الفصل الرابع

الفوضى في النماذج الرياضية

سنصبح أفضل حالًا إذا أدرك عدد أكثر من الأشخاص أن النظم اللاخطية البسيطة لا تمتلك بالضرورة خواصَّ ديناميكية بسيطة.

اللورد ماي (١٩٧٦)

يعرض هذا الفصل لمسح موجز جدًّا للنماذج الرياضية الفوضوية من علم الحيوان إلى علم الفلك. مثل أي غزو ثقافي، كانت النماذج الحتمية اللاخطية ذات الاعتماد الحساس تَلقى ترحيبًا في بعض الأحيان، ولا تلقاه في أحيان أخرى. وقد لقيت ترحيبًا بانتظام في الفيزياء حيث كان التحقُّق التجريبي من نبوءاتها العلمية — مثلما سنرى — مذهلًا بكل معنى الكلمة. في مجالات أخرى، بما في ذلك مجال علم أحياء السكان، لا تزال علاقة الفوضى به محلَّ تساؤل، غير أن علماء أحياء السكان كانوا هم مَن طرحوا بدايات النماذج الفوضوية قبل عقد من ظهور نماذج علماء الفلك وعلماء الأرصاد الجوية في المشهد. وقد تجدَّد الاهتمام بهذه الجهود في عام ١٩٧٦ من خلال مقالة بحثية نقدية واسعة التأثير والانتشار في مجلة «نيتشر». وسنبدأ بالاستبصارات الأساسية التي نوَّهت عنها تلك المقالة.

أخطاء ماي العزيزة

في عام ١٩٧٦، قدَّمَ اللورد ماي مقالة نقدية حازت على الاهتمام حول ديناميكيات الفوضى في مجلة «نيتشر»، وقد قامت بعرض الملامح الأساسية في النظم اللاخطية الحتمية. مشيرًا إلى أن كثيرًا من الأسئلة الشائقة ظلَّ بلا إجابة، رأى ماي أن هذا المنظور الجديد لا يقدِّم قيمة نظرية فحسب، بل قيمة عملية وتربوية أيضًا، وأن المنظور كان يتضمن كل شيء بدءًا من الاستعارات الجديدة المستخدمة في وصف النظم، إلى الكميات الجديدة التي تنتظر الرصد وقيم المعلمات الجديدة التي تنتظر التقدير. من بين أبسط الديناميكيات السكانية ديناميكياتُ مجموعات التربية حيث لا يتداخل جيل مع الجيل التالي؛ فالحشرات التي تُنتج جيلًا واحدًا سنويًّا، على سبيل المثال، يمكن وصفها من خلال خرائط زمنية منفصلة. وفي هذه الحالة ستمثِّل Xi المجموعة السكانية، أو كثافة السكان، في السنة رقم ith؛ ومن ثَمَّ سيكون لسلسلتنا الزمنية قيمة واحدة لكل سنة، وتمثِّل الخريطة القاعدة التي تحدِّد حجم التعداد في السنة التالية عند معرفة تعداد هذا العام، ويمثِّل المعلم α كثافةَ الموارد. في خمسينيات القرن العشرين، وضع موران وريكر كلٌّ منهما على حدةٍ الخريطة الموضحة في الشكل رقم ٣-٢ (و). وبالنظر إلى هذا الرسم البياني، يمكننا ملاحظة أنه في حال صِغَر قيمة X، تصبح قيمة X التالية أكبر؛ أي إن التعدادات الصغيرة تزداد، غير أنه إذا صارت قيمة X أكبر مما ينبغي، تصبح قيمة X التالية صغيرة، وعندما تكون القيمة الحالية كبيرة جدًّا، تصبح القيمة التالية صغيرة جدًّا. تستنفد التعدادات الكبيرة الموارد المتاحة لكل فرد؛ ومن ثَمَّ تتراجع عملية التكاثر الناجحة.

لطالما كانت التعدادات المتذبذبة بصورة غير منتظمة تُرصَد منذ وقت طويل، وكان الباحثون قد اختلفوا طويلًا حول أصولها. تُعتبر السلاسل الزمنية للوشق الكندي وفئران الحقول الاسكندنافية واليابانية، فضلًا عن سلاسل البقع الشمسية، من بين أكثر مجموعات البيانات تحليلًا في جميع الإحصاءات. وقد جاءت فكرة أن النماذج اللاخطية البسيطة للغاية قد تُظهِر تذبذبات غير منتظمة على هذا النحو لتقترح آلية محتملة جديدة لتذبذبات التعداد الحقيقية؛ وهي آلية كانت تتعارض مع الفكرة القائلة بأن التعدادات «الطبيعية» يجب أن تحتفظ بمستوًى ثابت أو دورة متكررة منتظمة. تنطوي فكرة عدم حاجة هذه التذبذبات التي «تبدو» عشوائية إلى أن تستحثها بعض القوى الخارجية مثل الطقس — ولكنها قد تكون متأصلة في الديناميكيات السكانية الطبيعية — على إمكانية تغيير محاولات فهم وإدارة المجموعات السكانية على نحوٍ جذريٍّ. وبينما يشير ماي إلى أن «استبدال المعلمات السلبية بتفاعلات إحدى الجماعات السكانية مع بيئتها البيولوجية والطبيعية قد يفضي إلى إلحاق ضرر هائل بالواقع»، قدَّم ماي عرضًا للسلوكيات الشائقة في الخريطة اللوجيستية. تنتهي المقالة «برجاء يملؤه الحماس والحرارة لإدراج هذه المعادلات الفرقية في مقررات الرياضيات الأساسية، بحيث يُثرَى حدس الطلاب من خلال رؤيتهم للأشياء الرائعة التي تستطيع المعادلات اللاخطية البسيطة تنفيذها.» تعود هذه العبارة إلى ثلاثة عقود مضت.

سنبحث بعض هذه الأشياء الرائعة لاحقًا، لكن لاحِظْ أن تركيز علماء الرياضيات على الخريطة اللوجيستية لا يُقصَد من ورائه الإشارة إلى أن هذه الخريطة في حدِّ ذاتها «تتحكَّم» بأي شكل من الأشكال في النظم الطبيعية والبيولوجية. أحد الأشياء التي تفرِّق بين الديناميكيات اللاخطية والتحليل التقليدي هو أن الأولى تميل إلى التركيز أكثر على سلوك النظم وليس على تفاصيل أي حالة أولية واحدة وفق معادلات محددة ذات قيم معلمات محددة، أي إنه تركيز على الأشكال الهندسية أكثر من الإحصاءات. قد تكون بعض الديناميكيات المشابهة أكثر أهميةً من الإحصاءات «الجيدة». ويتضح أن الخريطة اللوجيستية وخريطة موران-ريكر متشابهتان جدًّا في هذا الجانب، على الرغم من أنهما تبدوان مختلفتين تمامًا في الشكل رقم ٣-٢ (و). ربما تكون التفاصيل مهمة بالطبع، وربما يكون الدور المستمر للخريطة اللوجيستية نفسه تربويًّا، بإسهامه في دحض الاعتقاد التاريخي السائد القائل بأن الديناميكيات المعقدة تتطلب نماذج معقدة أو عشوائية.

العمومية: توقُّع مسارات إلى الفوضى

fig11
شكل ٤-١: سلوك تضاعف الدورة في الخريطة اللوجيستية مع زيادة قيمة α من ٢٫٨ إلى ٣٫٥ تقريبًا. حالات التضاعف الثلاث الأولى مُميَّزة.
تُفضي الخريطة اللوجيستية إلى تنويعاتٍ في السلوك ثرية على نحو مذهل. يلخص الشكل رقم ٤-١ الذي يُبيِّن التشعُّب الشهير سلوكَ الخريطة عند قِيَم مختلفة كثيرة لمعلماتها في شكل واحد. المحور الأفقي هو α، وتشير النقاط في أي شريحة رأسية إلى الحالات التي تقع بالقرب من عنصر الجذب لقيمة α تلك. تعكس α هنا معلمًا ما في النظام؛ فإذا كانت X تمثِّل عدد الأسماك في البحيرة، فإن α تمثِّل إذًا كمية الغذاء في البحيرة، وإذا كانت X تمثِّل الزمن المنقضي بين قطرة وأخرى من قطرات الماء من الصنبور، فإن α إذًا هي معدل الماء المتسرب من الصنبور، وإذا كانت X تمثِّل حركة التقلبات في الحمل الحراري في السوائل، فإن α هي كمية الحرارة التي انتقلت إلى قاع الإناء. ويظل السلوك هو نفسه في نماذج أشياء مختلفة تمامًا. في حال كانت قيمة α صغيرة (إلى اليسار) ثَمَّةَ نقطة عنصر جذب ثابتة، وتزداد قيمة النقطة الثابتة مع زيادة قيمة α، حتى تبلغ α قيمة واحد صحيح، وهي القيمة التي تختفي عندها النقطة الثابتة، ونرصد تكرارات تتراوح بين نقطتين؛ وهو ما يمثِّل حلقة دورة ثانية. ومع استمرار α في الزيادة، نصل إلى حلقة دورة رابعة، ثم إلى حلقة دورة ثامنة، ثم حلقة دورة ١٦، ثم ٣٢ وهكذا، وهو ما يمثِّل عملية تشعُّب مرةً بعد مرة.
بما أن دورة الحلقة تزداد دومًا بعامل اثنين، يُطلَق على عمليات التشعُّب هذه «تشعُّب متضاعفة الدورة». بينما لا يمكن رؤية الحلقات القديمة مرة أخرى، إنها لا تختفي، بل تظل موجودة، لكنها تصير غير مستقرة، وهو ما حدث مع الحالة الأصلية في الخريطة اللوجيستية عندما تصبح قيمة α أكبر من واحد. تظل X عند قيمة صفر فقط إذا كانت تساوي صفرًا تمامًا، بينما تزداد القيم غير الصفرية الصغيرة عند كل تكرار. وبالمثل، تتحرك النقاط قرب حلقة دورية غير مستقرة بعيدًا عنها؛ ومن ثَمَّ لا نراها بوضوح عند تكرار القيم في الخريطة.
ثَمَّةَ نمط منتظم خفي في الشكل رقم ٤-١. انتقِ أي ثلاث قيم α متعاقبة تتضاعف عندها الدورة، واطرح الأولى من الثانية، ثم اقسم العدد الناتج على الفرق بين القيمتين الثانية والثالثة؛ ستُفضي النتيجة إلى رقم فايجنباوم، وهو ما يساوي تقريبًا ٤٫٦٦٩٢٠١٦٠٩١. اكتشف ميتش فايجنباوم هذه العلاقات، مُستخدِمًا آلة حاسبة يدوية في لوس آلاموس في أواخر سبعينيات القرن العشرين، وصارت هذه النسبة معروفة باسمه حاليًّا. وقد توصَّلَ إليها آخَرون أيضًا على نحو مستقل، وكان امتلاك الاستبصار لإجراء هذه العملية الحسابية أمرًا مُدهِشًا في كل حالة.
بما أن رقم فايجنباوم أكبر من واحد، تتقارب قيم α التي يحدث عندها تشعُّب أكثر فأكثر، ويتولَّد عدد لا نهائي من عمليات التشعُّب قبل بلوغ α قيمةً تقترب من ٣٫٥٦٩٩٤٥٦٧١٨. يوضِّح الشكل رقم ٤-٢ ما يحدث لقيم α الأكبر. يتميز هذا الخضم من النقاط بالفوضوية الهائلة، ولكن لاحِظْ نوافذ السلوك الدوري، على سبيل المثال نافذة الدورة الثالثة التي تتخذ α فيها قيمةَ واحدٍ مضافٍ إليه الجذر التربيعي لثمانية (أي حوالي ٣٫٨٢٨)، تُعَدُّ هذه حلقةَ دورةٍ ثالثة مستقرة. فهل تستطيع تحديد نوافذ مماثلة للدورة الخامسة؟ أو الدورة السابعة؟
fig12
شكل ٤-٢: سلوكيات متنوعة في الخريطة اللوجيستية مع زيادة قيمة α من حلقة دورة رابعة عند قيمة α تساوي ٣٫٥، إلى حالة فوضى عند قيمة α تساوي ٤. لاحِظْ أن تضاعف الدورة المتكرر يتوالى عند الجانب الأيمن من كل نافذة دورية.
يضع الشكل رقم ٤-٣ الأرقام في الخريطة اللوجيستية في السياق. تشكِّل قيم α وX0 المنتقاة عشوائيًّا سحابة من النقاط على الشريحة التي تساوي فيها t صفرًا من هذا الشكل الثلاثي الأبعاد. وبتكرار استخدام الخريطة اللوجيستية انطلاقًا من هذه القيم، تتلاشى القيم العابرة، وتظهر عناصر الجذب عند كل قيمة α تدريجيًّا، حتى إنه بعد تكرار الخريطة ٥١٢ مرة ستشبه شريحة المرة الأخيرة شكل رقم ٤-٢.
fig13
شكل ٤-٣: رسم بياني ثلاثي الأبعاد يبيِّن انهيار قيم X0 وα العشوائية في البداية في الجانب الخلفي الأيسر من المربع تجاه عناصر الجذب المختلفة، مع زيادة عدد التكرارات. لاحِظْ تشابه النقاط قرب الجانب الأيمن الأمامي مع النقاط في الشكلين ٤-١ و٤-٢.

سيكون من قبيل المغالاة أن نتوقع أن يدلنا شيء بسيط مثل الخريطة اللوجيستية على أي شيء حيال سلوك عنصر الهليوم في صورته السائلة، بَيْدَ أن الخريطة تفعل ذلك. لا تُظهر بدايةُ سلوك معقد فحسب مؤشرًا نوعيًّا على تضاعف الدورة، بل تتفق القيم الكمية الفعلية لأرقام فايجنباوم التي جرى حسابها من خلال تجارب عديدة بصورة لافتة مع تلك القيم المحسوبة باستخدام الخريطة اللوجيستية. الكثير من النظم الفيزيائية يُظهِر هذا «المسار المتضاعف الدورة إلى الفوضى»، كما نرى في ديناميكا الموائع (الماء، والزئبق، وسائل الهليوم)، والليزر، والإلكترونيات (الديودات، وأجهزة الترانزستور)، والتفاعلات الكيميائية (تفاعل بي زد). يمكن للمرء تقدير قيمة رقم فايجنباوم بدقة خانتين في التجارب، وهو ما يمثِّل أحد أكثر النتائج إدهاشًا في هذه المقدمة عن نظرية الفوضى. كيف يمكن أن تمنحنا العملياتُ الحسابية البسيطة باستخدام الخريطة اللوجيستية معلوماتٍ ذاتَ صلة بكل هذه النظم الفيزيائية؟

إن انبهار عالم الرياضيات بهذا الشكل البياني ليس منبعه فقط جمال هذا الشكل، بل أيضًا بسبب حقيقة أننا سنحصل على صورة مشابهة لخريطة موران-ريكر ونظم أخرى كثيرة تبدو للوهلة الأولى مختلفة تمامًا عن الخريطة اللوجيستية. يُظهِر طرح فني أن تضاعف الدورة أمر شائع في خرائط «المنحنى الواحد» التي «يبدو» فيها المنحنى «مثل» القطع المكافئ. من حيث المعنى الحقيقي والمرتبط بذلك تمامًا، تبدو جميع الخرائط اللاخطية تقريبًا مثل قِيَمها القريبة للغاية من القيمة القصوى لها؛ لذا يُطلَق على خواص مثل تضاعف الدورة بأنها «عامة»، على الرغم من عدم اشتمال «جميع» الخرائط عليها. لعل الأمر الأكثر إثارةً للدهشة من هذه الحقائق الرياضية هو الحقيقة التجريبية القائلة بأن مجموعةً واسعةَ التنوع من النظم الفيزيائية تُظهِر سلوكًا ما غير متوقَّع يعكس — قدر ما نستطيع أن نرى — هذه البنية الرياضية. أليس هذا الطرح مقنعًا إذًا لتتولى الرياضيات التحكُّمَ في الطبيعة وليس فقط وصفها؟ للإجابة عن هذا السؤال، ربما نبحث عما إن كان رقم فايجنباوم أقرب إلى ثابت هندسي مثل π، أو إلى ثابت فيزيائي مثل سرعة الضوء، أي c. تُوصَّف الأشكال الهندسية للأقراص، والعبوات، والكرات جيدًا باستخدام π، بَيْدَ أن π تكاد لا تتحكَّم في العلاقة بين الأطوال، والمساحات، والحجوم الحقيقية بنفس الطريقة التي تتحكم بها قِيَم الثوابت الفيزيائية في طبيعة الأشياء في إطار قوانين الطبيعة التي نعرفها.

أصل المصطلح الرياضي «الفوضى»

في عام ١٩٦٤ أثبت عالم الرياضيات الروسي إيه إن شاركوفسكي نظرية لافتةً حول الأنماط السلوكية للعديد من خرائط «المنحنى الواحد»، أَلَا وهي أن اكتشاف وجود حلقة دورية واحدة يشير إلى وجود حلقات أخرى، وربما تكون كثيرة. كان اكتشاف وجود حلقة الدورة ١٦ لقيمة محددة للمعلم يشير ضمنًا إلى وجود حلقات دورة ثامنة، ورابعة، وثانية، وأولى عند تلك القيمة، بينما كان يعني اكتشاف حلقة دورة ثالثة وجود حلقة لكلِّ دورة محتملة! وهو ما يُعتبر دليلًا آخَر غير بنَّاء؛ فهو لا يدلنا على موضع تلك الحلقات ولكنه في النهاية يُعَدُّ نتيجةً متقنة تمامًا. بعد أحد عشر عامًا من عمل شاركوفسكي، نشر لي ويورك ورقتهما البحثية الواسعة التأثير تحت عنوان رائع: «الدورة الثالثة تستلزم الفوضى». ومن وقتها ظهر مصطلح «الفوضى» واستقر في الأذهان.

النظم الرياضية المتعددة الأبعاد

كانت معظم حالات نماذجنا حتى الآن تتألف من مركبة واحدة فقط. ويُعتبر نموذج فئران الحقول وابن عرس استثناءً؛ حيث إن الحالة تتكون من رقمين؛ أحدهما يعكس تعداد الفئران، والآخَر تعداد ابن عرس. وفي هذه الحالة تُعتبر الحالة متجهًا. يُطلِق علماء الرياضيات على عدد المركبات في الحالة «بُعد» النظام؛ حيث إن رسم متجهات الحالة سيتطلَّب فضاء حالة يمتلك هذا البُعد.

مع انتقالنا إلى أبعاد أكبر، تصبح النظم في كثير من الأحيان «تدفُّقات» لا خرائط؛ فالخريطة دالة تتلقَّى قيمة واحدة من X لتولِّد قيمة X التالية، بينما يقدِّم التدفق سرعة X لأي نقطة في فضاء الحالة. تصوَّرْ جزرة بيضاء تطفو تحت سطح البحر، يحملها التيار وتمضي في اتجاه تدفق اتجاه البحر. يشبه المسار الثلاثي الأبعاد للجزرة البيضاء في البحر مسارًا تسلكه X في فضاء الحالة، ويُطلَق على كلٍّ منهما في بعض الأحيان «مسارات». إذا تتبعنا مسار كمية لا متناهية الصغر من السائل نفسه — بدلًا من الجزرة البيضاء — فسنجد غالبًا أن هذه المسارات متكررة عادةً مع وجود اعتماد حساس. المعادلات حتمية ويُقال إن كميات الموائع هذه تُظهِر نمط «فوضى لاجرنجية». تُظهِر التجارب المخبرية على الموائع عادةً أنماطًا جميلة تعكس الديناميكيات الفوضوية التي تجري ملاحظتها في نماذج تدفُّق الموائع لدينا. دون اختبار المعادلات التفاضلية التي تحدِّد مجالات السرعة تلك، سنستعرض سريعًا فيما يلي عددًا من النظم الفوضوية الكلاسيكية.

الفوضى المشتتة

في عام ١٩٦٣، نشر إد لورنز ما صار لاحقًا ورقة بحثية كلاسيكية حول قابلية النظم الفوضوية للتوقع. بحث لورنز مجموعة مبسطة للغاية من ثلاث معادلات تعتمد على ديناميكيات أحد الموائع قرب نقطة بدء الحمل الحراري، وهو ما صار يُعرَف الآن باسم «نظام لورنز». يمكن تصوُّر المركبات الثلاث للحالة في صورة تقلُّبات حمل حراري في طبقة مائع بين طبقين مسطحين عند تسخين الطبق السفلي. عندما لا يكون هناك حمل حراري، يكون المائع ساكنًا وتتناقص درجة حرارة المائع بصورة منتظمة من الطبق السفلي الأكثر حرارة إلى الطبق العلوي الأقل حرارة. تتألف الحالة X في نموذج لورنز من ثلاث قيم x, y, z، حيث تعكس x سرعة المائع الدوار، وتقيس y فرق درجة الحرارة بين كمية المائع الصاعدة وكمية المائع الغاطسة، وتقيس z درجة الانحراف عن نطاق درجة الحرارة الخطي. يبيِّن الشكل رقم ٤-٤ عنصر جذب في هذا النظام؛ ومن قبيل المصادفة، يبدو عنصر الجذب مثل الفراشة. يشير التظليل المختلف في عنصر الجذب إلى التباينات في الوقت الذي يستغرقه تضاعُف حالة عدم يقين لا متناهية الصغر. سنعود إلى مناقشة معنى هذا التظليل في الفصل السادس، لكن عليك الآن ملاحظة التباينات مع الموضع.
fig14
شكل ٤-٤: رسمان تخطيطيان ثلاثيا الأبعاد لعنصر الجذب في نظام لورنز (الرسم الأول)، وعنصر الجذب في نظام مور-شبيجل (الرسم الثاني). يشير التظليل إلى التباينات في زمن تضاعف عدم اليقين عند كل نقطة.
يبيِّن لنا الشكل رقم ٤-٥ تطوُّرَ عدم اليقين في نظام لورنز، وهو ما يبدو أكثر تعقيدًا من الشكل المقابل في خريطة يول في الشكل رقم ٣-٤. يوضِّح الشكل رقم ٤-٥ نوع التوقُّع الذي يمكن لشيطان القرن الحادي والعشرين عمله في هذا النظام. ثَمَّةَ عدم يقين أولي صغير في الشكل يزداد اتساعًا، ثم يضيق، ثم يتسع، ثم يضيق أكثر … وفي النهاية ينقسم إلى جزأين ويبدأ في التلاشي. ولكن بناءً على القرارات التي نحاول أن نتخذها، ربما لا تزال هناك معلومات مفيدة في هذا النمط حتى في الوقت الذي يبدو فيه بأعلى الشكل. في هذه الحالة، لم يكن عدم اليقين قد استقر في الوقت الذي وصل فيه أعلى الرسم.
fig15
شكل ٤-٥: التوقُّع الاحتمالي الذي قد يضعه شيطان القرن الحادي والعشرين في نظام لورنز الذي وضعه في عام ١٩٦٣. قارِنْ بين الطريقة التي يتطوَّر بها عدم اليقين في هذا النظام الفوضوي مع الزيادة البسيطة نسبيًّا في عدم اليقين في خريطة يول الموضحة في الشكل رقم ٣-٤.
في عام ١٩٦٥، وضع عالما الفلك الرياضي مور وشبيجل نموذجًا بسيطًا لكمية من الغاز في الغلاف الجوي لأحد النجوم. وهنا نجد فضاء الحالة ثلاثي الأبعاد مجددًا، ومركبات X الثلاث هي الارتفاع، والسرعة، وتسارع كمية الغاز. الديناميكيات شائقة لأن لدينا قوتين متنافستين: قوة حرارية تميل إلى تقويض استقرار كمية الغاز، وقوة مغناطيسية تميل إلى إعادة كمية الغاز إلى نقطة البداية، مثلما يصنع الزنبرك تمامًا. مع ارتفاع كمية الغاز، تختلف درجة حرارتها عن المائع المحيط بها، وهو ما يؤثِّر على سرعتها ودرجة حرارتها، لكن في الوقت نفسه يعمل المجال المغناطيسي للنجم كالزنبرك لإعادة كمية الغاز إلى موضعها الأصلي. تفضي الحركة التي تتسبَّب فيها قوتان متنافستان عادةً إلى الفوضى. يبيِّن الشكل رقم ٤-٦ أيضًا عنصرَ جذبِ نظامِ مور-شبيجل.
كانت التجارب حول الفوضى — ولا تزال — تدفع إمكانات الحاسوب إلى حدودها القصوى، وفي بعض الأحيان تتجاوز تلك الحدود قليلًا. في سبعينيات القرن العشرين أراد عالم الفلك مايكل إينو إجراء دراسة مفصلة حول عناصر الجذب الفوضوية. في ظل قدرة محددة للحاسوب ثَمَّةَ علاقة تبادلية مباشِرة بين مدى تعقيد النظام وفترة السلسلة الزمنية التي يمكن قياسها. أراد إينو وضع نظام يمتلك خواصَّ تشبه خواص نظام لورنز في عام ١٩٦٣، نظام أرخص في تكلفة التكرار على ذلك الحاسوب. كان هذا النظام نظامًا ثنائي الأبعاد؛ حيث حالة X تتألف من زوج من القيم x, y. تُحدَّد خريطة إينو من خلال القاعدتين التاليتين:
تساوي قيمة xi + 1 الجديدة واحدًا مطروحًا منه yi مضافًا إليه α مضروبًا في xi2.
تساوي قيمة yi + 1 الجديدة β مضروبةً في xi.
يُظهر الشكل (ب) من الشكل ٤-٦ عنصر الجذب عندما تساوي قيمة α ١٫٤ وقيمة β ٠٫٣، ويُظهر الشكل (أ) شريحة من عنصر جذب نظام مور-شبيجل تولَّدت من خلال مزج لقطات من النظام متى كانت قيمة z تساوي صفرًا وتزيد. ويُطلق على هذا النوع من الأشكال «قسم بوانكاريه»، وهو يوضِّح كيف أن شرائح من أحد التدفقات تشبه كثيرًا الخرائط.
fig16
شكل ٤-٦: رسمان تخطيطيان ثنائيا الأبعاد لكلٍّ من (أ) شريحة عنصر جذب في نظام مور-شبيجل عند قيمة z تساوي صفرًا، و(ب) عنصر جذب في نموذج إينو حيث تساوي قيمة α ١٫٤، وقيمة β ٠٫٣. لاحِظ البنية المشابهة مع وجود فراغات في كل حالة.

معادلات التأخير والأوبئة والتشخيصات الطبية

ثَمَّةَ مجموعة أخرى من النماذج الشائقة تتمثل في معادلات التأخير. هنا، تلعب الحالة الحالية وحالة ما في الماضي («حالة التأخير») دورًا مباشرًا في الديناميكيات. تشيع هذه النماذج في النظم البيولوجية، وقد تُقدِّم استبصارًا في الأمراض المتأرجحة مثل مرض سرطان الدم. في كمية الدم المتدفقة، يعتمد عدد الخلايا المتوافرة غدًا على عدد الخلايا المتوافر اليوم، وعلى عدد الخلايا الجديدة التي يكتمل نموها اليوم. يحدث التأخير جراء فجوة زمنية بين وقت طلب هذه الخلايا الجديدة ووقت نضوجها، ويعتمد عدد الخلايا التي تنضج اليوم على عدد خلايا الدم في وقت ما في الماضي. ثَمَّةَ أمراض أخرى كثيرة تتضمن هذه الديناميكية المتأرجحة، وتُعتبر دراسة الفوضى في معادلات التأخير شائقة ومثمرة للغاية.

نترك الحديث عن النماذج الرياضية لفقرة واحدة لنشير إلى أن البحوث الطبية تمثِّل مجالًا آخَر تُستخدم فيه الاستبصارات المستقاة من نماذجنا الرياضية في النظم الحقيقية. توصَّلت البحوث التي أجراها مايك ماكي في جامعة ماكجيل بالاشتراك مع آخَرين حول معادلات التأخير إلى علاج مرض متأرجح واحد على الأقل، كما أفضت دراسة الديناميكيات اللاخطية أيضًا إلى استبصارات في تطور الأمراض التي تتأرجح الإصابة بها في مجموعة سكانية معينة، وليس في فرد واحد. يمكن مقارنة نماذجنا مع الواقع في دراسة مرض الحصبة، حيث يمكن بحث الديناميكيات في الزمن والفضاء على نحوٍ مُثمِر للغاية. كما أفضى تحليل السلاسل الزمنية الفوضوية أيضًا إلى ظهور طرق خلَّاقة لرصد سلاسل زمنية طبية معقَّدَة، بما في ذلك سلاسل الدماغ (تخطيط كهربائية الدماغ) والقلب (مخطط كهربائية القلب)، ولا يعني هذا أن تلك الظواهر الطبية في العالم الواقعي فوضوية، أو حتى تُوصَف على النحو الأمثل من خلال نماذج فوضوية؛ إذ إن طرق التحليل المستخدمة في تحليل الفوضى قد تتضح قيمتها عمليًّا بصرف النظر عن طبيعة الديناميكيات الكامنة في النظم الواقعية التي تُولِّد الإشارات التي يجري تحليلها.

الفوضى الهاملتونية

fig17
شكل ٤-٧: شريحة ثنائية الأبعاد لعنصر الجذب في نموذج إينو-هايلس. لاحِظ الحلقات الآنية، والبحر الفوضوي الذي به الكثير من الجزر (الخالية).
إذا كانت الحجوم في فضاء الحالة لا تنكمش عبر الزمن، فلا يمكن أن يكون ثَمَّةَ عناصر جذب. في عام ١٩٦٤، نشر إينو وهايلس ورقة بحثية توضِّح الديناميكيات الفوضوية في نموذج رباعي الأبعاد لحركة نجم في مجرة. تُسمَّى النظم التي لا تتناقص حجوم فضاء الحالة فيها — بما في ذلك أنظمة ميكانيكا الأجرام السماوية النيوتونية التي تُستخدَم بصورة شائعة في توقُّع الكسوف، والتي تتتبع مستقبل النظام الشمسي والمركبات الفضائية فيها — نُظُمًا «هاملتونية». يمثِّل الشكل رقم ٤-٧ شريحة من نظام إينو-هايلس، وهو نظام هاملتوني. لاحِظ التداخل المعقد للجزر الخالية في بحر من المسارات الفوضوية. ربما تقع الحالات الأولية التي بدأت داخل هذه الجزر في حلقات تكاد تكون مغلقة (طارات)، أو ربما تتبع مسارات فوضوية محصورة في إحدى سلاسل الجزر. وفي كلتا الحالتين، يمكن توقُّع ترتيب المرور على الجزر في السلسلة، وإن كان لا يمكن توقُّع الموضع على كل جزيرة على وجه التحديد. على أي حال، لا تكون الأشياء غير متوقَّعة إلا على المقياس ذي الأطوال الصغيرة.

استغلال استبصارات الفوضى

في فترة السنوات الثلاث بين عامَيْ ١٩٦٣ و١٩٦٥، نُشِرت ثلاث أوراق بحثية منفصلة (من تأليف لورنز، ومور وشبيجل، وإينو وهايلس)، استخدمت كلٌّ منها الحاسوب الرقمي لطرح ما صار يُطلَق عليه بعدها «الديناميكيات الفوضوية». في اليابان، تمكَّنَ يوشيسكي ويدا من رصد الفوضى في تجارب تعتمد على حاسوب تناظري، وكان علماء الرياضيات الروس يعملون على تطوير الأسس التي توصَّلَ إليها علماء الرياضيات حول العالم قبل أكثر من قرن من الزمان. بعد ذلك بخمسين عامًا تقريبًا، ظللنا نكتشف — وما زلنا — طرقًا جديدة لاستغلال هذه الاستبصارات.

ماذا يحدُّ من القابلية لتوقُّع الكسوف الشمسي المستقبلي؟ هل يرجع هذا إلى عدم اليقين في معرفتنا للمدارات الكوكبية نظرًا للدقة المحدودة في طرق قياسنا الحالية؟ أم إلى التباينات المستقبلية في طول اليوم الذي يغيِّر الموضع على سطح الأرض الذي يتعرَّض للكسوف؟ أم إلى عجز معادلات نيوتن نظرًا لوجود مؤثرات تُوصَّف (بصورة أفضل) من خلال النظرية النسبية العامة؟ نعرف أن القمر يتحرك بعيدًا في بطء عن الأرض، وبافتراض استمرار ذلك، سيبدو في النهاية أصغر كثيرًا مما هو عليه الآن، حتى إنه لن يستطيع حجب الشمس بالكامل. في تلك الحالة، سيكون ثَمَّةَ كسوف كلي أخير للشمس، فهل يمكن أن نتوقَّع متى سيقع هذا الحدث؟ وأين يجب أن نكون على سطح الأرض لرؤية هذا الكسوف — آخذًا في الاعتبار حالة الطقس؟ لا نعرف الإجابة عن هذا السؤال، مثلما لا نعرف — على وجه التحديد — إن كان النظام الشمسي مستقرًّا أم لا. كان نيوتن مُدرِكًا تمامًا للصعوبات التي كانت السلوكيات اللاخطية تشكِّلها في سبيل تحديد درجة الاستقرار القصوى لثلاثة أجسام سماوية فقط، وأشار إلى أن ضمان تحقُّق استقرار النظام الشمسي كان مهمة الرب. من خلال فهم أنواع المدارات الفوضوية التي تسمح بها النظم الهاملتونية، عرفنا أشياءَ كثيرةً عن الاستقرار النهائي للنظام الشمسي. وأفضل توقعاتنا حاليًّا هو أن نظامنا الشمسي مستقر، على الأرجح. تتأتى استبصارات مثل هذه من خلال فهم هندسة الأشكال في فضاء الحالة، وليس من خلال محاولة إجراء عمليات حسابية مفصلة تعتمد على الأرصاد الجوية.

هل يمكن أن نستقيَ استبصارات على نحوٍ آمِن من السلوك الرياضي للنظم القليلة الأبعاد؟ تشير هذه النظم إلى ظواهر جديدة تُكتشَف من خلال التجارب، مثل التضاعف الدوري، أو تشير إلى ثوابت جديدة تُحسَب في الطبيعة، مثل رقم فايجنباوم. تمثِّل هذه النظم البسيطة أيضًا مواضع اختبار لأساليب توقعاتنا، وهو أمر خطير إلى حدٍّ ما؛ فهل ظواهر النظم الفوضوية القليلة الأبعاد هي الظواهر نفسها التي نرصدها في النماذج الأكثر تعقيدًا؟ وهل هذه الظواهر شائعة للغاية بحيث إنها تحدث «حتى في» النظم البسيطة القليلة الأبعاد مثل نظام لورنز لعام ١٩٦٣ أو نظام مور-شبيجل؟ أم إن هذه الظواهر ترجع إلى بساطة هذه الأمثلة؟ وهل تحدث هذه الظواهر «فقط في» النظم الرياضية البسيطة؟ تنطبق مسألة «حتى في» أو «فقط في» نفسها على الأساليب المطورة لتوقع النظم الفوضوية أو التحكم فيها، والتي يجري اختبارها في النظم القليلة الأبعاد. هل تحدث هذه الأشياء «حتى في» أو «فقط في» النظم القليلة الأبعاد؟ الإجابة الأقوى حتى الآن هي أن الصعوبات التي نحدِّدها في النظم القليلة الأبعاد نادرًا ما تختفي في النظم المتعددة الأبعاد، بينما الحلول الناجحة لهذه الصعوبات والتي تصلح في حالة النظم القليلة الأبعاد تثبت فشلها في النظم المتعددة الأبعاد. مع إدراكه لحجم خطر المجازفة في التعميم انطلاقًا من نظم ثلاثية الأبعاد، انتقل لورنز إلى نظام يتضمن ٢٨ بُعدًا قبل حوالي ٥٠ عامًا، ولا يزال يضع نظمًا جديدةً اليوم، بعضها يتضمن بُعدَين وبعضها يتضمن ٢٠٠ بُعد.

تؤثِّر الفوضى واللاخطية على مجالات كثيرة. ربما يتمثَّل الاستبصار الأعمق المستخلص هنا في أن الحلول التي تبدو معقدة تكون مقبولة في بعض الأحيان، وليس من الضروري أن تكون بسبب أي تشويش ديناميكي خارجي. لا يشير هذا ضمنًا إلى أن هذه الحلول — في أي حالة بعينها — لا ترجع إلى تشويش خارجي، مثلما لا يقلل من القيمة العملية للنمذجة الإحصائية التصادفية، وهي التي تتمتع بخبرة وممارسة إحصائية جيدة ترجع إلى قرن تقريبًا. ولكنه يشير إلى القيمة المتضمنة في تطوير اختبارات لأي أساليب مستخدمة في تطبيق معين، وفي اختبارات التوافق لجميع أساليب النمذجة المتبعة. يجب أن تكون نماذجنا خاليةً من القيود قدر الإمكان، لكن ليس أكثر مما ينبغي. ربما يكمن الأثر الدائم لهذه النظم البسيطة في قيمتها التعليمية؛ حيث يمكن أن يتعرَّف الشباب على السلوكيات الثرية لهذه النظم البسيطة في وقت مبكر من فترة تعليمهم. من خلال اشتراط التوافق الداخلي، تقيِّد الرياضيات جموح خيالاتنا في تصوير المجازات، ليس لجعلها متسقة مع الواقع الفيزيائي، ولكن لفتح آفاق جديدة في كثير من الأحيان.

جميع الحقوق محفوظة لهنداوي فاونديشن سي آي سي © 2019

تسجيل الدخول

هذا الحساب غير مُفعَّل، يُرجى التفعيل لتسجيل الدخول‎‎

Mail Icon

إنشاء حساب

Mail Icon

لقد أرسلنا رسالة تأكيد التسجيل إلى يرجى التحقق من البريد الوارد الخاص بك وتأكيد بريدك الالكتروني لاستكمال عملية اشتراكك.

نسيت كلمة السر؟

Mail Icon

إذا كان البريد الإلكترونى الذى أدخلتة متصلا بحساب فى هنداوي فاونديشن سي آي سي، فسيتم إرسال رساله مع إرشادات لإعادة ضبط كلمة السر.