الخاتمة

تتكوَّن الرموز الهجائية في تلك الآلة من الرقم ١ وعلامة ⋆. تُظهر وحدة التحكم المحدود أن الآلة يمكن أن تكون في حالةٍ من سبع حالات وهي ، ، …، . ويحتوي جدول التعليمات على صفٍّ لكل حالة محتملة، وعمود لكل رمز محتمَل، ونستخدم الرمز للإشارة إلى الخانة الفارغة، حتى يمكن أن نرى ذلك الرمز. يشار إلى الحالة الحالية بالصف والرمز الممسوح ضوئيًّا بالعمود. يحتوي كل إدخال في جدول التعليمات على ثلاث قيم تصف حركة، أو قد يحتوي على شَرطة، ما يعني أن الآلة ليس لديها ما تفعله في هذه المجموعة الثنائية من الصف والعمود.

يطبِّق مثال آلة تورنج خوارزميةً تحسب الفرق بين العددين و حين تكون ؛ وإلا فسيكون الناتج صفرًا. تسمَّى هذه العملية «الطرح المبتور» ويُكتب بالصيغة a ∸ b. وبذلك يصبح لدينا 4 ∸ 2 = 2 و2 ∸ 4 = 0.

حين تبدأ هذه الآلة عملَها يكون الرأس على خانة المُدخلات أقصى اليسار. تشير وحدة التحكم المحدود إلى الحالة . ثم تبدأ الآلة في العمل وتنفيذ تحرُّكاتها. إذا تتبَّعنا عمل الآلة في أول ست حركات، فسنرى أنها تسير بالنمط التالي:

• (١)
  الآلة في الحالة والرمز الممسوح هو ١:
  
  يعطينا جدول التوجيهات (، ، )، ولذا ستغير الآلة الحالة إلى وستبدل خانة الرقم ١ إلى خانة فارغة وتتحرك جهة اليمين. سيصبح الشريط والرأس كما يلي:
  
• (٢)
  بالنسبة إلى الحالة والرمز الممسوح ١، يعطينا جدول التوجيهات (، 1، ). ستقرأ الآلة القيمة ١ وتكتبها وتترك الخانة كما هي وستتحرك جهة اليمين، بحيث تبقى عند الحالة :
  
• (٣)
  تفعل الآلة كما في الخطوة ٢، حيث تقرأ القيمة ١ وتكتبها وتبقى عند الحالة ، وتتحرك جهة اليمين:
  
• (٤)
  مرة أخرى، ستقرأ الآلة القيمة ١ وتكتبها وتبقى عند الحالة وتتحرك جهة اليمين:
  
• (٥)
  تحرَّك الرأس تاركًا الرمز ⋆ وبقي عند الحالة . التوجيهات هي (، ⋆، ). ستغيِّر الآلة حالتها إلى وتترك الرمز ⋆ على الشريط وتتحرك جهة اليمين:
  
• (٦)
  تحرَّك الرأس مغادرًا الرمز ١ الواقع يمين الرمز ⋆ وأصبح عند الحالة . التوجيهات هي (، ⋆، ). ستغيِّر الآلة حالتها إلى وتبدِّل الرمز ⋆ مكان الرمز ١ وتعود يسارًا:
  

ستستمر الآلة في العمل على هذه الوتيرة بحيث تؤدي التحركات التي يُمليها جدول التوجيهات. إذا نظرنا من مستوًى أعلى، فسندرك أن الآلة تنفِّذ حلقة. ففي كل تكرار، تجد الرمز ١ أقصى اليسار وتبدله إلى خانة فارغة. بعد ذلك تبحث جهة اليمين عن الرمز ⋆. وعندما تجده، تستمر في التحرُّك جهة اليمين حتى تجد الرمز ١ وتحوِّله إلى ⋆. لذا في كل تكرار، تشطب الآلة أحد الرموز ١ يمين ويسار الرمز ⋆. وعند نقطة محدَّدة، لن يعود ذلك ممكنًا. عندئذٍ، ستبدِّل الآلة كل رموز ⋆ إلى خاناتٍ فارغة وتنهي عملها. سيحتوي الشريط على العدد ١١ المكافئ للعدد ٢ محاطًا بخانات فارغة. وللإشارة إلى إنهاء العمل، تدخل الآلة الحالة ، حيث لا يوجد ما تفعله حسب جدول التوجيهات، وعندئذٍ ستتوقف.

إذا زودنا الآلة بمُدخلات في صورة ١١ ⋆ ١١١١، فستعمل الآلة بكامل طاقتها إلى أن تتوقَّف وقد امتلأ الشريط بالخانات الفارغة، وتلك الخانات تساوي صفرًا. إذا أعطينا الآلة أي مدخلات تتكون من من العدد واحد متبوعة بالعلامة النجمية ثم من العدد واحد، فستستمر في حركتها إلى أن تترك الشريط إما بالقيمة من العدد واحد — إذا كانت — أو ستترك الخانات كلها فارغة.

في هذا الكتاب، تناولنا الخوارزميات بمستوًى أعلى وبخطواتٍ أعقدَ. وهذا مريح لنا؛ لأن آلة تورنج تعمل بمستوًى من التفصيل المحدود يجعل استخدامها لوصف الخوارزميات التي تناولناها غير عملي تمامًا. لكن كل الخطوات التي تنطوي عليها الخوارزميات التي تناولناها يمكن عرضها كخطوات لنموذجٍ منشأ على نحوٍ صحيح لآلة تورنج. لقد وصفنا نموذجًا بسيطًا لآلة تورنج لتنفيذ عملية الطرح المبتور. لتنفيذ خوارزميةٍ أعقدَ، كنا سنحتاج إلى نموذج لآلة تورنج ذي حالات أكثر ورموز هجائية أكبر وجدول توجيهات أكبر. لكن ظل بإمكاننا بناء ذلك النموذج لو شئنا.

يمكنك تخيُّل أي كمبيوتر بالقدرات التي تريدها. سيصبح الكمبيوتر أسرعَ بكثير من آلة تورنج التي تعمل على شريطٍ من الرموز كما ذكرنا. ولكن أي شيء يحسبه الكمبيوتر بالخوارزميات، تستطيع آلة تورنج حسابه أيضًا. يمكنك حتى أن تتخيَّل أجهزة كمبيوتر لم نخترعها حتى الآن. تعمل أجهزة الكمبيوتر بوحدات «البت» التي لا توجد إلا بقيمتين هما: ٠ و١. أما «أجهزة الكمبيوتر الكمية» فتعمل بوحدات «الكيوبت». عندما نفحص حالة وحدات الكيوبت، سنجدها مكوَّنة من القيمة ٠ أو ١ مثل وحدات البت. لكن عندما لا نفحص وحدات الكيوبت، فيمكن أن تكون في الحالتين الثنائيتين ٠ و١ فيما يسمَّى ﺑ «التراكب». يبدو الأمر كما لو كانت وحدات الكيوبت تتكوَّن من كلٍّ من ٠ و١ إلى أن نقرِّر قراءتها، وعندها تقرِّر أن تصبح قيمة من هاتين القيمتين. وهذا يتيح لأجهزة الكمبيوتر الكمية أن تعبِّر عن عدة حالات من الحوسبة في وقتٍ واحد. وسيتيح لنا جهاز الكمبيوتر الكمي حلَّ المسائل الحسابية السريعة التي لا يسهُل على أجهزة الكمبيوتر التقليدية حلها. لكن للأسف، بناءُ كمبيوتر كميٍّ صعبٌ في ظل التكنولوجيا الحالية. وحتى الكمبيوتر الكمي لا يستطيع إنجاز مهامَّ لا تستطيع آلة تورنج إنجازها. وعلى الرغم من أن بإمكانه حل بعض المسائل بكفاءة تفوق أي كمبيوتر عادي في الوقت الحالي أو أي آلة تورنج، فإنه لن يستطيع حل أي مسائل لا تستطيع آلة تورنج حلها.

تتجسَّد قيود الحوسبة في آلات تورنج. فأي شيء يمكن للكمبيوتر القيام به يمكننا إنجازه بالورقة والقلم بالعمل على شريط من الرموز. وكل شيء تراه يُنفَّذ على أي جهاز رقمي هو في الواقع سلسلة من عمليات المعالجة الأولية للرموز. في علوم الطبيعة، ننظر إلى الكون ونعتقد أن بمقدورنا تفسير نواميسه باستخدام المبادئ الأساسية. أما في الحوسبة، فالعكس هو الصحيح. فنحن نمتلك المبادئ الأساسية ونعتقد أنه يمكننا تحقيق نجاحات باهرة باستخدامها.

عندما طرح تورنج آلته باعتبارها نموذجًا لحوسبة، لمَّا تكن أجهزة الكمبيوتر الرقمية قد ظهرت بعد. وهذا لم يمنعه من استكشاف إمكانيات أجهزة الحوسبة التي ستُصنع في المستقبل. عندما نفكِّر في حدود أجهزة الكمبيوتر، ينبغي أن نتذكَّر أيضًا العجائب التي أنشأها العقل البشري داخل هذه الحدود. فحدود الحوسبة لم تنتقص من إبداعنا لمواصلة تطوير خوارزميات تصلح لكل مناحي الحياة. عندما اختُرعت الكتابة في بلادِ ما بين النهرين، كان الغرض منها المساعدة في حفظ السجلات، وليس كتابة الأعمال الأدبية. ربما كان الكتَّاب الأوائل محاسِبين، وليس مؤلِّفين، ولكن من تلك البدايات المتواضعة برز ويليام شكسبير. ومن يعلم ما يمكن أن تخرجه الخوارزميات في المستقبل.