أننا يجب ألا نفترض حاجة الطرف المعترض إلى تحديد المفتاح كاملًا قبل الحصول على رسالتنا الأصلية عبر نص مشفَّر جرى اعتراضه.

قبل أن نناقش كيف يستطيع طرفٌ معترضٌ استغلالَ إحصاءات اللغة الإنجليزية لاعتراض عدد من الشفرات، بما في ذلك شفرات الاستبدال البسيط، نبين أولًا بعض خصائص شفرات الاستبدال البسيط من خلال أربعة أمثلة صغيرة منتقاة بعناية. في الأمثلة التالية نفترض اعتراض أحد الأطراف — الذي يعرف أن الرسالة مكتوبة باللغة الإنجليزية مثلما هو على علم باستخدام نظام شفرات الاستبدال البسيط — للنصوص المشفَّرة.

(٤) إحصاءات اللغة الإنجليزية

يتماشى تمثيل الأحرف في هذا الجدول مع العديد من الجداول الأخرى التي وضعها مؤلفون آخرون؛ إذ يمكن تفسير هذه الأحرف على أنها تمثِّل معدلات التكرار المتوقعة للأحرف في أي نص إنجليزي. تُظهر هذه الإحصائيةُ بجلاءٍ احتماليةَ هيمنةِ عدد محدود للغاية من الأحرف على أي نص إنجليزي.

مدرج تكراري يوضح معدلات التكرار النسبية للأحرف في نص مشفَّر جرى الحصول عليه باستخدام شفرات الاستبدال البسيط.

كل قارئ استطاع فك شفرة بيان النص المشفر هذا لا شك استفاد من المعلومات التي وفرها وجود مسافات بين الأحرف. وكان فك الشفرة سيصبح أكثر صعوبة بكثير حال جرى حذف المسافات بين الأحرف الإنجليزية.

(٥) شفرة بلايفير

لبيان طريقة عمل نظام شفرة بلايفير سنختار مفتاحًا محددًا لا يوجد ما يميز اختيارنا له:

بمجرد إعادة ترتيب الرسالة على نحو مناسب، نعرض قاعدة التشفير في نظام شفرة بلايفير. لبيان طريقة التشفير سنتوسع في تصميم المفتاح بإضافة عمود سادس وصفٍّ سادس للمفتاح الأصلي. ويتطابق الصف السادس مع الصف الأول، في حين يتطابق العمود السادس مع العمود الأول؛ من ثَمَّ — على سبيل المثال — يمكن التوسع في تصميم مفتاح كما هو موضح في الشكل:

(٦) الترميز المتناغم

لبيان ذلك أكثر، نخصص أعدادًا للأحرف مثلما هو موضَّح في الشكل التالي:

ملاحظة ٢: يعتبر كسر شفرات الاستبدال البسيط سهلًا نسبيًّا ونأمل في أن جميع القرَّاء تمكنوا من فك شفرة فقرة النص المشفَّر عاليَهُ. أما هذا النوع من التشفير الذي نناقشه فيتطلب الكثير من الصبر والحظ. يجب أن يحاول كلُّ مَن يحتاج إلى الاقتناع أو الاستمتاع بفك هذا النوع من الشفرات قراءة النص المشفَّر التالي. تتمثل المعلومات الوحيدة المتوفرة بشأن النص المشفَّر هذا في أن نصًّا إنجليزيًّا جرى تشفيره باستخدام شفرات الاستبدال البسيط بالاستعانة بنظام التشفير المتناغم كما سبق توضيحه أعلاه. المفتاح غير معروف، وهو ليس المفتاح المذكور سابقًا. بالإضافة إلى ذلك، كُتبت الأحرف في مجموعات من خمسة أحرف. (وهو ما يعني عدم قدرة الطرف المعترض على تحديد الكلمات القصيرة، خاصةً تلك التي تتألف من حرف واحد.) لا يعتبر فك مثل هذا النوع من الشفرات مسألة سهلة، ويجب ألا يشعر القراء بضرورة التزامهم بفكها.

(٧) التشفير متعدد الأحرف

عند استخدام الترميز المتناغم، يصبح المدرج التكراري للنص المشفَّر أكثر انبساطًا من خلال زيادة عدد الأحرف الهجائية، وهو ما يضمن تمثيل أكثر من رمز في النص المشفر لنفس الحرف في النص الأصلي. ومع ذلك يظل صحيحًا أن كل رمز في نص التشفير يمثِّل حرفًا وحيدًا في النص الأصلي، وهو ما يمثِّل دائمًا خطرًا في أن يؤلف الطرف المعترض قاموسًا يحتوي على أزواج معروفة من النص المشفر والنص الأصلي لمفتاح معين.

هناك أسلوب آخر لتحقيق هدف جعْل المدرج التكراري للنص المشفَّر منبسطًا من خلال استخدام شفرة متعددة الأحرف. فعند استخدام التشفير متعدد الأحرف، قد يختلف الرمز في نص التشفير الذي يحل محل حرف محدد في النص الأصلي عبر النص المشفَّر، بل وقد يعتمد — على سبيل المثال — في تمثيله على موضعه في رسالة النص الأصلي أو محتوى النص الأصلي الذي يسبقه. بالنسبة إلى هذا النوع من الشفرات، قد يمثِّل الرمز ذاته في النص المشفر عدة أحرف مختلفة في النص الأصلي، وهو ما لا ينطبق في حال الترميز المتناغم.

نعيد فنؤكد مرة أخرى أن الأمثلة البسيطة التي نضربها لهذه الشفرات لم تعد مستخدمة الآن. ومع ذلك نعرضها في شيء من التفصيل؛ إذ يمكننا من خلال ذلك الإشارةُ إلى بعض أوجه الضعف فيها التي يجب على مصمم الخوارزميات الحديثة أن يتجنبها. مثلما هو الحال في الأمثلة السابقة، نتناول هذه الأمثلة لعرض عدد من أساليب تحليل الشفرات، ونظرًا لأنها تمكننا من وضع تمارين تزيد من معرفتنا فضلًا عن استمتاعنا بها.

(٨) شفرة فيجنر

لعل أفضل الطرق اليدوية المعروفة للشفرات متعددة الأحرف هي «شفرة» فيجنر، التي جاء اسمها من بليز دي فيجنر، وهو دبلوماسي فرنسي عاش في القرن السادس عشر. وعلى الرغم من نشر هذه الشفرة في عام ١٥٨٦، لم يجْرِ الإقرار بها على نطاق واسع إلا بعد مرور مائتي عام؛ وكان كسرها بواسطة باباج وكاسيسكي في منتصف القرن التاسع عشر. من المثير الإشارة إلى أن شفرة فيجنر جرى استخدامها من قِبَل جيش الكونفدرالية في الحرب الأهلية الأمريكية. وقد وقعت الحرب الأهلية بعد كسر شفرة فيجنر، وهو ما تشير إليه مقولة الجنرال يوليسيس إس جرانت: «ربما يستغرق فك شفرة المراسلات التي يجرى اعتراضها وقتًا أكثر من اللازم بحيث لا نحصل على أي فائدة منها، لكننا نحصل منها في بعض الأحيان على معلومات مفيدة.»

مربع فيجنر.

نستخدم المربع الآن في تشفير الرسالة كما يلي:

استخدام مربع فيجنر لتشفير الحرف P عن طريق الحرف المفتاحي f.

وهو ما يعني أننا صار لدينا ما يلي:

هناك تنويعات كثيرة لشفرة فيجنر، بما في ذلك شفرة يُسمح فيها بتكرار الأحرف في الكلمة المفتاحية. ويكون لكل نوع خصائص يختلف كلٌّ منها عن الآخر قليلًا؛ وهو ما يؤدي إلى اختلاف نوع الهجمات التي يتعرض لها. ومع ذلك نركِّز اهتمامنا على نظام الشفرة الذي حددناه هنا.

تعتبر شفرة فيجنر مثالًا خاصًّا على الشفرة متعددة الأحرف يجري فيه استخدام متسلسلة (قصيرة) من شفرات الاستبدال البسيط بنظام تكراري دقيق. ويُطلق على عدد مكونات الشفرة المستخدمة في شفرة فيجنر «دورة»، ومن الواضح أن الدورة في نسخة شفرة فيجنر التي عرضناها تعادل طول كلمة المفتاح.

مدرج تكراري لنص مشفَّر عند استخدام ثلاث شفرات استبدال بسيط بتكرار دقيق.

بوجه عام، نتوقع أن يعكس انبساط المدرج التكراري طول الدورة، وأن زيادة طول الدورة تجعل فك الشفرة مسألة أصعب. يعتبر ذلك صحيحًا إلى حدٍّ ما. ومع ذلك يتمثَّل جُلُّ ما يحققه استخدام الشفرات متعددةِ الأحرف الدورية عمليًّا في ضمان زيادة حجم النص المشفَّر الذي يحتاجه محلل الشفرات للبدء في عملية اعتراض فعَّالة. لبيان ذلك، نركِّز على شفرة فيجنر. تعتبر بعض افتراضاتنا صحيحة فيما يتعلق بأيٍّ مِن الشفرات متعددة الأحرف، لكن بعض الافتراضات الأخرى تعتمد على الخصائص المتوفرة في تعريف شفرة فيجنر. من الأهمية بمكان أن يميز القارئ بين الحالتين. من هنا، قد يؤدي تغيير الشفرة متعددة الأحرف إلى تغيير تفاصيل عملية الاعتراض و«تقوية» النظام قليلًا. ومع ذلك تعتبر جميع الشفرات متعددة الأحرف، التي يكون المفتاح فيها أقصر من الرسالة، معرضة لبعض أنماط الاعتراض التي نعرضها هنا.

(٩) التشفير التبادلي

في جميع الأمثلة التي ذكرناها حتى الآن، جرى الاستعاضة عن أحرف، أو مجموعات من الأحرف في رسالة، بأحرف أو مجموعات من أحرف أخرى. من هنا، تقع جميع هذه الأمثلة تحت عنوان عام لشفرات الاستبدال. لكن توجد عائلات أخرى من أنظمة التشفير التي تقوم على فكرة تبديل ترتيب كتابة الأحرف، وهو ما يُعرف باسم «التشفير التبادلي». نضرب مثلًا بسيطًا على ذلك هنا.

نقرأ الآن كل عمود على التوالي لنحصل على النص المشفَّر التالي:

يسهُل الآن التحقق من أن قراءة كل عمود على التوالي سيفصح عن نص الرسالة الأصلية.

يسهُل كسر نوع الشفرات التبادلية المذكورة هنا. وبما أن المفتاح هو رقم يقسم طول النص المشفَّر، سوف يضطر الطرف المعترض إلى حساب طول النص المشفَّر وتجريب كل رقم يقبل القسمة عليه على التوالي.

(١٠) التشفير المعقَّد

إلى الآن في هذا الفصل، قدمنا عددًا من نماذج التشفير البسيطة يسهُل كسر شفرة معظمها. نعرض الآن لمفهوم يمكن استخدامه للمزج بين نوع أو اثنين من أنظمة التشفير الضعيفة نسبيًّا للحصول على نظام تشفير أقوى كثيرًا من أيهما، وهو ما يُعرف باسم «التشفير المعقَّد». يعتمد التشفير المعقَّد على فكرة بسيطة للغاية. هبْ أننا نريد أن نجري عملية تشفير معقدة باستخدام نظام الاستبدال البسيط ونظام التشفير التبادلي؛ سنشفِّر أولًا الرسالة باستخدام شفرة الاستبدال البسيط، ثم نشفِّر النص المشفَّر الناتج باستخدام التشفير التبادلي. سنطرح من خلال مثال بسيطٍ طريقةَ إجراء هذه العملية.

يعتبر التشفير المعقد أسلوبًا في غاية الأهمية؛ إذ يمكن النظر إلى كثير من خوارزميات التشفير القوية الحديثة كنتاج لنظام التشفير المعقد باستخدام عدد من الخوارزميات الضعيفة نسبيًّا.

(١١) بعض النتائج

يبدو جليًّا من الأمثلة العديدة التي جرى تناولها في الأجزاء الأخيرة وجود العديد من العوامل التي تؤثر على فرص الطرف المعترض للرسائل في كسر شفرة نظام التشفير. رأينا أيضًا أنه على الرغم من أن أهم معلومة يريدها الطرف المعترض هي مفتاح فك التشفير، قد لا يحتاج الطرف المعترض إلى اكتشاف المفتاح بالكامل في حال إذا كانت لغة الشفرة تتسم ببناء محكم. في واقع الأمر، تشير الأمثلة الأولى التي عرضناها إلى أهمية عامل البناء اللغوي عند تقييم مدى نجاح الطرف المعترض في فك الشفرة. على سبيل المثال، إن إخفاء بيانات عشوائية أسهل بكثير مقارنة بتشفير نص إنجليزي بنجاح. بالنسبة إلى رسالة واحدة قصيرة، لنقل من ثلاثة أو أربعة أحرف، يوجد عدد كبير من خوارزميات التشفير الضعيفة التي تكفي على الأرجح لإخفاء محتوى الرسالة.

(١٢) ملحق