الفصل الثامن

الحركة الدورانية، وكمية التحرك الزاوية وديناميكا الأجسام الجاسئة

تذكر أن الإطار القصوري (المرجعي) هو مجموعة من المحاور بحيث إذا قِست المواضع والسرعات بالنسبة إلى تلك المحاور، يكون قانون نيوتن الأول صحيحًا؛ أي إن الجُسيم الذي لا يتعرض لأي قوة سوف يتحرك بسرعة ثابتة. وبالأخص، لا بد أن لا تكون محاور الإطار القصوري دوارة بالنسبة إلى خلفية النجوم البعيدة. بالنسبة إلى حركة نقطة أصل إطار قصوري، هناك بعض الاعتباطية بسبب عدم الدقة في مفهوم «لا توجد قوة». سوف نفترض هنا أننا نفهم معنى «إطار قصوري» بقدر يكفي لحل مسائل أولية.

اعتبر جُسيمًا كتلته ومتجه موضعه بالنسبة إلى نقطة الأصل O لإطار قصوري هو وسرعته وعجلته هما و . بأخذ حاصل الضرب المتجهي لطرفي معادلة الحركة مع نحصل على:
(8-1)
حيث القوة الكلية المؤثرة على الجُسيم. الطرف الأيسر للمعادلة (8-1) هو، بالطبع، العزم (حول نقطة الأصل O) المؤثر على الجُسيم. نُعرِّف أيضًا كمية التحرك الزاوية للجُسيم حول نقطة الأصل O بالمعادلة:
(8-2)
وباستخدام قاعدة تفاضل الضرب المتجهي (انظر الملحق (أ)) نجد أن:
(8-3)
وبما أن ، نستطيع دمج المعادلتين (8-1) و(8-3) للحصول على:
(8-4)
بالكلمات: العزم يساوي معدل تغير كمية التحرك الزاوية (مثل جملة أن القوة تساوي معدل تغير كمية التحرك الخطية).

(١) كمية التحرك الزاوية والقوة المركزية

المعادلة (8-4) لها نتائج مهمة عند تطبيقها على مسألة القوة المركزية؛ أي الجُسيم المتحرك بتأثير قوة متجهة دائمًا لنقطة ثابتة. إذا أخذنا نقطة الأصل O عند هذه النقطة الثابتة، فإن العزم يتلاشى؛ لأن و متوازيان في نفس الاتجاه (أو متوازيان بعكس الاتجاه)؛ وبالتالي فإن ، وتكون كمية التحرك الزاوية ثابتة. ثبوت يقتضي ضمنًا أنْ:
  • (أ)

    تقع حركة الجُسيم في مستوى ثابت، يسمى المستوى المحتوي على مركز القوة، والموضع الابتدائي للجُسيم، ومتجه السرعة الابتدائي للجُسيم.

  • (ب)

    يمسح المتجه الواصل من مركز القوة إلى الجُسيم مساحات بمعدل ثابت (هذا هو قانون كبلر الثاني، وهو خاصية لجميع القوى المركزية، وليس فقط لقانون التربيع العكسي)؛ وهذا مع حركة الجُسيم في هذا المستوى.

لإثبات (أ)، نمرر مستوى خلال مركز القوة O عموديًّا على المتجه الثابت . تقتضي المعادلة (8-2) ضمنًا أن يكون عموديًّا على ؛ وبالتالي فإن يقع في المستوى. لكن بما أن (حيث و هما متجهَا الموضع والسرعة الابتدائيان)، فإن المستوى العمودي على يكون هو المستوى الذي يحتوي على و .
fig127
شكل ٨-١: اتجاه .
في إثبات (أ)، استخدمنا فقط حقيقة ثبوت اتجاه . مقدار ثابت أيضًا. باستخدام تعريف الضرب المتجهي، نجد أن مقدار هو:
(8-5)
حيث الزاوية بين و ، و السرعة المماسية (أي مركبة السرعة العمودية على ). المساحة المظللة في شكل ٨-٢ هي المساحة التي يمسحها المتجه في الفترة الزمنية الصغيرة . تكون المساحة خلال قيم الدرجة الأولى في هي ؛ وبالتالي فإن المعدل الذي تُمسح به المساحة هو . ولأن ثابتة، فإن ثابتة.
fig128
شكل ٨-٢: مساحة ممسوحة بواسطة المتجه النصف قطري.
fig129
شكل ٨-٣: جُسيم يتحرك على منضدة أفقية في مسار دائري مُحافظ عليه بواسطة شد في الوتر المربوط في الجُسيم في مثال ٨-١.
مثال ٨-١ (جسيم يتحرك على مستوى أفقي في مسار دائري). جُسيم كتلته يتحرك على سطح منضدة أفقية ملساء، مقيد بوتر يمر خلال ثقب في المنضدة (شكل ٨-٣). في البداية يتحرك الجُسيم بسرعة مقدارها في دائرة نصف قطرها . يُسحب الوتر ببطء حتى يتحرك الجُسيم في دائرة أصغر نصف قطرها . احسب:
  • (أ)
    مقدار سرعة الجُسيم الجديدة .
  • (ب)
    النسبة (حيث و هما الشدان الابتدائي والنهائي في الوتر).
  • (جـ)

    الشغل المبذول على الجُسيم بواسطة الوتر.

الحل. القوة التي يؤثر بها الوتر على الجُسيم موجهة دائمًا نحو الثقب؛ وبالتالي تكون كمية التحرك الزاوية محفوظة؛ أي إن، ؛ وبالتالي فإن . وبما أن فيكون لدينا:
(8-6)
أسهل طريقة لحساب الشغل المبذول بواسطة الوتر هي باستخدام نظرية الشغل والطاقة؛ أي إن:
(8-7)
من المفيد أيضًا تعليميًّا حساب الشغل مباشرة من تعريف (لاحظ أن الشد في الوتر يتغير مع سحب الوتر لذلك لا نستطيع التعامل مع القوة على أنها ثابت). في اللحظة التي يكون عندها طول الوتر (من الثقب إلى الجُسيم) ، يكون الشد (من المعادلة (8-6)) ، والقوة المؤثرة على الجُسيم ؛ حيث متجه وحدة يشير في الاتجاه الخارج من نقطة المركز. عند تغيير طول الوتر من إلى (لاحظ أن سالبة عند تقصير الوتر)، تكون إزاحة الجسم هي مجموع عليها مركبة مماسية لا تساهم في الشغل؛ وبذلك يكون:
(8-8)
وذلك بالاتفاق مع المعادلة (8-7).بالإضافة إلى ذلك، إذا طبقنا نظرية الشغل والطاقة على العملية المتناهية الصغر التي يتغير فيها طول الوتر من إلى ويتغير مقدار سرعة الجُسيم من إلى ، نجد أن مما يؤدي إلى ؛ وبذلك يكون مما يقتضي ضمنًا أن يكون ؛ أي إن = ثابت، وهو نص حفظ كمية التحرك الزاوية. الميكانيكا بنية منطقية أنيقة ومتناسقة.

(٢) أنظمة لأكثر من جُسيم واحد

نتجه باهتمامنا الآن إلى الأنظمة المتكونة من أكثر من جُسيم (الدليل يدل على رقم الجُسيم). كل جُسيم يخضع للمعادلة (8-4)؛ أي إن:
(8-9)
إذا جمعنا معادلات العزم (8-9) لجميع الجُسيمات في النظام، فإن العزوم التي تعزى إلى قوى داخلية تلاشى بعضها لأسباب نوقشت في الفصل السابع. وبتعريف كمية التحرك الزاوية الكلية بأنها مجموع كميات التحرك الزاوية للجُسيمات المفردة:
(8-10)
نحصل على:
(8-11)
حيث هو العزم الخارجي الكلي المؤثر على النظام.
افترضنا في اشتقاق المعادلة (8-11) أن و هما موضع وسرعة الجُسيم رقم في إطار قصوري. في الحقيقة، المعادلة (8-11) صحيحة أيضًا إذا استخدمنا محاور غير دوَّارة (بالنسبة إلى النجوم البعيدة) ونقطة الأصل لها هي مركز كتلة النظام، (البرهان معطى في ملحق (أ).) مثل هذه المحاور لا تكون إطارًا قصوريًّا إذا كان مركز الكتلة متسارعًا (متحركًا بعجلة)، ولكنها عادة ما تكون أنسب المحاور.
معادلة القوة (4-20) [ ] ومعادلة العزم (8-11) تحدِّدان الحركة تمامًا إذا كان النظام جسمًا جاسئًا، وهدفنا هنا هو تطوير أساليب لحل المسائل البسيطة، محافظين على أن تكون الرياضيات أبسط ما يمكن؛ لهذا سوف نقصر اهتمامنا أساسًا على الجسم الجاسئ «ذي البُعدين» الذي يتحرك دائمًا في مستوى الصفحة، ويمكن إهمال سمْكه في الاتجاه العمودي على هذه الصفحة. يمكن تطبيق التحليل أيضًا على الأجسام الجاسئة التي لا يمكن إهمال سمكها، بشرط أن تكون جميع حركات الجسم موازيةً لمستوًى ثابت، وأن يمتلك الجسم تماثلًا كافيًا. (المناقشة الكاملة لهذه النقطة سوف تأخذنا بعيدًا جدًّا عن المجال. انظر ملحق (ب).)
fig130
شكل ٨-٤: جسم ذو بُعدين يُدار بزاوية.
إذا رسمنا خطًّا على جسم جاسئ أحادي البعد، فسوف يكون لهذا الخط، عمومًا، موضع واتجاه مختلفان عند زمن مقارنةً بموضعه واتجاهه عند زمن . في شكل (٨-٤) يمثل المنحنيان المتصل والمتقطع شكل الجسم عند الزمنين ، و على التوالي. لِتَكُن الزاوية بين اتجاهَيْ خطَّيِ الزمن الابتدائي (الزمن ) والزمن النهائي (الزمن ) هي ؛ نقيس بالتقدير الدائري ونُسمي موجبةً إذا كان هناك دوران مع عقارب الساعة يحمل الخط من اتجاهه الابتدائي إلى اتجاهه النهائي، ونسميها سالبةً إذا كان الدوران في عكس اتجاه عقارب الساعة. سرعة الجسم الزاوية تعرَّف على الصورة:
(8-12)
قيمة الناتجة لا تعتمد على ما هو الخط الذي رسمناه على الجسم؛ لأن كل الخطوط تدور نفس الزاوية نتيجة لحقيقة أن الجسم جاسئ.
افترض نقطةً ما O للجسم أُبقيَ عليها ثابتة (الطريقة الواضحة لعمل ذلك أن تمرِّر محورًا، عموديًّا على الصفحة، خلال الجسم عند O). نختار لمحاورنا إطارًا قصوريًّا نقطة الأصل له عند O. ما هي كمية التحرك الزاوية للجسم حول نقطة الأصل O؟ كل نقاط الكتلة تتحرك في دوائر حول O (شكل ٨-٥)؛ لأن بُعدها عن O لا يمكن أن يتغير. وهكذا فإن النقطة الكتلية التي يكون بُعدها المتجهي عن O هو يكون مقدار متجه سرعتها هو واتجاهه عموديًّا على . شكل ٨-٥ يوضح حالة موجبة (دوران في اتجاه عقارب الساعة)، إذا كانت سالبةً، فإن تكون في الاتجاه المعاكس. وفي كلتا الحالتين:
(8-13)
حيث متجه وحدة نحو داخل الصفحة.
fig131
شكل ٨-٥: سرعة النقطة الكتلية في جسم جاسئ دوَّار.
كمية التحرك الزاوية للجسم حول نقطة الأصل O هي:
(8-14)
حيث:
(8-15)
وبالنسبة للأجسام ذات الثلاثة أبعاد (تشمل كرة مركزها O) ولها تماثل كافٍ حول O، فإن المعادلتين (8-14) و(8-15) لا تزالان ساريتين بشرط أن يكون هو محور الدوران و(في المعادلة (8-15)) يحل محلها ، المسافة العمودية من محور الدوران حتى .
عادة ما يسمى عزم القصور الذاتي للجسم حول المحور خلال نقطة الأصل O. يسمى أحيانًا «القصور الدوراني» للجسم. وهذا مصطلح ممتاز؛ لأن في الحقيقة هي مقياس لمدى صعوبة تغير السرعة الزاوية لجسم ما مثلما أن مقياس لمدى صعوبة تغير السرعة الخطية.
في مسألة ذات بُعدين يكون العزم عموديًّا على الصفحة [ ] وبهذا تصبح المعادلة (8-11) . بتعريف العجلة الزاوية نحصل على:
(8-16)
fig132
شكل ٨-٦: طوق كتلته ونصف قطره .
المعادلة (8-16) هي «الوصفة العلاجية» التي كنا ننشدها؛ فهي تربط العجلة الزاوية لجسم جاسئ بالعزم المؤثر على الجسم، وهي تناظر بوضوح قانون نيوتن الثاني (بإحلال العزم محل القوة، والعجلة الزاوية محل العجلة الخطية، والقصور الدوراني محل الكتلة).
نحتاج لاستخدام المعادلة (8-16) أن نعرف عزوم القصور الذاتي لبعض الأجسام الجاسئة البسيطة:
  • (أ)
    عزم قصور لطوق (كتلته ونصف قطره ) حول مركزه (شكل ٨-٦). الكتلة كلها في هذه الحالة على نفس المسافة من نقطة الأصل O وبهذا يكون:
    (8-17)
  • (ب)
    عزم قصور قرص منتظم (كتلته ونصف قطره ) حول مركزه. في هذه الحالة تكون عناصر كتلية مختلفة على أبعاد مختلفة من نقطة الأصل. إذا قسمنا الجسم إلى حلقات عديدة (شكل ٨-٧)، فإن مساحة الحلقة المحدودة بدائرتين نصفا قطريهما و هي ، وكتلة هذه الحلقة هي ؛ حيث هي كتلة وحدة المساحات. عزم القصور هو:
    (8-18)
    كتلة القرص هي ، وبهذا يكون . المعادلة (8-18) يكون لها معنى عند مقارنتها بالمعادلة (8-17)؛ لأنه في حالة القرص المنتظم يكون البعد «المتوسط» لعناصر الكتلة عن المركز أقل من .
    fig133
    شكل ٨-٧: قرص مسطح نصف قطره وكتلته .
  • (جـ)
    عزم قصور قضيب منتظم (كتلته وطوله ) حول أحد طرفيه. اعتبر جزءًا صغيرًا من القضيب طوله وكتلته ، (انظر شكل ٨-٨). إذا قيس البعد عن طرف القضيب، نجد أن:
    (8-19)
    بالمثل، عزم قصور القضيب حول نقطة منتصفه هو:
    (8-20)
    fig134
    شكل ٨-٨: قضيب طوله وكتلته .
  • (د)
    عزم قصور طوق أو قرص منتظم حول نقطة على حافة (نحتاج إلى هذا إذا رغبنا في تطبيق المعادلة (8-16) على جسم يتدحرج بدون انزلاق على منحدر باستخدام نقطة التماس كنقطة أصل). في هذه الحالات يصعب إجراء التكامل. ومع ذلك، فإن نظرية بسيطة تمكِّننا من كتابة الإجابة فورًا بدلالة نتيجتيْ (أ) و(ب).

(٣) أمثلة للحركة الدورانية البسيطة

إذا كان هو عزم قصور جسم ذي بُعدين حول نقطة O، وكان عزم قصور نفس الجسم حول مركز كتلته، فإن