الأعداد والتجريد

(١) الطريقة المجردة

قبل بضعة أعوام، استُهِلَّ مقالٌ نقديٌّ في الملحَق الأدبي لجريدة التايمز بالفِقرة التالية:

يمكن الردُّ على هذا الجدل بطرقٍ عدَّة، ومن غير المحتمل أن يأخذه أحدٌ على محمَل الجِد، بمَن فيهم الناقد. ومع ذلك، يُوجَد بالتأكيد فلاسفةٌ يأخذون مسألةَ وجودِ الأعداد من عدمه بجِدِّية، وهو ما يُميِّزهم عن علماء الرياضيات، الذين يجدون مسألةَ وجود الأعداد بديهيةً وواضحة، أو لا يفهمون كُنه المسألةَ المطروحة. يهدف هذا الفصلُ بصفةٍ أساسية إلى شرح الأسباب التي على أساسها يمكن لعلماءِ الرياضيات (بل ويتعيَّن عليهم) تَجاهلُ هذه المسألة التي تبدو في ظاهرها أساسيَّة.

يتجلَّى سخفُ الجدل «البسيط إلى حدِّ السذاجة» بشأنِ وجود الأعداد إذا نظر المرءُ في جدلٍ مُماثل بشأن لُعبة الشِّطْرَنْج. لنفترض أن المَلك الأسود في الشِّطرَنج يُسمَح له أحيانًا بالتحرُّك في اتجاهٍ قُطري مسافةَ مربعٍ واحد، فإنه يترتبُ على ذلك وجودُ قِطَع من الشِّطرنج يُسمح لها أحيانًا بالتحرك في اتجاهٍ قُطريٍّ مُربعًا واحدًا، وهذا يستتبع بدوره وجودَ قِطَع الشطرنج من الأساس. وبالطبع، لا أعني بذلك أن أُشير ببساطةٍ إلى أن الناس أحيانًا يَبْنون ألواحَ الشطرنج — ففي النهاية، يمكن لعبُ الشطرنج من دون هذه الألواح — ولكن ما أعنيه هو النتيجة الفلسفية الأكثر «إذهالًا»؛ بأنَّ قِطَع الشطرنج تُوجَد بشكلٍ مُستقلٍّ عن مَظاهرها المادية.

ما الذي يَعنيه الملكُ الأسود في لُعبة الشطرنج؟ هذا سؤالٌ غريب، ويبدو أن أحسنَ طريقة للتعامل معه هي تنحيتُه جانبًا قليلًا. فماذا عساه أن يفعل المرءُ أكثرَ من الإشارة إلى لوح الشِّطرنج وشرحِ قواعد اللُّعبة، ربما مع إيلائه اهتمامًا خاصًّا لدور الملك الأسودِ في أثناء ذلك؟ ما يُهم في الملك الأسود ليس وجوده ولا طبيعته الذاتية، ولكن الوظيفة التي يُؤدِّيها في اللُّعبة.

الطريقة المجرَّدة في الرياضيات، كما تُسمَّى أحيانًا، هي النتائج المترتِّبة على اتخاذ المرءِ موقفًا مُماثلًا تجاهَ الكائنات الرياضية. يمكن تلخيصُ هذا الموقف في الشِّعار الآتي: يَكمُن معنى الكائن الرياضي في وظيفته. كثيرًا ما ظهرَت شِعاراتٌ مُشابهةٌ في فلسفةِ اللغة، وهي شِعاراتٌ يمكن أن تكون مثيرةً للجدل على نحوٍ كبير. وفيما يلي مِثالان على ذلك: «في اللغة لا يُوجَد سِوى الفروقِ والاختلافات»، و«يكمن معنى الكلمةِ في استعمالها في اللُّغة»، ويرجع هذان المثالان إلى سوسور وفيتجنشتاين على الترتيب (راجع جزء «قراءات إضافية»)، ويمكن للمرء أن يُضيف الرأيَ الذي اجتمَع عليه أنصارُ الوضعية المنطقية، وهو أنَّ: «معنى أيِّ تصريح يكمُن في طريقة التحقُّق من صحته». فإذا وجدتَ أن تصريحي غيرُ مُستساغ لأسبابٍ فلسفيَّة، فعليك عندَئذٍ أن تُفكِّر فيه من منظورِ أنه موقفٌ يمكن للمرء تبنِّيه أحيانًا، وذلك بدلًا من اعتباره حُكمًا أو تصريحًا مُطلقًا يفتقر إلى وجود بيِّنة أو دليل. وفي الواقع، من الضروري للمرء أن يتمكَّن من تبنِّي هذا الموقف من أجل أن يتوصَّل إلى فَهمٍ صحيح للرياضيات المتقدِّمة، وهذا ما آمُل أن أوضِّحه هنا.

(٢) الشِّطرنج بدون قطع فعلية

شكل ٢-١: بداية المباراة عند اللاعب الأبيض، ولدَيه استراتيجية رابحة

هذا النموذج المرسوم لِلُعبة الشطرنج، وإن كان غيرَ عمَلي بالمرة؛ لوجود عددٍ كبير جدًّا من مواضع الشطرنج الممكِنة، فإنه مِثاليٌّ من منظورِ أن المباراة الناتجةَ تُكافئ تمامًا مباراةَ الشطرنج الحقيقية. ومع ذلك، فإنني عندما عرَّفتُه لم أذكر قِطعَ الشطرنج أبدًا. ومن هذا المنطلق، يبدو من غير العاديِّ تمامًا أن نسأل عن وجود الملكِ الأسوَد؛ لوح الشطرنج وقِطَعُه ما هي إلا مبادئُ مُنظِّمة ملائمة، تُساعدنا على التفكير في النسَق المذهل للرءوس والأضلاع في الرسوم الكبيرة. إذا قُلنا شيئًا مثل «الملك الأسود معرَّض للتهديد» فإن ذلك يعني اختصارًا لجملةٍ تُعيِّن قائمةً طويلة للغاية من الرءوس، وتُخبرنا أن اللاعبَيْن قد وصلا إلى أحَدِها.

(٣) الأعداد الطبيعية

شكل ٢-٢: مفهوم الخَمْسية

شكل ٢-٣: طرقُ تمثيل الأعداد و و (مرتَيْن)

بعبارةٍ أخرى، لا يُشترَط أن تكون الأعداد كبيرةً للغاية للتوقُّف عن التفكير فيها ككائناتٍ معزولة، والبدء في فَهمِها من خلالِ خصائصها، ومن خلال علاقتها بالأعداد الأخرى، ومن خلال دَورها في نظام الأعداد. هذا ما قصَدتُ إليه عند حديثي عن «وظيفة» العدد.

بطبيعة الحال، لن يَعبأَ أحدٌ بطرح هذا السؤال، لكن في حالِ طَرْحِه، يمكننا الإجابةُ بأن:

يُسمَّى هذان القانونان بقانون الإبدال وقانون التجميع في عملية الضرب. دعوني أسرُدْ لكم بعضَ القواعد، بما فيها هذان القانونان، التي نستخدمها عادةً عند الجمع والضرب.

•••

(٤) الصفر

تاريخيًّا، تطوَّرَت فكرةُ العدد صفر في وقتٍ لاحِق من تطوُّرِ فكرة الأعداد الموجبة. وبدا هذا غامضًا ومتناقضًا لكثيرٍ من الناس، حيث أثار الأمر أسئلةً من قَبيل: «كيف يُمكن لشيءٍ أن يكون موجودًا وهو مع ذلك لا شيء؟» ولكن من وجهةِ النظر المجرَّدة، فإنَّ للصفر معنىً مباشرًا للغاية؛ وهو أنه مجردُ رمزٍ جديد دخَل في نظامنا العدديِّ وله الخاصيةُ المميزة التالية.

وهذا هو كل ما تحتاج إلى معرفته عن الصفر. ليس ما يَعنيه الصفر في ذاته، ولكن مجرد قانون صغير يُخبرك بوظيفته.

لماذا أُعطي هذا البرهانَ المستفيض لإثبات حقائقَ أوليةٍ للغاية؟ مرةً أخرى، ليس لأنني أجدُ البراهين ممتعةً رياضيًّا، ولكن لأنني أرغبُ في بيانِ ما يَعنيه تعليلُ الجُمَل الحسابية وتسويغُها بطريقةٍ مجرَّدة (باستخدام بعض القواعد البسيطة، دون أن نُجهِد أنفسنا بماهيَّة الأعداد فعليًّا) بدلًا من التفسير المادي الملموس (بالتفكر فيما تَعنيه الجُمَل). ومن المفيد جدًّا — بالطبع — أن نَربط المعانيَ والصور الذهنية بالكائنات الرياضية، لكن، كما سنرى كثيرًا في هذا الكتاب، غالبًا ما يكون هذا الربطُ غيرَ كافٍ لإخبارنا بما علينا فِعلُه في السياقات الجديدة غيرِ المألوفة. ولهذا، تصبح الطريقة المجردة لا غِنَى عنها.

(٥) الأعداد السالبة والكسور

في الواقع، نحتاج إلى قانونَين آخَرين لتوسيع نظام الأعداد على هذا النحو: أحدهما لإدخال الأعداد السالبة، والآخَر لإدخال الكسور، أو الأعداد النسبية، كما هي معروفةٌ عادةً.

يقتضي قانونا المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي قانونَين آخرَين، يُعرَفان بقوانين الحذف.

يمكن التحقُّق من هذه الطريقة، وغيرِها، باستخدام القوانين الجديدة التي ذكَرناها أعلاه. على سبيل المثال،

وكذلك

لماذا يبدو لكثيرٍ من الناس أن الأعداد السالبة أقلُّ واقعيةً من الأعداد الموجبة؟ ربما لأن عدَّ مجموعاتٍ صغيرة من الأشياء يعدُّ نشاطًا أساسيًّا بين الناس، وعند عملِه لا يتطلَّب الأمرُ استخدام الأعداد السالبة. لكن، هذا كلُّه يعني أن نظام الأعداد الطبيعية، باعتباره نموذجًا، يكون مفيدًا في حالاتٍ مُعيَّنة، ولكن النظام الموسَّع للأعداد ليس كذلك. فإذا أردنا أن نُفكِّر في درجات الحرارة أو التواريخ أو الحسابات البنكية، فإن الأعداد السالبة تُصبح مفيدة فعلًا. وما دام النظام العدديُّ الموسَّع متَّسقًا منطقيًّا، فلا يوجد ضررٌ من استعماله نموذجًا.

(٦) الأعداد الحقيقية والمركبة

يتكوَّن نظام الأعداد الحقيقية من جميع الأعداد التي يمكن تمثيلُها بكسورٍ عشريةٍ غيرِ منتهية. هذا المفهوم أكثرُ تعقيدًا مما يبدو؛ لأسبابٍ ستُشرَح في الفصل الرابع. أما الآن، فدعني أقُلْ لك إن سبب توسيع نظام الأعداد من الأعداد النسبية إلى الأعداد الحقيقية مماثلٌ لسببِ تقديمنا للأعداد السالبة والكسور؛ إنها تُمكِّننا من حلِّ مُعادلاتٍ لا يمكن حلُّها بدونها.

يتوازى ذلك مع مسألةٍ فلسفية شهيرة. هل يمكن أن يكون إحساسُك عند ملاحظتك اللونَ الأحمر هو ما أتصوَّرُه أنا عند ملاحظتي اللونَ الأخضر، والعكس صحيح؟ بعضُ الفلاسفة يتعاملون مع هذا السؤال على نحوٍ جِدِّي ويُعرِّفون «الكيفيات المحسوسة» بأنها خِبراتنا الذاتية المطلقة عندما نرى الألوان على سبيل المثال. بينما لا يعتقد الفلاسفةُ الآخَرون في الكيفيات المادية المحسوسة. ذلك أنهم يرَون أن كلمةً مِثل «أخضر» تُعرَّف بطريقةٍ أكثر تجريدًا بدَورها في نظامٍ لُغويٍّ ما؛ أي بعلاقاتها بمفاهيمَ مثل «عُشب»، «أحمر»، وهكذا. ومن غير الوارد استنتاج موقفِ شخصٍ ما من هذا المقال من طريقةِ كلامه عن اللون، باستثناء خلال المناقشات الفلسفيَّة. وبالمثل، فإن كلَّ ما يهمُّ عَمليًّا فيما يخصُّ الأعدادَ وغيرها من الكائنات الرياضية هو القوانين التي تتبعُها.

(٧) لمحةٌ مبدئية عن المالانهاية

(٨) رفع الأعداد لقُوًى سالبةٍ وكسريَّة

من أعظم فوائد الطريقة المجردة أنها تسمح لنا بإسباغ معنًى على المفاهيم المألوفة في المواقف غير المألوفة. ومن المناسِب هنا اختيارُ عبارة «إسباغ معنًى» حيث إن هذا ما نفعله ببساطة، وليس اكتشاف معنًى موجودٍ من قبل. ومثالٌ بسيط على ذلك الطريقة التي نوسِّع بها مفهومَ رفعِ عددٍ إلى قوة.

وفيما يلي القانونان الأساسيَّان لرفعِ الأعداد إلى قُوًى:

سوف أناقش عددًا من المفاهيم ذات الطبيعة المماثلة في جزءٍ لاحقٍ من الكتاب. تبدو هذه المفاهيمُ ضَربًا من الغموض إذا حاولتَ أن تفهمها فَهمًا ملموسًا، لكنها تفقد غُموضها إذا استرخيتَ، ولم تعبَأْ بماهيَّتِها، واستخدمتَ الطريقةَ المجردة في التفكير.