الفصل السادس

الزمكان في ضوء نظرية المبرومات

آر بنروز

دعوني أبدأ حديثي ببعض الملحوظات حول محاضرة ستيفن الأخيرة:

  • كلاسيكية القطط: قال ستيفن إن وجود منطقة معيَّنة في الزمكان لا يمكن الوصول إليها يدفعنا إلى التعريف بالاستعانة بمصفوفة الكثافة. بيدَ أن ذلك ليس كافيًا لتفسير الطبيعة الكلاسيكية للملاحظات المرصودة في المنطقة التي نحن فيها. إن مصفوفة الكثافة التي تعبِّر عن احتمال العثور إما على قطةٍ حية أو قطةٍ ميتة هي نفس مصفوفة الكثافة التي تعبِّر عن مزيج من التراكبَين:
    و:

    لذلك فإن مصفوفة الكثافة وحدها لا تُخبرنا عما إذا كنَّا نرى قطةً حية أو ميتة، أو أحد هذين التراكبَين. كما حاولت أن أبرهن في نهاية محاضرتي الأخيرة، نحن بحاجة لمعرفة المزيد.

  • فرضية انحناء فايل (WCH): حسبما فهمت من حديث ستيفن حول موقفه من هذا الأمر، لا أعتقد أننا مختلفان اختلافًا كبيرًا حول هذه النقطة. إن قيمة انحناء فايل لمتفردةٍ أولية هي صفر تقريبًا، وفي حالة المتفردات النهائية تكون قيمة انحناء فايل كبيرة. ذهب ستيفن إلى أنه لا بد وأن يكون ثَمة تقلباتٌ كمية صغيرة في الحالة الأولية؛ ومن ثَم أشار إلى أنه لا يمكن للفرضية القائلة بأن انحناء فايل الأولي صفر بالضبط أن تكون فرضيةً معقولة. لا أعتقد أننا نختلف حقًّا في ذلك. إن فكرة أن انحناء فايل قيمته صفر عند المتفردة الأولية هي فكرةٌ كلاسيكية، وبالتأكيد ثَمة قدر من المرونة في صياغة العبارة التي تعبِّر بدقة عن الفرضية. الاضطرابات الطفيفة أمرٌ مقبول من وجهة نظري بالتأكيد في النظام الكمي، ونحتاج فقط إلى شيء يُبقيها قريبة جدًّا من الصفر. قد نتوقع أيضًا وجود تقلبات حرارية في موتِّر ريتشي (بسبب وجود المادة) في المراحل المبكرة من عمر الكون، وهذه قد تؤدي في النهاية إلى تكوين من الثقوب السوداء من خلال فرضية «عدم استقرار جينس». وحينها، يكون للمنطقة المُتاخمة للمتفردات الموجودة في هذه الثقوب السوداء انحناء فايل كبير، ولكنها متفرداتٌ نهائية وليست أولية، وهو ما يتسق مع فرضية انحناء فايل.
    أتفق مع ستيفن في أن فرضية انحناء فايل «قائمة على الظاهر»؛ أي أنها فرضية تدرس الظواهر وليست تفسيرية؛ فهي تحتاج إلى نظريةٍ أساسية لتفسيرها. ربما تكون «فرضية غياب الحدود» (NBP) لهارتل وهوكينج تمثيلًا جيدًا لهيكل «الحالة الأولية»، لكن يبدو لي أننا بحاجة إلى شيءٍ مختلف تمامًا ليتناسب مع الحالة «النهائية». تحديدًا، لا بد للنظرية التي تُفسر بنية المتفردات أن تخرق كلًّا من تناظر المعكوس الزمني T، وتناظر التكافؤ والمعكوس الزمني PT، وتناظر الشحنة والمعكوس الزمني CT، وتناظر الشحنة والتكافؤ والمعكوس الزمني CPT، حتى يظهر شيء له طبيعة فرضية انحناء فايل. إن فشل التناظر الزمني هذا قد يكون أمرًا غريبًا؛ فلا بد أن يكون واضحًا في قواعد تلك النظرية التي تتخطَّى حدود ميكانيكا الكم. ذهب ستيفن إلى أنه في ضوء إحدى مبرهنات نظرية المجال الكمي المعروفة، نتوقع أن تكون النظرية خاضعة لتناظر CPT. لكن برهان هذه المبرهنة يفترض أن القواعد المعتادة لنظرية المجال الكمي تنطبق هنا، وأن فضاء الخلفية مسطح. أعتقد أنني وستيفن متفِقان على أن الشرط الثاني غيرُ متحقق، كما أعتقد أن الافتراض الأول يسقط.

    كما يبدو لي أن وجهة النظر التي يطرحها ستيفن فيما يخصُّ فرضية غياب الحدود لا تعني أنه لا توجد ثقوب بيضاء. إن كنتُ أفهم وجهة نظره على نحوٍ صحيح، فهو يقصد أن فرضية غياب الحدود تعني أنه يوجد حلَّان أساسيان: أحدهما (أ) تزداد فيه الاضطرابات كلما ابتعدنا عن المتفردة، والآخر (ب) تخفت فيه الاضطرابات تمامًا. يُناظر الحل بالأساس «أ» الانفجار الكبير، في حين أن الحل «ب» يصف متفردات الثقوب السوداء والانسحاق العظيم. ينطلق سهمُ الزمن — المحدَّد من قِبل القانون الثاني للديناميكا الحرارية — من حلٍّ من النوع «أ» إلى حلٍّ من النوع «ب». لكن لا يمكنني فهمُ كيف يستبعد هذا التفسير لفرضية غياب الحدود الثقوبَ البيضاءَ من النوع «ب». على صعيدٍ آخر، أنا قلِقٌ حيال «عملية استخدام الفضاء الإقليدي». تعتمد رؤيةُ ستيفن على حقيقة أنه يمكننا إلصاقُ حلٍّ إقليدي بحل لورنتز، بيدَ أنه توجد فضاءاتٌ قليلة جدًّا يمكننا فيها فعل ذلك؛ إذ يتطلب الأمر أن يتضمن الاثنان قِسمًا إقليديًّا وآخر لورنتزيًّا. لكن الحالة العامة بعيدة كلَّ البعد بكل تأكيد عن ذلك.

(١) المبرومات وفضاء المبرومات

لكن ما الفائدة الحقيقية من عملية استخدام الفضاء الإقليدي في نظرية المجال الكمي؟ تتطلب نظرية المجال الكمي انقسامَ كميات المجال إلى أجزاء تردُّد موجبة وأخرى سالبة؛ تنطلق الأولى للأمام في الزمن، بينما تتحرك الأخيرة في اتجاه الخلف. وللحصول على ما يساعد النظرية على التقدم، نحتاج إلى انتقاء جزء التردد الموجب (أي الجزء ذو الطاقة الموجبة). وتوجد طريقة «مختلفة» لإتمام هذا الانقسام، وهي باستخدام «نظرية المبرومات» twistor theory، بل إن هذا الانقسام كان في الواقع أحدَ الأمور الهامة التي شجَّعت في الأصل على طرح فكرة المبرومات، أو التويستورات twistors (انظر بنروز ١٩٨٦).
لشرح ذلك بالتفصيل، دعونا نتحدث أولًا عن الأعداد المركبة الأساسية لنظرية الكم، والتي يشكِّل هيكلُها أيضًا أساسَ هيكل الزمكان، كما سنكتشف. الأعداد المركبة هي الأعداد التي تتخذ الصورة ، حيث و عددان حقيقيان، و يحقِّق المعادلة ، ويُرمَز لمجموعة هذه الأعداد بالرمز . يمكننا تمثيل هذه الأعداد على مستوًى (المستوى المركب)، أو إذا أُضيفت نقطة في اللانهائية يمكننا حينها تمثيل الأعداد على كرة، وهي «كرة ريمان». تُعَد كرة ريمان مفهومًا مفيدًا جدًّا في مجالاتٍ كثيرة من الرياضيات، مثل التحليل والهندسة، ولكن أيضًا في الفيزياء. يمكن إسقاط الكرة على مستوًى (بالترافق مع نقطة في اللانهائية). مرِّر المستوى عبر خط استواء الكرة، وصِلْ بين أي نقطة على الكرة والقطب الجنوبي. النقطة التي يتقاطع عندها هذا الخط مع المستوى هي النقطة المقابلة على المستوى. لاحِظ أنه في هذا المخطط يتصل القطب الشمالي بنقطة الأصل، والقطب الجنوبي باللانهائية، ويتراكب المحور الحقيقي على دائرةٍ رأسية تمرُّ بالقطبين الشمالي والجنوبي. يمكننا تدوير الكرة لتصبح الأعداد الحقيقية مناظرة لخط الاستواء، وأريد الوقوف عند هذا التصور قليلًا (انظر الشكل ٦-١).
fig66
شكل ٦-١: كرة ريمان التي تمثِّل جميع الأعداد المركبة، بالترافق مع نقطةٍ لا نهائية .
فلنفرض أن لدينا دالةً قيمُها أعدادٌ مركبة في متغيرٍ حقيقي . حسبما ذكرت أعلاه، يمكننا التعامل مع باعتبارها دالةً مُعرَّفة على خط الاستواء. والفائدة من تبنِّي وجهة النظر هذه هي أنه يوجد معيارٌ طبيعي لتحديد ما إذا كانت الدالة ذات تردد موجب أو سالب: تكون الدالة دالةً ذات تردد موجب إذا كان بالإمكان مدُّ نطاقها لتصبح دالةً تامة الشكل (تحليلية مركبة) على نصف الكرة الشمالي، وبالمثل تكون الدالة دالة ذات تردد سالب إذا كان من الممكن مدُّها بالمثل إلى نصف الكرة الجنوبي. يمكن تقسيم دالة عامة إلى جزأين بترددٍ موجب وترددٍ سالب. تتلخص فكرة نظرية المبرومات Twistors في أن نستخدم هذه الوسيلة على الزمكان نفسه بطريقةٍ عامة. لدينا مجال على فضاء منكوفسكي للزمكان، ونريد أن نَقْسمه، على نحوٍ مُماثل، إلى جزأين بترددٍ موجب وترددٍ سالب. لفهم عملية الانقسام هذه، سنبني فضاء المبرومات. (انظر بنروز وريندلر ١٩٨٦، وهوجيت وتود ١٩٨٥، لمعرفة المزيد عن المبرومات.)

قبل أن نفعل ذلك بالتفصيل، دعونا أولًا نفهم دورَين مهمَّين تلعبهما كرة ريمان في الفيزياء.

fig67
شكل ٦-٢: فضاء اتجاهات المغزل لجسيمٍ لفه المغزلي هو كرة ريمان ذات النسبة للسعتين (اللف المغزلي لأعلى) و (اللف المغزلي لأسفل).
  • (١)
    قد تكون الدالة الموجية لجسيمٍ لفه المغزلي في تراكب بين «لأعلى» و«لأسفل»:
    ويمكن تمثيل هذه الحالة برسم نقطة على كرة ريمان، وهذه النقطة مناظرة للنقطة التي يتقاطع عندها المحور الموجب للف المغزلي — الذي أُخرج من المركز — مع الكرة. (لتمثيل لف مغزلي أعلى يوجد تركيبٌ أكثر تعقيدًا طرَحه في الأصل ماجورانا عام ١٩٣٢؛ وانظر أيضًا بنروز ١٩٩٤، الذي يستخدم كذلك كرة ريمان.) يربط ذلك السعات المركبة لميكانيكا الكم بهيكل الزمكان (انظر الشكل ٦-٢).
    fig68
    شكل ٦-٣: الكرة السماوية من منظور الراصد — حسب النظرية النسبية — عادةً ما تكون كرة ريمان.
  • (٢)
    تخيَّل أنه يوجد راصد عند نقطة معيَّنة في الزمكان يُشاهد النجوم في الفضاء، وافترض أنه يحدِّد الموضع الزاوي لهذه النجوم على كرة. إذا مرَّ راصدٌ آخر بنفس النقطة في نفس الوقت، ولكن بسرعةٍ متجهة بالنسبة إلى الراصد الأول، فإنه — بسبب تأثيرات الانحراف — سيحدِّد النجوم في مواضع مختلفة على الكرة. الجدير بالملاحظة في الأمر أن المواضع المختلفة للنقاط على الكرة يرتبط بعضها ببعض عن طريق نوع خاص من التحويلات يُسمى «تحويل موبيوس». يشكِّل هذا النوع من التحويلات تحديدًا المجموعة التي تُحافظ على الهيكل المركب لكرة ريمان؛ ومن ثَم فإن فضاء أشعة الضوء المارَّة عبر نقطة في الزمكان هو، بطبيعته، كرة ريمان. إضافةً إلى ذلك، فإن فكرة أن مجموعة التناظر الأساسي في الفيزياء التي تربط بين راصدين يتحركون بسرعاتٍ متجهة مختلفة — وهي مجموعة لورنتز (المقيدة) — يمكن اكتشاف أنها مجموعة تشكُّل ذاتي للمُنطوية الأبسط ذات البعد الأحادي (المركب) — التي هي كرة ريمان — هي فكرة جميلة جدًّا في رأيي (انظر الشكل ٦-٣، وبنروز وريندلر ١٩٨٤).
تتمحور الفكرة الأساسية في نظرية المبرومات حول محاولة الاستفادة من هذا الرابط بين ميكانيكا الكم وهيكل الزمكان — كما يظهر في كرة ريمان — عن طريق توسيع نطاق هذه الفكرة لتشمل الزمكان بأكمله. سنُحاول اعتبار أشعة الضوء بأكملها أكثر أهمية حتى من نقاط الزمكان. وبهذه الطريقة، نعتبر الزمكان مفهومًا ثانويًّا، ونعتبر فضاء المبرومات — الذي هو في الأصل فضاء أشعة الضوء — هو الفضاء الأساسي والأهم. يرتبط هذان الفضاءان بتناظُر يمثِّل أشعة الضوء في الزمكان في صورة نقاط في فضاء المبرومات؛ ومن ثَم تُمثَّل نقطة في الزمكان بمجموعة أشعة الضوء التي تمرُّ عبرها؛ ولذلك فإن نقطة الزمكان تتحول إلى كرة ريمان في فضاء المبرومات. علينا التفكير في فضاء المبرومات باعتباره الفضاء الذي ينبغي أن نصف به مبادئ الفيزياء (انظر الشكل ٦-٤).
fig69
شكل ٦-٤: حسب تناظر المبرومات الأساسي، تتمثل أشعة الضوء في زمكان (منكوفسكي) في نقاط في فضاء المبرومات الإسقاطي، وتتمثل نقاط الزمكان في كرات ريمان.
حتى الآن، عرضت لكم فضاء المبرومات باعتبار أن له خمسةَ أبعاد (حقيقية)؛ ومن ثَم لن يكون فضاءً مركبًا، حيث إن الفضاءات المركبة دائمًا تكون ذات أبعاد زوجية (حقيقية). إذا اعتبرنا أن أشعة الضوء هي تواريخ فوتونات، فإن علينا أيضًا الأخذ في الاعتبار طاقة الفوتون، وأيضًا مدى لولبته، التي قد تكون يساريةً وفق قاعدة اليد اليسرى، أو يمينيةً وفق قاعدة اليد اليمنى. الأمر أكثر تعقيدًا من مجرد شعاع ضوئي، لكن ميزة هذا أننا نحصل في النهاية على فضاء ثلاثي إسقاطي مركب (ذي ستة أبعاد حقيقية)، . هذا هو «فضاء المبرومات الإسقاطي» ( ). وله فضاءٌ فرعي خماسي الأبعاد ، يقسم الفضاء إلى جزأين؛ أحدهما يساريٌّ وفق قاعدة اليد اليسرى، والآخر يمينيٌّ وفق قاعدة اليد اليمنى: و .
والآن، تُمثَّل النقاط في الزمكان بأربعة أعداد حقيقية، ويمكن تحويل فضاء المبرومات الإسقاطي إلى نظامٍ إحداثي عن طريق النسب بين الأعداد المركبة الأربعة. إذا كان شعاع ضوئي، ممثَّل ﺑ في فضاء المبرومات، يمرُّ بالنقطة في الزمكان، فإن علاقة «الحدث» الآتية:
(6-1)
تكون متحققة. إن علاقة الحدث (6-1) تُشكِّل أساسَ تناظر المبرومات.
سأحتاج هنا إلى إدخال رمز ثنائي السبينورات إلى المعادلات. عادةً ما يلتبس الأمر على الناس بدايةً من هنا، لكن في حالة إجراء أي نوع من العمليات الحسابية، سيكون هذا الرمز مفيدًا جدًّا. لأي متجه رباعي ، عرِّف الكمية ، المعطاة مصفوفة مركباتها على النحو الآتي:
وحتى يكون عددًا حقيقيًّا، لا بد ببساطةٍ أن تكون المصفوفة «هيرميتية». تُعرَّف أي نقطة في فضاء المبرومات باثنتين من السبينورات، ومركباتها هي:
حينها تصبح علاقة الحدث ( 6-1):
وينبغي ملاحظة أنه عند تحرك نقطة الأصل من مكانها، الذي يترتب عليه تبديل على النحو الآتي:

نحصل على:

بينما تظل كما هي:
يمثِّل المبروم مركبات الزخم الأربعة (ثلاثة منها مستقلة)، ومركبات الزخم الزاوي الستة (أربعة منها مستقلة) لجسيم ليس له كتلة. التعبيرات الرياضية هي:
حيث الأجزاء بين الأقواس تمثِّل الجزء المُتناظر، و و هما رمزَا ليفي-سيفيتا المائلان. تتضمن هذه التعبيرات الرياضية حقيقة أن الزخم يُساوي صفرًا وباتجاه المستقبل، وأن متجه اللف المغزلي باولي-لوبانسكي هو مدى اللولبية مضروبًا في الزخم الرباعي. تحدِّد هذه الكميات متغيرات المبرومات وصولًا إلى مضاعفٍ كلي لطور المبروم أو التويستور. ويمكن كتابة مدى اللولبية في الصورة الآتية:
حيث مُرافق العدد المركب للمبروم هو المبروم «المزدوج» . (لاحِظ أن ترافق العدد المركب يحوِّل أسس السبينورات من الشرطة إلى غياب الشرطة والعكس، كما يحوِّل المبرومات إلى مبروماتٍ مزدوجة والعكس.) وهنا يمثِّل الجسيمات اليمينية؛ ومن ثَم هو ما نُطلِق عليه النصف العلوي من فضاء التويستور ، ويمثِّل الجسيمات اليسارية؛ أي النصف السفلي . أما فهي الحالة التي نحصل فيها على أشعةٍ ضوئية فعلية (ومن ثَم فإن المعادلة التي تعبِّر عن ، وهو فضاء أشعة الضوء، هي ؛ أي إن ).

(٢) المبرومات الكمية

نتمنى لو يصبح لدينا نظريةٌ كمية للمبرومات، ومن أجل هذا علينا تعريف دالة موجية للتويستور في فضاء المبرومات، وهي دالة قيمُها أعدادٌ مركبة: . ليست كلُّ دالة هي بالبداهة دالة موجية؛ إذ إن يتضمن مركبات تتعلق بمتغيراتٍ موضعية، وكذلك جميع متغيرات الزخم، ولا يمكننا استخدام كل هذه المتغيرات في وقتٍ واحد في دالةٍ موجية. إن الموضع والزخم لا يحلُّ كلٌّ منهما محلَّ الآخر. وفي فضاء المبرومات، تكون العلاقات التبادلية كما يأتي:
ولذلك فإن و متغيران مترافقان، ولا بد للدالة الموجية أن تكون دالة في أحدهما فقط وليس في الآخر. هذا يعني أنه لا بد للدالة الموجية أن تكون دالةً تامة الشكل (أو دالة مرافق تامة الشكل) في .

وعلينا الآن النظر في مدى اعتماد التعبيرات السابقة على ترتيب العمليات الحسابية. يتضح لنا أن تعبيرات الزخم والزخم الزاوي لا تعتمد على الترتيب؛ ومن ثَم فهي محددة قانونيًّا. على الجانب الآخر، يعتمد تعبير اللولبية على الترتيب، وعلينا اتِّباع التعريف الصحيح. علينا إذن أن نستخدم الضرب التناظري؛ أي:

ويمكن إعادة التعبير عنه أيضًا في صورة فضاء على النحو الآتي:
ويمكننا تحليل دالة موجية إلى حالاتٍ ذاتية ﻟ . وتكون هذه حينها هي بالضبط الدوال الموجية ذات التجانس المحدد. على سبيل المثال، الجسيم الذي ليس له مغزلية ومدى لولبيته صفر له دالة تويستور موجية درجةُ تجانسها . والجسيم اليساري الذي لفه المغزلي تكون لولبيته ؛ ومن ثَم يكون له دالة تويستور موجية مقدارُ تجانسها . أما النسخة اليمينية من هذا الجسيم (بلولبيةٍ مقدارها ) فلها دالة تويستور موجية درجةُ تجانسها . وللف المغزلي 2، يكون لدالة التويستور الموجية اليمينية والأخرى اليسارية درجتَا تجانس و على الترتيب.

قد يبدو هذا الأمر غريبًا؛ إذ إن النسبية العامة في النهاية متناظرة الجانبين، لكن قد لا يكون ذلك أمرًا سيئًا؛ فالطبيعة نفسها غير متناظرة الجانبين، كما أن «المتغيرات الجديدة» لأشتيكار — وهي أدواتٌ قوية جدًّا تُستخدم في النسبية العامة — هي أيضًا غير متناظرة الجانبين. ومن المُثير للاهتمام أن نجد أنفسنا ننتهي إلى لا تناظرية الجانبين تلك بهذه الطرق المختلفة.

قد نظن أنه بإمكاننا استعادة التناظرية بتغيير ، مع عكس جدول التجانس، ثم استخدام للولبية و للولبية الأخرى. لكن كما أنه لا يمكننا الخلطُ بين صور فضاء الموضع وفضاء الزخم في وقتٍ واحد في نظرية الكم العادية بهذه الطريقة، بالمثل لا يمكننا الخلط بين صور و . علينا أن نختار أحدهما ونترك الآخر. ولا نعرف بعدُ إذا كان أحدهما أهمَّ من الآخر.
بعد ذلك نريد الحصول على توصيفٍ زمكاني للدالة ، وسنفعل ذلك من خلال تكامل كنتوري كما يأتي:
حيث يُحسب التكامل على المحيط الخارجي في فضاء تلك الأعداد الساقطة مع (تذكَّر أن الأعداد تتكوَّن من جزأين: و )، ويعتمد عدد الأجزاء أو على مغزل المجال (وكونه يمينيًّا أو يساريًّا). تُعرِّف هذه المعادلة مجالًا زمكانيًّا يحقِّق تلقائيًّا معادلات المجال للجسيم العديم الكتلة؛ ومن ثَم فإن قيود الدوال التامة الشكل لمجالات المبرومات تنشأ عنها كلُّ معادلات المجال المعقدة لجسيمٍ عديم الكتلة، على الأقل لمجالٍ خطي في الفضاء المسطح، أو حد الطاقة الضعيف في مجال أينشتاين.
هندسيًّا، تظهر النقطة في الزمكان في صورة خط (الذي هو كرة ريمان) في فضاء التويستور، ولا بد لهذا الخط أن يقطع المنطقة التي تكون فيها الدالة مُعرَّفة. الدالة بشكلٍ عام ليست معرَّفة في كل مكان، وفي بعض المناطق تكون متفردة (وبالطبع نحاوط هذه المناطق المتفردة من أجل حساب التكامل الكنتوري). لنكون أكثر دقة من الناحية الرياضية، نقول إن دالة التويستور هي عنصر «كوهومولوجي». ولفهم ذلك، انظر إلى مجموعة من المناطق المفتوحة في جوار منطقة فضاء التويستور التي نحن مُهتمون بها. لا بد حينها أن تعرَّف دالة التويستور على منطقة «تقاطع» أزواج من هذه المجموعات المفتوحة، ويعني ذلك أنها عنصر من الكوهومولوجي الحزمي الأول. لن أخوض في هذا الأمر بالتفصيل، لكن تعبير «الكوهومولوجي الحزمي» يكفي لإثارة اهتمامكم!
تذكَّر أن ما نريده حقًّا، بالتشابه مع نظرية المجال الكمي، هو أن نتوصل إلى طريقة لفصل أجزاء التردد الموجب عن السالب في سعات المجال. إذا كانت دالة من دوال التويستور المعرفة على تمتد (باعتبارها عنصرًا من الكوهومولوجي الأول) حتى تصلَ إلى النصف العلوي من فضاء التويستور ، فإن تردُّدها يكون موجبًا. وإذا امتدَّت إلى النصف السفلي من ، يكون ترددها سالبًا؛ ومن ثَم فإن فضاء التويستور يلتقط الترددات الموجبة والسالبة.
تُتيح لنا عمليةُ الفصل هذه دراسة فيزياء الكم في فضاء المبرومات. وقد طوَّر أندرو هودجز (١٩٨٢، و١٩٨٥، ١٩٩٠) طريقةً لدراسة نظرية المجال الكمي باستخدام مخططات المبرومات، وهي تُشبِه مخططات فاينمان في الزمكان. باستخدامها توصَّل هودجز إلى طُرقٍ جديدة تمامًا لضبط نظرية المجال الكمي. وهي طرق لن يفكر أحدٌ في اتِّباعها في دراسة الزمكان بالنهج المُعتاد، ولكنها طبيعية جدًّا في المبرومات. كما توجد زاويةٌ جديدة، نشأت في الأصل من فكرةٍ طرَحها مايكل سنجر (هودجز وبنروز وسنجر ١٩٨٩)، أثارتها كذلك «نظرية المجال المطابق» (CFT). ألقى ستيفن ببعض الملاحظات المهينة جدًّا حول نظرية الأوتار في محاضرته الأولى، لكنني أعتقد أن نظرية المجال المطابق — وهي نظرية المجال التي تتصدر المشهد عادةً عند الحديث عن نظرية الأوتار — نظريةٌ رائعة الجمال (رغم أنها ليست فيزيائية بالكامل). إنها تُعرَّف على أسطح ريمان الاعتباطية (وكرة ريمان هي أبسط مثال عليها، ولكنها تشمل جميع المنطويات ذات الأبعاد الواحدة المركبة، مثل توري و«برتزلز»). في حالة المبرومات، علينا تعميم نظرية المجال المُطابق لتشمل المنطويات ذات الأبعاد الثلاثية المركبة، التي تكون حدودها هي نسخ من (أي إنها فضاءات من أشعة الضوء في الزمكان). إن الاكتشافات في هذا النطاق تتطور، لكنها لم تصِل إلى مدًى بعيد حتى الآن.

(٣) المبرومات للفضاءات المنحنية

يرتبط كلُّ ما توصَّلنا إليه حتى الآن بالزمكان المسطَّح فقط، لكننا نعرف أن الزمكان مُنحنٍ؛ ومن ثَم نريد التوصل إلى نظرية للمبرومات تنطبق على الزمكان المنحني، وتُعيد إنتاج معادلات أينشتاين بطريقةٍ طبيعية.

إذا كانت منطوية الزمكان مسطَّحة على نحوٍ مُطابق (أو بعبارةٍ أخرى، إذا كان موتِّر فايل لها قيمته صفر)، فلا توجد مشكلة في أن نَصِف هذا الفضاء من خلال المبرومات؛ إذ إن نظرية التويستور هي في الأساس متغايرة على نحوٍ مُطابق. توجد أيضًا أفكارٌ مبنية على المبرومات تنطبق على مختلف الزمكانات غير المسطحة على نحوٍ مُطابق، مثل تعريف الكتلة شِبه المحلية (بنروز ١٩٨٢، وتود ١٩٩٠)، وبناء وودهاوس وماسون (١٩٨٨، وانظر أيضًا فلتشر ووودهاوس ١٩٩٠) للفراغات المتماثلة المحورية الثابتة (حسب بناء وارد الذي طرحه عام ١٩٧٧ لحقول يانج-ميلز المضادَّة المزدوجة بذاتها على الزمكان المسطح؛ وانظر أيضًا وارد ١٩٨٣)، وهذا البناء هو جزء من نهج عام جدًّا مبني على المبرومات، ويوصِّلنا إلى النُّظم المتكاملة (انظر الكتاب المرتقب لماسون ووودهاوس المتوقَّع صدورُه عام ١٩٩٦).

لكنا نودُّ أن نُصبح أكثر قدرةً على التعامل مع الزمكانات العامة أكثر. لزمكان مركب (أو «إقليدي») ذو موتِّر فايل مضاد مزدوج بذاته (أي إن النصف الثنائي الذاتي من موتِّر فايل قيمته صفر)، يوجد بناء — يُسمى بناء الجاذبية غير الخطي — يتناول هذه المشكلة على نحوٍ كامل (بنروز ١٩٧٦). ولفهم كيفية عمل ذلك، نأخذ جزءًا من فضاء المبرومات يتألف من جوار أنبوبي لخط، أو شيء مُشابه (مثلًا النصف العلوي من أو جزء التردد الموجب)، ثم نقطعه إلى قطعتين أو أكثر. بعد ذلك يُلصق بعضه في بعض مرةً أخرى، ولكن هذه المرة تكون القِطع قد تزحزحت بعضها بالنسبة إلى بعض. عمومًا، ستكون الخطوط المستقيمة في الفضاء الأصلي P متكسرة في الفضاء الجديد . لكن يمكننا البحث عن منحنياتٍ جديدة لدوال تامة الشكل لتحلَّ محلَّ الخطوط المستقيمة الأصلية (التي تكسَّرت)، ما ينتج عنه منحنيات متصلة بعضها ببعض بسلاسة. وبافتراض أن التشوه للفضاء P لم يكن كبيرًا للغاية، فإن منحنيات الدوال التامة الشكل التي يُتوصل إليها بهذه الطريقة — وتنتمي إلى نفس العائلة الطوبولوجية التي تنتمي إليها الخطوط الأصلية — تشكِّل عائلةً رباعية الأبعاد. الفضاء الذي تمثِّل النقاط فيه هذه المنحنيات للدوال التامة الشكل هو «الزمكان» (المركب) الثنائي الذاتي الذي تحدَّثنا عنه (الشكل ٦-٥). ويمكننا الآن تشفير معادلات الفراغ لأينشتاين (تسطح ريتشي) باعتبارها الشرط القائل إن يمثِّل تليُّفًا تام الشكل على خط إسقاطي (مع شروطٍ أخرى بسيطة). وكلُّ ذلك يمكن تحقيقه من خلال التعبير عن التشوه الذي يحدث في الفضاء P بدلالة الدوال التامة الشكل «الحرة»، وبالأساس فإن كل المعلومات الخاصة بالزمكان المنحني مشفرة في هذه الدوال (رغم أن إيجاد المنحنيات التامة الشكل المطلوبة في قد يكون أمرًا صعبًا).
fig70
شكل ٦-٥: بناء الجرافيتونات غير الخطي.
نريد حقًّا أن نحلَّ معادلات أينشتاين «بأكملها» (حيث إن البناء الأخير لا يحلُّ سوى معضلةٍ مختزلة، نصف موتِّر فايل فيها يُساوي صفرًا)، لكن من الواضح أن المعضلة صعبة، وقد وقفت صامدةً أمام الكثير من المحاولات لبرهنتها على مدار العشرين سنةً الماضية، لكنني حاولت في السنين الأخيرة استخدامَ نهجٍ جديد (قارِن بنروز ١٩٩٢)، ورغم أنني لم أصِل بعدُ إلى حل للمعضلة، لكنه يبدو أكثر السُّبل المناسبة للتقدم للأمام. يبدو حقًّا أنه توجد علاقةٌ قوية بين المبرومات ومعادلات أينشتاين، ويظهر ذلك من خلال ملاحظتين:
  • (١)
    تعتبر معادلات أينشتاين للفراغ بمثابة شروط الاتساق لمجالات اللولبية العديمة الكتلة (إذا ما أُعطي المجال بدلالة الجهد).
  • (٢)
    في الزمكان المسطح يكون فضاء الشحنات لمجالٍ قيمته هو بالضبط فضاء المبرومات.
ومن ثَم يكون النهج المتبَع هو تقريبًا الآتي: بمعلومية وجود زمكان مسطح من نوع ريتشي (أي إن )، علينا إيجاد فضاء الشحنات لمجالات الموجودة فيه (وهي ليست عمليةً سهلة)؛ وبذلك يصبح هذا هو فضاء المبرومات للزمكان المسطح من نوع ريتشي. الخطوة التالية هي إيجاد كيفية بناء فضاءات المبرومات تلك باستخدام دوال حرة تامة الشكل، وأخيرًا، إعادة بناء منطوية الزمكان الأصلية من فضاء المبرومات هذا في كل حالة.
ولا نتوقع أن يكون فضاء المبرومات هذا فضاءً خطيًّا، حيث لا بد أن يُعطي هيكلًا منحنيًا عند إعادة بناء الزمكان. كما أنه ضروري أن يكون البناء غير موضعي بشدة، حيث إن شحنة أحد مجالات وجهده غير موضعيين. وقد يكون من المتوقَّع لذلك أن يساعد في تفسير الفيزياء غير الموضعية، مثل التجارب من نوع EPR التي ذكرتها في محاضرتي السابقة (الفصل الرابع)؛ وتُشير هذه التجارب إلى أن الجسمين الموجودين في منطقتين متباعدتين في الزمكان يمكن بطريقةٍ ما أن يكونَا «متشابكين».

(٤) علم الكونيات المبني على المبرومات

أريد أن أُنهيَ هذه المحاضرة بذِكر شيء عن علم الكونيات والمبرومات، رغم أنه غير مؤكد. لقد ذكرت أن موتِّر انحناء فايل لا بد أن يُساوي صفرًا عند المتفردات الماضية، وأن الزمكان هناك يقترب من كونه مسطحًا على نحوٍ مُطابق. ويعني هذا أن الحالة الأولية يمكن وصفها وصفًا بسيطًا بدلالة المبرومات. ومع تقدُّم الزمن، يزداد هذا الوصف تعقيدًا، ويزداد انحناء فايل انتشارًا. ويتَّسق ذلك مع عدم التناظر الزمني الملاحظ في الشكل الهندسي للكون.

ومن منظور الفكرة المركبة التامة الشكل لنظرية المبرومات، فإن الانفجار الكبير حيث ، الذي يؤدي إلى كونٍ مفتوح، سيكون هو الوضع المفضَّل (يفضِّل ستيفن الكون المغلق). والسبب هو أنه فقط في الكون الذي يكون فيه تكون مجموعة التناظر في المتفردة الأولية مجموعةً تامة الشكل، وتحديدًا هي مجموعة موبيوس للتحويلات الذاتية التامة الشكل لكرة ريمان (أي مجموعة لورنتز المقيدة). وهذه هي نفس المجموعة التي نشأت منها في الأصل نظرية المبرومات؛ ولذلك فإنني بكل تأكيد أفضِّل لأسبابٍ تتعلق بتصور المبرومات. وحيث إن هذا الأمر مبني فقط على تصوُّر، يمكنني بالطبع التراجع عنه مستقبلًا لو كنت مُخطئًا ووُجِد أن الكون في الواقع مغلق!

أسئلة وأجوبة

  • سؤال: ما الأهمية الفيزيائية للحالة التي تكون فيها اللولبية ؟
  • جواب: اللف المغزلي في هذا النهج ليس مجالًا فيزيائيًّا حقيقيًّا، بل هو مجالٌ إضافي لتعريف المبرومات. لا أراه مجالًا للجسيم يمكننا اكتشافه. على الجانب الآخر، من منظور التناظر الفائق، سيكون هو الشريك الفائق للجرافيتون.
  • سؤال: أين تظهر العملية R غير المتناظرة زمنيًّا — التي تحدَّثتُ عنها المرة الماضية — في منظور المبرومات؟
  • جواب: عليك أن تُدرك أن نظرية المبرومات هي نظريةٌ متحفظة جدًّا، وهي لا تكشف لنا أيَّ شيء عن ذلك حتى الآن. أودُّ حقًّا أن أرى عدم التناظر الزمني يظهر في نظرية المبرومات، لكنني حاليًّا لا أعرف كيف يمكن لذلك أن يتحقق، لكن بالتأكيد سيظهر لو أجرينا البرنامج كاملًا، ربما بصورةٍ مشابهةٍ بعض الشيء لعدم التناظر اليميني أو اليساري. كما أن نهج أندرو هودجز للوصول إلى مخططٍ تنظيمي في الواقع يطرح نوعًا من عدم التناظر الزمني، لكن الأمر لم يتضح بعد.
  • سؤال: أيٌّ من نظريات المجال الكمي غير الخطي قد يكون الأكثر خضوعًا لنظرية المبرومات؟
  • جواب: حتى الآن، لم يُحلَّل سوى النموذج القياسي (في سياق مخططات المبرومات).
  • سؤال: تتوقع نظرية الأوتار — بوضوح — طيف الجسيمات. أين يتجلَّى ذلك في نظرية المبرومات؟
  • جواب: لا أعرف كيف يمكن لطَيف الجسيمات أن يظهر، مع أنه توجد بعض الأفكار المطروحة حول ذلك، لكن يُسعدني أن أعرف أن نظرية الأوتار «تتنبأ — بوضوح — بطيف الجسيمات». أرى أننا لن نتمكن من حل هذه المعضلة حتى نفهمَ النسبية العامة في إطار المبرومات؛ إذ ترتبط الكتل بالنسبية العامة. لكن نوعًا ما، هذه هي أيضًا وجهة نظر نظرية الأوتار.
  • سؤال: ما رؤية المبرومات للاتصالية وعدم الاتصالية؟
  • جواب: من الأمور الأخرى الأولى التي شجَّعت على ظهور نظرية المبرومات كانت نظرية شبكات الغزل، التي نُحاول فيها بناء فضاء من قوانين كمية توافقية منفصلة. يمكننا أن نُحاول بناء نظرية المبرومات من أشياء منفصلة أيضًا. لكن بمرور السنين مال التوجه العام نحو الأساليب التامة الشكل بدلًا من التوافقية، لكن هذا لا يعني أن فكرة الأشياء المنفصلة قد استُبعدت تمامًا. ربما توجد علاقة قوية تربط بين التصورات المنفصلة والتصورات التامة الشكل، لكن هذا لم يُطرح بأي طريقة واضحة حتى الآن.

جميع الحقوق محفوظة لمؤسسة هنداوي © ٢٠٢١