الفصل الرابع

تتبع ضوء الشمس

بسبب دوران الأرض حول نفسها وحركتها المدارية حول الشمس، يتغيَّر الموقع الظاهري للشمس في السماء عبر الوقت. وللاستغلال الكفء للطاقة الشمسية، يجب أن نفهم الحركة الظاهرية للشمس. ويمكن أن تكون النظرية المفصلة للمجموعة الشمسية في الفلك والبيانات الموجودة في «التقويم الفلكي» معقدة بشدة. في هذا الفصل، سنقدم نموذجًا بسيطًا ينتج صيغًا يسهل برمجتها على كمبيوتر مصغر ودقيقة على نحو كافٍ فيما يتعلَّق باستخدام الطاقة الشمسية. وقد اشتُقت صيغ تحليلية وعُرضت هنا.

(١) دوران الأرض: دائرة العرض وخط الطول

يعرض الشكل ٤-١ الحركة الظاهرية للنجوم في السماء بالليل. وترجع هذه الحركة لدوران الأرض حول محورها. وبالنسبة للتطبيقات الخاصة بالطاقة الشمسية، يمكن أن نعتبر الأرض كرة تامة تدور بسرعة متجهة زاوية ثابتة حول محور ثابت. ومحور دوران الأرض يتقاطع مع سطحها عند نقطتين: «القطب الشمالي» و«القطب الجنوبي». والدائرة العظمى العمودية على المحور هي «خط الاستواء». ويمكن تحديد أي موقع على الأرض باستخدام إحداثيين، هما دائرة العرض وخط الطول ، كما يظهر في الخريطة أو نظام تحديد المواقع العالمي (جي بي إس). يحدد خط الطول «خط زوال» (وهو نصف دائرة عظمى تمر عبر القطبين والموقع). وفي حين أن دائرة العرض تُحدَّد على نحو فريد من خلال القطبين وخط الاستواء، فإن خط الطول يتطلب نقطة أصل كنقطة الصفر، ألا وهو «خط الزوال الرئيسي». اختير خط الزوال الرئيسي من قبل مؤتمر خط الزوال الرئيسي الدولي الذي عُقد في أكتوبر من عام 1884 في واشنطن ليكون خط الزوال المار عبر نقطة مميزة في مرصد جرينتش الملكي بالقرب من لندن؛ ولذا عادةً ما يُطلق عليه «خط زوال جرينتش». يعرض الشكل ٤-٢ لتعريف خط الطول ودائرة العرض.
fig52
شكل ٤-١: سماء الليل. بتوجيه كاميرا تجاه السماء في الليل والتعريض لبعض الوقت، يبدو أن النجوم تدور حول القطب الشمالي السماوي. هذه الصورة التقطها روبرت كناب، بورتلاند، أوريجون، ومعروضة بإذن منه. انظر موقع www.modernartphotograph.com.
fig53
شكل ٤-٢: دائرة العرض وخط الطول: تعني نقطة صفر خط الطول، خط الزوال الرئيسي، خط الزوال المار عبر مرصد جرينتش الملكي. ويوجد شرق خط الزوال هذا، نصف الكرة الأرضية الشرقي، وفي غربه نصف الكرة الأرضية الغربي. وبالمثل، شمال خط الاستواء هو نصف الكرة الأرضية الشمالي، وجنوبه نصف الكرة الأرضية الجنوبي. ويُحدَّد موقع الراصد بدائرة عرضه وخط طوله ، كما يظهر في الخريطة، ويمكن تحديده باستخدام نظام تحديد المواقع العالمي. يكون خط الطول إذا كان في الشرق موجبًا وإذا كان في الغرب سالبًا، وتكون دائرة العرض موجبة إذا كانت في الشمال وسالبة إذا كانت في الجنوب. على سبيل المثال، دائرة عرض مدينة نيويورك هي شمالًا، أو +0.712 rad، وخط طولها غربًا أو −1.29 rad.

(٢) الكرة السماوية

من وجهة نظر أي راصد على الأرض توجد الشمس، وكذلك أي نجم، على كرة ذات نصف قطر كبير لكن غير محدد. والكرة المتخيلة هي «الكرة أو القبة السماوية». ويشيع استخدام نظامَيْ إحداثيات لوصف موقع أي جرم فلكي على الكرة السماوية، وهما «النظام الأفقي» و«النظام الاستوائي».

يشير امتداد مركز الأرض وراصد في السماء إلى «نقطة السمت» (انظر الشكل ٤-٢)، ويُسمى المستوى المتعامد على هذا الخط أو الدائرة العظمى المقابلة «الأفق». ويقسم الأفق الكرة إلى نصفين كرويين. يكون نصف الكرة العلوي مرئيًّا للراصد، أما نصف الكرة السفلي، فمختفٍ تحت الأفق. والمسافة الزاوية لأي جرم سماوي فوق الأفق هي «ارتفاعه» . وفي أدبيات الفلك، يُستخدم أيضًا مصطلح «العلو». من الواضح أن ارتفاع القطب الشمالي يساوي دائرة العرض الجغرافية للراصد، .
fig54
شكل ٤-٣: الكرة السماوية والتحويل الإحداثي. يحدِّد النظام الأفقي موقع أي جرم سماوي كما يُرصَد على نحو مباشر من جانب الراصد. والمسافة الزاوية لأي جرم سماوي للأفق هي «ارتفاعه» ، الذي يُطلق عليه أيضًا «العلو». والإحداثي الآخر هو «السمت». ونقطة الصفر للسمت هي النقطة الجنوبية للأفق. في النظام الإحداثي الاستوائي، القطب الشمالي هو النقطة المرجعية. فخط الاستواء السماوي هو المستوى الأساسي. والمسافة بين أي جرم سماوي وخط الاستواء هي «ميله»، . والإحداثي الآخر هو الزاوية الساعية . وتُعرَف نقطة صفر تلك الزاوية باسم خط الزوال؛ يمر نصف الدائرة العظمى عبر القطب السماوي الشمالي ونقطة السمت. ولتحويل الإحداثيات من النظام الأفقي للنظام الاستوائي والعكس، تُطبَّق متطابقات حساب المثلثات الكروية على مثلث كروي مكون من الرءوس (نقطة السمت) و (القطب السماوي الشمالي) والجرم السماوي .
من أجل التحديد الكامل لموقع جرم سماوي ، نحتاج لنقطة مرجعية أخرى. تُسمى الدائرة الكبيرة التي تربط نقطة السمت والقطب الشمالي «خط الزوال». وهو يتقاطع مع الأفق في النقطة ، التي تُسمى «النقطة الجنوبية للأفق». ولتحديد موقع جرم سماوي فيما يتعلَّق بالنقطة الجنوبية، نرسم دائرة كبيرة عبر نقطة السمت والنجم تتقاطع مع الأفق في النقطة . وتُعرف الزاوية باسم «السمت» أو الاتجاه الأفقي للجرم السماوي. وفيما يتعلَّق باستخدام الطاقة الشمسية، نعتبر أن تعريف السمت يكون في اتجاه الغرب؛ من ثَم فإن سمت الشمس دائمًا ما يزيد عبر الوقت.

ويحدِّد النظام الأفقي موقع أي جرم سماوي كما يُرصَد على نحو مباشر من جانب الراصد، لكن لأن الأرض مستديرةٌ وتدور حول محورها، فإن تلك الإحداثيات تعتمد على موقع الراصد وتختلف عبر الوقت. وفي «النظام الإحداثي الاستوائي» على الجانب الآخر، فإن موقع الشمس لا يعتمد نسبيًّا على موقع الراصد. ويمكن الحصول على إحداثيات الشمس في النظام الاستوائي من خلال تحويل إحداثي لإحداثياتها في النظام الأفقي.

في النظام الاستوائي، المقابل الإحداثي لدائرة عرض الأرض هو «الميل»، ، والمقابل الإحداثي لخط طول الأرض بالنسبة لراصد ثابت هو «الزاوية الساعية»، ؛ انظر الشكل ٤-٣.

كما هو موضح، الميل هو المسافة الزاوية بين الجرم السماوي وخط الاستواء السماوي. وهو موجب النسبة للنجوم الموجودة شمال خط الاستواء السماوي وسالب لتلك الموجودة جنوبه.

كما ذكرنا من قبل، إن الدائرة العظمى التي تربط نقطة السمت والقطب السماوي هي «خط الزوال»، الذي يُعد النقطة المرجعية المكافئة لخط زوال جرينتش في الجغرافيا، والذي يتقاطع مع خط الاستواء في النقطة . وتُسمى الدائرة العظمى الرابطة بين القطب السماوي والنجم «الدائرة الساعية» التي تتقاطع مع خط الاستواء عند النقطة . والزاوية هي «الزاوية الساعية» ، المكافئة لخط الطول على الأرض. والقاعدة تقول إن الزاوية الساعية تكون موجبة إذا كان الجرم السماوي يقع غرب خط الزوال. وهذا طبيعي وملائم لموقع الشمس؛ حيث إن زاويته الساعية تحدد «التوقيت الشمسي».
هناك إحداثي آخر شائع الاستخدام في الفلك بدلًا من الزاوية الساعية وهو «المطلع المستقيم» ، الذي يعتبر «الاعتدال الربيعي» النقطة المرجعية. وسنعرض لهذا الإحداثي في القسم اللاحق.
جدول ٤-١: الكميات والرموز المستخدمة في علم الفلك الموضعي.
الكمية الرمز التعريف
دائرة العرض إحداثي جغرافي
خط الطول إحداثي جغرافي
الارتفاع يُعرف أيضًا بالعلو
السمت الاتجاه الأفقي
الميل المسافة الزاوية لخط الاستواء
الزاوية الساعية بالراديان، باتجاه الغرب
الزاوية الساعية عند غروب الشمس بالراديان، موجبة دائمًا
الزاوية الساعية الشرقية-الغربية بالراديان، موجبة دائمًا
المطلع المستقيم الإحداثي السماوي المطلق
خط الطول البروجي المتوسط على المستوى البروجي
خط الطول البروجي الحقيقي على المستوى البروجي
الانحراف المداري حاليًّا يساوي تقريبًا 0.0167
الميلان البروجي حاليًّا يساوي تقريبًا 23.44 درجة

(٢-١) التحويل الإحداثي: الإحداثيات الكارتيزية

الطريقة القياسية للتحويل الإحداثي في علم الفلك الموضعي هي استخدام «حساب المثلثات الكروية»، الذي يوجد ملخص موجز له في الإحداثيات الكارتيزية ثنائية الأبعاد والإحداثيات القطبية الكروية. ويُعد التعامل مع مسألة ثنائية الأبعاد باستخدام طرق ثلاثية الأبعاد؛ أمرًا زائدًا عن الحاجة هنا، لكن لأن معظم الفيزيائيين والمهندسين معتادون على استخدام مثل هذا الأسلوب، فربما يكون أسهل في فهمه.

تظهر الإحداثيات الكارتيزية للنظام الأفقي في الشكل ٤-٤(أ). ولأن كل الأجرام السماوية تتحرك من الشرق للغرب؛ فإن يمثل الجنوب و الغرب و نقطة السمت. ويتحدَّد أي متجه وحدة يشير لجرم سماوي بزاويتين. الزاوية القطبية هي الارتفاع ، وزاوية السمت تعتبر الجنوب نقطة الصفر الخاص بها. وكما هو موضح في الشكل ٤-٤(أ)، وباستخدام متجهات الوحدة الثلاث و و للإشارة إلى و و على التوالي، فإن أي متجه وحدة يشير للشمس يكون كما يلي:
(4-1)
fig55
شكل ٤-٤: التحويل الإحداثي بالإحداثيات الكارتيزية. (أ) تستخدم الإحداثيات الكارتيزية للنظام الأفقي للجنوب و للغرب و لنقطة السمت. ويتحدَّد موقع أي جرم سماوي من خلال زاويتين: الارتفاع وزاوية السمت . (ب) الإحداثيات الكارتيزية للنظام الاستوائي تستخدم المحور للإشارة للقطب الشمالي، ويتماثل المحور الخاص بالمحور الشرقي الغربي مع ذلك الخاص بالنظام الأفقي. ويكون المحور عموديًّا على الاثنين. ويتحدَّد موقع أي جرم سماوي من خلال الميل والزاوية الساعية .
تظهر الإحداثيات الكارتيزية للنظام الاستوائي وعلاقته بالنظام الأفقي في الشكل ٤-٤(b). المحور مطابق لمقابله في النظام الأفقي. ويشير المحور للقطب الشمالي، في حين أن المحور عمودي على الاثنين. إن متجهات الوحدة في النظام الاستوائي التي تشير للمحاور و و هي على التوالي و و . وباستخدام الميل والزاوية الساعية المعرفان في الشكل ٤-٣، يكون أي متجه وحدة S يشير للشمس باستخدام و و هو:
(4-2)
من الشكل ٤-٤(ب)، تكون التحويلات بين مجموعَتَيْ متجهات الوحدة و و ، و و و هي:
(4-3)

و

(4-4)
بحيث يكون هو دائرة العرض (الجغرافية) للراصد؛ ارجع إلى الشكلين ٤-٢ و٤-٤. وباستخدام المعادلتين 4-1 و4-2، نحصل على:
(4-5)

و

(4-6)
وبمقارنة المعادلتين 4-5 و4-6 بالمعادلتين 4-1 و4-2، نحصل على صيغ التحويل لمجموعتي الزوايا:
(4-7)
(4-8)
(4-9)

و

(4-10)
(4-11)
(4-12)

(٢-٢) التحويل الإحداثي: حساب المثلثات الكروية

يمكن الحصول بسهولة على صيغ التحويل الإحداثي باستخدام معادلات في حساب المثلثات الكروية؛ انظر الشكل ٤-٣. ويجب أن نركز انتباهنا على المثلث الكروي بالأقواس الثلاثة تساوي و تساوي وx تساوي . كما هو واضح من الشكل ٤-٣، العلاقات بين عناصر المثلث الكروي والكميات محل الاهتمام هي:
(4-13)
أولًا، دعنا نتأمَّل حالة وجود ميل وزاوية ساعية محددين في النظام الاستوائي لتحديد الارتفاع والسمت في النظام الأفقي. من الواضح أن دائرة عرض موقع الراصد معامل ضروري. وباستخدام معادلة جيب التمام:
(4-14)
مع المعادلة 4-13، نحصل على:
(4-15)

ثم باستخدام صيغة الجيب:

(4-16)

نجد أن:

(4-17)

وأخيرًا، بتطبيق المعادلة ﺟ من الملحق ب:

(4-18)
وباستخدام المعادلة 4-13، نجد:
(4-19)
إن المعادلات 4-15 و4-18 و4-19 مطابقة للمعادلات 4-7 و4-8 و4-9.
والآن، دعنا نتأمَّل حالة وجود ارتفاع وسمت محددين في النظام الأفقي لتحديد الميل والزاوية الساعية في النظام الاستوائي. مرة أخرى، من الواضح أن دائرة عرض موقع الراصد معامل ضروري.

وباستخدام صيغة جيب التمام:

(4-20)

نحصل على:

(4-21)
وبإعادة ترتيب المعادلة 4-18، نجد:
(4-22)
وبنحو مشابه لاشتقاق المعادلة 4-19، باستخدام المعادلة ﺟ:
(4-23)

نحصل على:

(4-24)
هذه المعادلات مطابقة للمعادلات من 4-10 إلى 4-12.

(٣) التوقيت الشمسي

منذ حقبة ما قبل التاريخ، تمحورت الأنشطة البشرية حول الحركة الظاهرية للشمس عبر السماء. والتوقيت الشمسي ، الذي يعتمد على الزاوية الساعية للشمس، مقياس بديهي للوقت واستُخدم لآلاف السنين في كل ثقافات العالم. وكما سنناقش في الفصل الرابع – قسم (٤)، ولأن الحركة الظاهرية للشمس غير منتظمة وتعتمد على الموقع، فإن هذا التوقيت ليس مقياسًا دقيقًا للزمن، ويمكن أن يبلغ الفرق بين التوقيت الشمسي والتوقيت القياسي المستخدم في حياتنا اليومية، حتى في ظل التقريب الجيد، أكثر من 15 دقيقة، سواء بالزيادة أو النقصان.
لعمل تقدير للإشعاع الشمسي، أحيانًا الدقة العالية لا تكون مطلوبة؛ لذا يُستخدم التوقيت الشمسي البسيط والبديهي على نحو واسع في أدبيات الطاقة الشمسية. على سبيل المثال، لحساب القيم المتكاملة لمعدل التشميس الإجمالي عبر يوم أو سنة، يكون تغيير الوقت غير ذي صلة. وتصبح المفاهيم بسيطة. على سبيل المثال، ففي وقت الظهر الشمسي، عندما تتجاوز الشمس خط الزوال، يكون التوقيت الشمسي صفرًا. ووقت شروق الشمس، الذي يكون سالبًا دائمًا، يساوي وقت غروب الشمس في المقدار. في تلك الحالة، تكون الزاوية الساعية للشمس مقياسًا للوقت. بعبارة أخرى، إذا كان هو التوقيت الشمسي على مقياس زمني قدره 24 ساعة، فإن الزاوية الساعية للشمس بالراديان هي:
(4-25)

و

(4-26)

(٣-١) الميلان البروجي والميل الخاص بالشمس

المستوى المداري للأرض حول الشمس، «البروج»، يكون بزاوية تسمى «الميلان البروجي أو المحوري» من خط الاستواء. ومن منظور راصد على الأرض، تتحرك الشمس في «المستوى البروجي»؛ انظر الشكل ٤-٥. على مقياس زمني قدره قرون، تختلف زاوية الميلان البروجي عبر الوقت. حاليًّا، تساوي 23.44 درجة. وهذا هو الذي يسبِّب تغيُّر الفصول.
fig56
شكل ٤-٥: الميلان البروجي والفصول. المحور الدوراني والمستوى المداري للأرض لهما زاوية ميلان ، الميلان البروجي، تُعد السبب في تكون الفصول. وهي تتسبب في وجود فرق منتظم بين التوقيت الشمسي والتوقيت المدني.
وفيما يتعلَّق بحركة الشمس عبر سنة شمسية، هناك أربع نقاط رئيسية: ففي «الاعتدال الربيعي»، يتقاطع مسار الشمس مع خط الاستواء السماوي، مع الاتجاه شمالًا. وفي «الانقلاب الصيفي»، يصل مسار الشمس إلى أقصى نقطة شمالية له، وهي نحو 23.44 درجة فوق خط الاستواء السماوي، مع الاتجاه جنوبًا. وفي «الانقلاب الشتوي»، يصل مسار الشمس إلى أدنى نقطة له، وهي نحو 23.44 درجة تحت خط الاستواء السماوي. وتختلف تواريخ وأوقات تلك النقاط الرئيسية الأربعة عامًا بعد عام.
وإلى جانب مفهوم التوقيت الشمسي، يمكن وصف حركة الشمس حول مدارها من خلال «خط الطول المتوسط» . وفي الاعتدال الربيعي، إن يساوي صفرًا. وفي الانقلاب الصيفي، يساوي ، أو 90 درجة، وفي الاعتدال الخريفي، يساوي ، أو 180 درجة، وفي الانقلاب الشتوي، يساوي ، أو 270 درجة.
سنعرض لصيغة دقيقة لميل الشمس في الفصل الرابع – قسم (٤-٧). هنا، نقدم تقريبًا بسيطًا بافتراض أن الميل يختلف بنحو جيبي مع خط الطول المتوسط ؛ ومن ثَم يكون خطيًّا طبقًا لرقم اليوم في العام، ويمكن أن يكون الخطأ كبيرًا مثل 1.60 درجة، لكنه يكون مقبولًا في العديد من التطبيقات:
(4-27)
بحيث تكون هو الميلان البروجي؛ وتساوي حاليًّا 23.44 درجة؛ و رقم اليوم مع بدء العد من الأول من يناير، الذي يمكن حسابه باستخدام الصيغة: