الملحقات الرياضية

قسم أول

إذا اعتبرنا الجو الجاذبي خطوط قوة منتشرة من المركز (مركز الشمس مثلًا) إلى جميع الجهات بالتساوي، فبالطبع يكون هذا الجو الجاذبي كثيفًا قرب المركز، ولطيفًا كلما بعُد عن المركز (كما ترى في الشكل الثاني)، أي كلما كان أقرب إلى المركز كان أقوى، وكلما كان أبعد كان أضعف، فالسيَّار الذي يدور حول الشمس في فَلَك مقرَّر إنما هو سابح في سطح كرة وهمية من هذا الجو على بُعْد واحد من المركز تقريبًا، وهو تحت سلطة من قوة الجذب في هذا الجو مناسِبة لبُعْده عن المركز، (أي نصف قُطْر تلك الكرة الوهمية التي نحن بصددها)، فأينما كان السيَّار في سطح تلك الكرة الوهمية كان تحت فعل قدر واحد من قوة ذلك الجو الجاذبي.

وكذلك م المشتري يسبح كالأرض حول الشمس في خط غير معوَّج على سطح كروي يبعد عن مركز الشمس بقدر الشعاع ع، (أي الخط م س).

فلنر الآن نسبة جذب الشمس للمشترى إلى جذبها للأرض على اعتبار أن المشتري يبعد عن الشمس خمس مرات كبُعْد الأرض عنها تقريبًا، (وبالتحقيق يبعد ٢، ٥ مرات).

بحيث إن: ج رمز الجاذبية، س كتلة الشمس، ض كتلة الأرض، م كتلة المشتري، ق قوة الجذب، ش مسافة بُعْد الأرض عن الشمس (أي شعاع فلك الأرض)، ع مسافة بُعْد المشتري عن الشمس (أي شعاع فلك المشتري).

ناسب بين المعادلتين: (١) و(٢) أي اقسم الواحدة على الأخرى.

فإذا كان شعاع فلك المشتري (أي مسافة بُعْده عن الشمس) ٥ مرات شعاع فلك الأرض (أي مسافة بُعْد الأرض عن الشمس)، فبحسب المعادلة (٣) لنا.

أي إن جاذبية الشمس للأرض ٢٥ مرة جاذبية الشمس للمشتري.

قسم ثانٍ

بقي علينا أن نبرهن نص نيوتن أي قوة الجاذبية = (شمس × أرض)/(مربع المسافة بينهما).

من قوانين الطبيعيات أن القوة = تساوي كتلة الجسم مضروبة في مسافة الحركة، أي قوة = كتلة × حركة، ومنها الحركة = القوة/الكتلة أو بالرموز ش = ق/ك باعتبار أن ش رمز مسافة الحركة، وق رمز القوة، وك رمز الكتلة.

مثاله: قوة حصان يرفع جسمًا وزنه ٥٠ رطلًا مترًا واحدًا في ثانية، أو جسمًا وزنه ١٠٠ رطل خمسة أمتار بنفس الوقت هكذا:

قوة حصان = ٥٠٠ × ١ = ١٠٠ × ٥ = ٥٠ × ١٠ أو ٥ = قوة حصان/١٠٠.

بناءً على هذا القانون:

مسافة حركة الجاذبية أي مسيرها من المركز إلى المحيط وهو الشعاع ش:

ش = قج/ض أي قوة جذب الشمس للأرض/كتلة الأرض (وزنها).

ومثله شش = قج/ي أي قوة جذب الشمس للمشترى/كتلة المشتري (وزنه).

ض تمثل كتلة الأرض، ي تمثِّل كتلة المشتري، ش تمثل بُعْد الأرض عن الشمس، شش تمثل بُعْد المشتري عن الشمس، قج تمثل قوة الجاذبية.

وبناءً على هذا تكون معادلة الجاذبية السابقة (٣) هكذا:

•••

ولكننا في هذه المعادلة لم نحسب حساب المسافة بين الأرض والمشتري؛ لأن التجاذب ليس بينهما بل حسبناها بين كل منهما والشمس، باعتبار أن الشمس المركز الذي يجذب كلًّا منهما وكل منهما يجذبها.

وكذلك غضضنا النظر عن التجاذب الذي بينهما، واقتصرنا على نسبة كلٍّ منهما إليها، فإذا رُمْنَا أن نحسب حساب هذا التجاذب كانت شم (كتلة الشمس) مركزًا بين جانبي هذه المعادلة، هكذا:

أي إن كتلة الشمس تقوم مقام كلٍّ منهما هكذا:

بناءً عليه إذا ضُرِبَ كلٌّ من طرفي المعادلة (٤) بقيمة ١/شم (أو إذا شئت قج/شم) هكذا:

تصبح كما يجب أن تكون هكذا:

وهي معادلة نيوتن بعينها.

يعني أن قوة الجاذبية تساوي حاصل ضرب كتلتي جِرْمين مقسومًا على مربع البعد بينهما أينما كانا وعلى أي بُعْدٍ كانا (بقطع النظر عن تداخل جِرْم ثالث على مقربة من أحدهما أو من كليهما)، وهذا هو معنى تعميم قانون الجاذبية على جميع الأجرام.

قسم ٣ (امتحان القانون)

لم يدع نيوتن القانون إلا بعد أن امتحنه بتطبيقه، وقانون المسارعة المشروح في الملحق الثاني على التجاذب بين القمر والأرض.

المعلوم أن نصف قطر الأرض ٣٩٥٦ ميلًا، وقد علمنا من الملحق الأول أن الجسم يسقط على سطح الأرض بمعدل متوسط ١٦ قدمًا بالثانية كل ثانية، فعلينا أن نعلم معدل هبوط القمر نحو مركز الأرض وهو يبعد عنه ٢٣٨٨٥٧ ميلًا، والمعلوم أن سرعة القمر في الثانية ٣٣٥٠ قدمًا أو ٣٣٥٠ / ٥٢٨٠ من الميل (الميل = ٥٢٨٠ قدمًا).

إذا قسمنا متوسط هبوط أي جسم على سطح الأرض على معدل هبوط القمر نحو الأرض هكذا ١٦ قدمًا/٠٫٠٠٤٤٥ قدم = ٣٦٣٢ يعني كأن لنا مقدار هبوط الأجسام على الأرض ٣٦٣٢ مرة كمقدار هبوط القمر.

وبعبارة أخرى: كان مقدار جذب الأرض للأجسام التي على سطحها ٣٦٣٢ مرة كمقدار جذبها للقمر، فإذا كان قانون الجاذبية صحيحًا وجب أن يكون مربع مسافة بُعْد القمر عن مركز الأرض إذا قِسْناه بنصف قطر الأرض مساويًا لهذا القدر «٣٦٣٢»، فكم هو بُعْد القمر عن الأرض بمقياس نصف قطرها؟ أي كم في هذه المسافة من أنصاف قطر الأرض؟

اقسم المسافة (بين القمر ومركز الأرض) على نصف قطر الأرض هكذا:

٢٣٨٨٥٧ مسافة بعد القمر عن مركز الأرض/٣٩٥٦ نصف قطر الأرض = ٦٠٫٢٧.

وهذا العدد هو نفس العدد الذي مرَّ بنا سابقًا، أي هو عدد المرات لمقدار جذب الأرض للقمر إذا قيس بجذبها للأجسام على سطحها كما رأيت آنفًا.

إذن فناموس الجاذبية صحيح؛ لأنه مطابق لناموس المسارعة الذي عُرِف بالاختبار، وهو نتيجة الجاذبية.

وكان معلومًا حينئذٍ أن الدرجة من محيط الأرض ٦٠ ميلًا، فعلى هذا الحساب يكون نصف قطر الأرض ٣٤٣٦ ميلًا وهو خلاف الحقيقة، والحقيقة هي أنه ٣٩٥٦، فلما عمل نيوتن حسابه لم تأت النتيجة مطابِقة لقانون المسارعة القمرية، بل جاءت ٠٫٠٤٤ من القيراط بدل ٠٫٠٥٣٤ كما أبنَّا آنفًا، فلم يأخذه الغرور لكي يتسامح بهذا الفرق، واعتبر أن نظريته خطأ، فعَدَل عنها من غير أن يفوه بكلمة عنها.

ويقال إنه لشدة انفعاله لم يتمالك أن يعمل العملية الحسابية بنفسه، فكلَّف صديقًا له أن يُسْرِعَ بعملها، فجاءت النتيجة نجاحًا باهرًا، وثمَّ أذاع نظريته.

استخراج قانون الجاذبية من معادلة كبلر

معلوم أن محيط الدائرة (الفلك) يساوي ٢ ش ب باعتبار أن ب = محيط الدائرة مقسومًا على القُطْر أي ٢٢ / ٧ كما تقدَّم القول سابقًا.

ومعلوم أيضًا أن الوقت ت يساوي المسافة مقسومة على السرعة، فإذن:

ت = ٢ش ب/س للسيار الواحد.

تت = ٢شش ب/سس للسيار الآخر.

ت رمز للوقت الواحد، وتت للوقت الآخر.

وش بُعْد الواحد وشش بُعْد الآخر.

س سرعة الواحد، وسس سرعة الآخر.

فإذا وضعنا القيمتين الآنفتين بدل ت وتت في معادلة كبلر كان لنا.

بالبسط لنا:

وبحسب قانون المسارعة الدوراني الذي شرحناه في الملحق الثاني:

ناسب بين هاتين المعادلتين، أي اقسم الواحدة على الأخرى.

ج ش/قج شش = شش/ش.

وهذه هي معادلة قانون الجاذبية بعينها.

يمكن استخراج معادلة كبلر أيضًا من معادلة قانون الجاذبية، ولا محل هنا لهذا.