الملاحق

الملحق ١: برهان مبرهنة فيثاغورس

نرى في الشكل الموضَّح أعلاه أيضًا، أربعةَ مثلثات متطابقةٍ قائمةِ الزاوية قد جُمِعَت معًا في مربع مائلٍ لبناءِ مربعٍ كبير. ومساحة هذا المربع الكبير هي العاملُ الأساسي في البرهان.

يمكن حسابُ مساحة المربع الكبير بطريقتين:

• الطريقة الأولى: قياس مساحة المربع الكبير بأكمله. طول كلِّ ضلع يساوي . إذن، فمساحة المربع الكبير = .
• الطريقة الثانية: قياس مساحة كلِّ عنصر من عناصر المربع الكبير. مساحة كل مثلث هي، أي ١ / ٢ × القاعدة × الارتفاع. مساحة المربَّع المائلِ هي . إذن:
  فمساحة المربع الكبير تساوي ٤ × (مساحة كل مثلث) + مساحة المربع المائل
  = .

تُقدم الطريقتانِ صيغتَين مختلفتَين. بالرغم من ذلك، فلا بد أنهما متساويتان إذ يُمثلان المساحةَ نفسَها.

إذن:

فالمساحة الناتجة من الطريقة الأولى = المساحةَ الناتجةَ من الطريقة الثانية.

يمكن فكُّ الأقواس وتبسيطها. ومِن ثَمَّ نحصل على:

وهي مبرهنة فيثاغورس!

تستندُ الحجة المنطقية إلى حقيقةِ أنَّ مساحة المربع الكبير لا بد أن تكون هي نفسَها، بصرف النظر عن الطريقة المستخدَمة لحسابها. بعد ذلك، نستخلصُ بطريقةٍ منطقية صيغتَين لحساب المساحة نفسِها، ونعقد بينهما علاقة التساوي، ونحصل في النهاية على النتيجة الحتمية: ، أي إنَّ المربَّعَ الواقع على وترِ الزاوية القائمة يُساوي مجموعَ المربَّعَين الواقعَين على الضِّلعَين الآخَرين .

الملحق ٢: برهان إقليدس لإثبات أنَّ الجذر التربيعى للعدد ٢ عدد غير نسبي

كان هدف إقليدس هو إثباتَ أنَّ لا يمكن كتابته في صورة كسر. ولأنه كان يستخدم البرهان بالتناقض، تمثَّلَت الخطوة الأولى في إثبات أنَّ العكس صحيح، أي إنه يمكن كتابة على صورةِ كسرٍ غيرِ معروف. ويُمثَّل هذا الكسرُ الافتراضيُّ بالصورة ، حيث p وq عددان صحيحان.

كل ما يستلزمه الأمرُ قبل تناول البرهانِ نفسِه، هو الفَهْم الأساسيُّ لبعض خواصِّ الكسور والأعدادِ الزوجية.

والآن، تذكَّر أنَّ إقليدس يعتقد أنه لا يمكنُ كتابة على صورة كسر. غير أنه يتبنَّى طريقةَ البرهان بالتناقض، ويبدأ بافتراض وجود الكسر ، ثم يستكشفُ نتائجَ وجوده:

إذا قمنا بتربيعِ كِلا الطرَفَين، فسنحصل على:

يمكن إعادة ترتيب هذه المعادلة بسهولة لتُصبح:

ونحن نعرف من النقطة (١) أنَّ لا بد أن يكون عددًا زوجيًّا. إضافةً إلى ذلك، نعرف من النقطة (٢) أنَّ p نفسه لا بد أن يكون عددًا زوجيًّا. لكن إذا كان p عددًا زوجيًّا، فيمكن إذن كتابتُه على الصورة m2، حيث m عددٌ آخَرُ صحيح. وينتج هذا من النقطة (١). إذا أدخلنا ذلك مجددًا في المعادلة، فسنحصلُ على:

عند قِسمة كِلا الطرَفَين على ٢، نحصل على:

بالرغم من ذلك، فوَفْقًا للحُجج المنطقية التي استخدمناها سابقًا، نعرف أنَّ لا بد أن يكون زوجيًّا، ومِن ثَم فلا بد أن يكون q زوجيًّا أيضًا. وإذا كان هذا صحيحًا، فسيكون من الممكن إذن كتابةُ q على الصورة n2، حيث n عددٌ آخَرُ صحيح. وإذا عُدنا مرةً أخرى إلى البداية، فسنجد أنَّ:

يُمكن تبسيطُ من خلال قسمة البسط والمقام على ٢، وسنحصل على:

والآن، صار لدينا الكسرُ وهو أبسطُ من .

بالرغم من ذلك، فنحن نجد أنفسَنا الآن في موقفٍ يُمكِّننا من تَكْرار العملية نفسِها على ، وسينتج لدينا في نهايةِ هذه العملية كسرٌ أبسط، لنقل إنه على سبيل المثال. ويُمكننا تطبيقُ هذه العملية نفسِها على هذا الكسر، وسيكون الكسر الجديد، ولنُسمِّه مثلًا، على درجةٍ أكبرَ من التبسيط. ويُمكننا تطبيق العمليةِ نفسِها على هذا الكسر أيضًا، ونستمرُّ في تطبيقها مِرارًا وتَكرارًا دون نهاية. غير أننا نعرف من النقطة (٣) أنه لا يمكن تبسيطُ الكسور إلى الأبد. لا بد أن تكون لدينا أبسطُ صورةٍ من الكسر، لكنَّ كَسْرنا الافتراضيَّ لا يخضع لهذه القاعدة فيما يبدو. ومِن ثَمَّ، فإنَّ لدينا الآن ما يُبرِّر القول ببلوغِ حالةٍ من التناقض. إذا كان من الممكن كتابةُ في صورة كسر، فستكون النتائجُ غيرَ منطقية؛ لذا فمن الصواب أن نقول إنه لا يمكن كتابة في صور كسر. إذن، عدد غيرُ نسبي.

الملحق ٣: أُحْجية عمر ديوفانتوس

قضى ١/٦ حياته، أي ، صبيًّا.

قضى حياته شابًّا.

قضى قبل الزواج.

بعد ٥ سنوات، وُلِد له ابن.

هو فترة حياة الابن.

قضى ٤ سنوات في الأسى قبل أن يموت.

وطولُ مدَّة حياة ديوفانتوس هي حاصلُ جمعِ كلِّ ما سبق:

يمكن تبسيط المعادلة لتصبحَ على النحو التالي:

مات ديوفانتوس وهو يبلغ من العمر ٨٤ عامًا.

الملحق ٤: معضلة أوزان باشي

لوزنِ أيِّ عددٍ صحيحٍ من الكيلوجرامات من ١ إلى ٤٠، سيقترح معظمُ الأفراد أنَّ الأوزان المطلوبة هي ستة: ١ و٢ و٤ و٨ و١٦ و٣٢ كيلوجرام. وبهذه الطريقة يُمكن تحقيقُ جميع الأوزان بسهولة من خلال وضع المجموعات التالية في وعاء واحد:

١ كيلوجرام = ١،

٢ كيلوجرام = ٢،

٣ كيلوجرام = ٢ + ١،

٤ كيلوجرام = ٤،

٥ كيلوجرام = ٤ + ١،

٤٠ كيلوجرام = ٣٢ + ٨.

غير أنَّ وضْعَ الأوزان في الوعاءَين، أي مع وضعِ الأوزان بجوار الشيءِ المرادِ وزنُه، استطاع باشي إنجازَ المهمة بأربعة أوزان فقط: ١ و٣ و٩ و٢٧ كيلوجرامًا. فالوزن الموضوعُ بجوار الشيء الموزونِ، يُمثل قيمةً سالبة في حقيقة الأمر. ومِن ثَمَّ، يُمكن تحقيقُ الأوزان على النحو التالي:

١ كيلوجرام = ١،

٢ كيلوجرام = ٣ − ١،

٣ كيلوجرامات = ٣،

٤ كيلوجرامات = ٣ + ١،

٥ كيلوجرامات = ٩ − ٣ − ١،

٤٠ كيلوجرامًا = ٢٧ + ٩ + ٣ + ١.

الملحق ٥: برهان إقليدس لإثباتِ وجود عددٍ لا نهائي من ثلاثياتِ فيثاغورس

ثلاثيةُ فيثاغورس هي مجموعة من ثلاثة أعدادٍ صحيحة، يكون تربيعُ أحَدِها مضافًا إلى تربيع العدد الآخر مساويًا لتربيع العدد الثالث. وقد تمكن إقليدس من إثباتِ وجود عددٍ لا نهائي من مثلِ هذه الثلاثيات الفيثاغورسية.

يبدأ برهانُ إقليدس بملاحظة أنَّ ناتجَ طرحِ أيِّ عددَين متتاليَين مربَّعَين دائمًا ما يكون عددًا فرديًّا:

يمكن إضافةُ كلِّ عدد من الأعداد الفرديةِ اللانهائية إلى عددٍ مربع محدد لتشكيلِ عددٍ مربَّعٍ آخر. بعض هذه الأعداد الفردية هي نفسُها أعدادٌ مربعة، لكن بعض اللانهائي، هو أيضًا لا نهائي.

ومِن ثَمَّ، يوجد عددٌ لا نهائي من الأعداد الفردية المربعة التي يُمكن إضافتها إلى مربعٍ واحد لتشكيلِ عددٍ مربع آخَر. بعبارة أخرى، لا بد أنه يوجد عددٌ لا نهائي من الثلاثيات الفيثاغورسية.

الملحق ٦: برهان حَدْسية النقطة

تنصُّ حَدْسية النقطة على استحالةِ رسم شكلٍ تخطيطيٍّ من النقاط بحيث توجد ثلاثُ نقاط على الأقلِّ على كلِّ خط مستقيمٍ فيه.

وبالرغم من أنَّ هذا البرهانَ لا يتطلب سِوى قدرٍ ضئيل من المعرفة الرياضيَّة، فهو يعتمد على قدرٍ من البراعة الهندسيَّة؛ لذا فأنا أُوصي بالتأمُّل المتأنِّي لكل خطوة.

فلتتخيَّل في البداية نمطًا عشوائيًّا من النقاط والخطوط التي تصلُ كلَّ نقطة بجميع النِّقاط الأخرى. بعد ذلك، احسِب المسافةَ بين كل نقطةٍ وأقرب خطٍّ لها، مع استبعاد أيِّ خط يمرُّ بها. وبهذا، تُحدِّد أي النقاط هي الأقرب على الإطلاق لأحدِ الخطوط.

ولإثبات أنَّ الخط L لا بد أن يوجد عليه نُقطتان، نتخيَّل ما سيحدثُ في حالة وجود نقطةٍ ثالثة عليه. إذا كانت النقطة الثالثة ، توجد خارجَ النقطتين الموضحتَين في الأصل، فستكون المسافةُ الموضحة بالخطِّ المتقطعِ أقصرَ من الخطِّ المتقطع الذي كان ينبغي به أن يكون هو المسافةَ الأقصر على الإطلاقِ بين نقطةٍ وخط. ولهذا؛ فالنقطة لا يُمكن أن تكونَ موجودة.

وبالمثل، إذا كانت النقطةُ الثالثة موجودةً بين النقطتَين الموضَّحتَين في الأصل، فسنجدُ مجددًا أنَّ المسافة الموضحة بالخطِّ المتقطع أقصرَ من الخط المتقطع الذي كان من المفترض أن يكون هو المسافةَ الأقصر على الإطلاقِ بين خطٍّ ونقطة. ومِن ثَمَّ؛ فالنقطة لا يمكن أن تكون موجودةً هي أيضًا.

موجز القول أنَّ أيَّ تشكيلٍ من النقاط لا بد أن يتضمَّن مسافةً دُنْيا بين نقطةٍ ما وخطٍّ ما، ولا بد أن يحتويَ هذا الخطُّ المعنيُّ على نقطتَين فحَسْب. ومِن ثَمَّ، فأي تشكيلةٍ من النقاط ستتضمَّن دائمًا هذا الخطَّ الواحد على الأقلِّ الذي لا يحتوى سِوى على نقطتين؛ إذن فالحَدْسية صحيحة.

الملحق ٧: الانحراف نحو عدم المنطقية

فيما يلي نورد مثالًا كلاسيكيًّا يوضِّح مدى سهولة البَدْء بعبارة بسيطة للغاية، وفي غضونِ بضعِ خطوات تبدو مباشرةً ومنطقية، يتم إثبات أنَّ ٢ = ١.

لنبدأ أولًا بالعبارة المسالمة:

ونُضيف إلى كِلا الطرَفَين:

يمكن تبسيطُ هذه المعادلة إلى ما يلي:

وأخيرًا نَقْسم كِلا الطرَفَين على فنحصل على:

تبدو العبارةُ الأصلية غيرَ مؤذية تمامًا، وهي كذلك بالفعل، لكنَّ ثمة خطأً خفيًّا وكارثيًّا في خطواتِ معالجة المعادلة يؤدِّي إلى التضارب في العبارة الأخيرة.

والحقُّ أنَّ الخطأ الفادح يظهر في الخطوة الأخيرة التي يُقسَم فيها كِلا الطرفَين على . فنحن نعرف مِن العبارة الأصلية أنَّ ؛ لذا فإنَّ القسمة على تُكافئ القسمةَ على صفر.

إنَّ قسمة أيِّ شيء على الصفر تنطوي على المخاطَرة؛ لأنَّ الصفر يُدخِلُ في أي كميةٍ نهائية عددًا لا نهائيًّا من المرات. وبوضعِ كمية لا نهائيةٍ في طرَفَي المعادلة، فقد مزَّقْنا نِصفَي المعادلة بالفعل، وسمَحْنا للتضاربِ بالتسلل إلى الحُجَّة المنطقية.

وهذا الخطأ الخفيُّ من الأمثلة النموذجية للسقطات التي وقع فيها كثيرٌ من المتقدمين إلى جائزة ولفسكيل.

الملحق ٨: مسلَّمات الحساب

المسلَّمات التالية هي كلُّ ما يَلْزم ليكونَ أساسًا للتركيب المعقَّد لعلم الحساب:

بِناءً على هذه المسلَّمات، يمكن إثباتُ قواعدَ أخرى. فمن خلال تطبيق المسلَّمات بدقةٍ، وعدمِ افتراض أيِّ شيءٍ آخَر، يُمكننا أن نُثبت بدقةٍ تلك القاعدةَ الواضحة المتمثلةَ فيما يلي:

إذا كان إذن .

في البداية نذكر أنَّ:

ووفقًا للمُسلَّمة ٦، ليكن l عددًا حيث ، إذن:

إذن فوَفْقًا للمسلَّمة ٢:

ومع مراعاة أنَّ ، نعرف أنَّ:

وبتطبيق المسلَّمة ٤، يمكننا أن نعلن أخيرًا ما عزمنا على إثباته:

الملحق ٩: نظرية الألعاب والمبارزة الثلاثية

لنفحَصْ خياراتِ السيد بلاك. أولًا، يُمكن للسيد بلاك أن يُطلِق الرَّصاص نحوَ السيد جراي. وإذا نجح فسوف يقوم السيد وايت بإطلاق الرصاص في المرة التالية. يتبقَّى أمام السيد وايت خَصمٌ واحد هو السيد بلاك، ولأنَّ السيد وايت رامٍ بارعٌ، فالسيد بلاك في عِداد الأموات.

ثَمة خيارٌ أفضل للسيد بلاك، وهو أن يُطلق الرصاص نحوَ السيد وايت. وإذا نجح فسوف يقوم السيد جراي بإطلاق الرَّصاص في المرة التالية. يُصيب السيد جراي هدفَه مرتين فقط كلَّ ثلاث مرات؛ لذا فثمة احتمالٌ بأن ينجوَ السيد بلاك ليُصوِّب الرصاص ثانيةً نحو السيد جراي، وقد يفوز بالمبارزة.

يبدو أنَّ الخيار الثانيَ هو الاستراتيجيةُ التي ينبغي على السيد بلاك تبنِّيها. بالرغم من ذلك، فثَمَّة خيارٌ ثالث أفضل. يمكن للسيد بلاك أن يُطلِق الرصاص في الهواء. ويأتي دور السيد جراي في المرة التالية، ويُصوِّب الرصاص نحو السيد وايت؛ لأنه الخَصم الأخطر. إذا نجا السيد وايت، فسوف يُصوِّب الرصاصَ تجاه السيد جراي لأنه الخَصم الأخطر. فمن خلال إطلاقِ الرصاص في الهواء، يُتيح السيد بلاك الفرصةَ للسيد جراي في القضاء على السيد وايت، أو العكس أيضًا صحيح.

تلك هي الاستراتيجية الأنسبُ للسيد بلاك. ففي نهاية المطاف، سيموت السيد جراي أو السيد وايت، وسيُصوِّب السيد بلاك الرصاصَ على مَن ينجو منهما. لقد تلاعبَ السيد بلاك بالموقف كي يُصبح هو صاحبَ التصويبةِ الأولى في مبارزةٍ ثُنائية بدلًا من أن يكون صاحبَ التصويبة الأولى في مبارزة ثلاثية.

الملحق ١٠: مثالٌ على البرهان بالاستقراء

فمجموعُ العددِ الأولِ على سبيل المثال هو ١، ومجموع أول عددين هو ٣ (١ + ٢)، ومجموع الأعداد الثلاثة الأولى هو ٦ (١ + ٢ + ٣)، ومجموع الأعداد الأربعة الأولى هو ١٠ (١ + ٢ + ٣ + ٤)، وهكذا.

من الصِّيغ المرشحة لوصف هذا النمط:

ويُمكن للبرهان بالاستقراء أن يُثبِت فعاليةَ هذه الصيغةِ لجميع الأعداد إلى ما لا نهاية.

تتمثَّل الخطوة الأولى في إثبات فعالية الصيغة في الحالة الأولى . وهذه الخطوة مباشرةٌ إلى حدٍّ كبير؛ لأننا نعرفُ أنَّ مجموع العددِ الأول هو ١، وإذا أدخَلْنا في الصيغة المرشَّحة أعلاه، فسنحصلُ على النتيجة الصحيحة:

وبهذا، فقد سقَطَت قطعةُ الدومينو الأولى.

والخطوة التالية في البرهان بالاستقراء هي إثباتُ أنه إذا كانت الصيغةُ صحيحةً لجميع قيم n، فلا بدَّ أنها ستكون صحيحةً أيضًا في حالة . إذا كان:

إذن:

وبعد إعادة ترتيب حدودِ الطرَفِ الأيمن نحصل على:

الأمر المهمُّ الذي يجدرُ بنا ملاحظتُه هنا هو أنَّ صيغةَ هذه المعادلة الجديدة هي نفسها صيغة المعادلة الأصلية، باستثناء أننا عوَّضْنا عن n ﺑ ().

ومعنى هذا أنه إذا كانت الصيغةُ صحيحةً في حالة n، فلا بد أنها ستكون صحيحةً أيضًا في حالة . إذا وقعَت إحدى قِطَع الدومينو، فستُوقِعُ القطعةَ التالية لها على الدوام. وبهذا يكتملُ البرهان بالاستقراء.