الفصل الثامن

الأعداد من منظور مختلف

الأعداد الحقيقية والمركبة

إن تكوين الأعداد المركبة أكثر بساطة ويتم بسلاسة أكبر من تكوين الأعداد الحقيقية. فالمرحلة الأولى من تكوين الأعداد الحقيقية هي إنشاء الأعداد النسبية، وهي المرحلة التي ينبغي علينا فيها توضيح ما يعنيه الكسر. فالكسر — مثل — هو مجرد عددين صحيحين نعبِّر عنهما بهذه الطريقة المألوفة على الرغم من تميُّزها. وليس من الصعب فهْم فكرة الأجزاء الكسرية، مع أن الحسابات المتوافقة معها تتطلب جهدًا حثيثًا لإتقانها. وطالما شَرَحَ المعلمون لك في جملة أشياء أخرى أن كسورًا على غرار و و وما شابهها متساوية؛ ومع أنها لا تُمثِّل بالأزواج العددية نفسها، فإنها تمثل بالفعل أجزاءً متساوية. وهذا ليس أمرًا يصعب تقبُّله، ولكنه يلفت انتباهنا إلى حقيقة أن العدد النسبي هو في الواقع مجموعة لا متناهية من الكسور المتساوية التي يُمَثَّل كلٌّ منها بِزَوج من الأعداد الصحيحة. يبدو هذا مفزعًا، وربما نفضل ألا نفكر فيه كثيرًا؛ لأن احتمالية التلاعب بالمجموعات غير المتناهية التي تضم أزواجًا من الأعداد الصحيحة ربما تثير بعض القلق. ولكن هناك ميزة تنقذنا من ذلك؛ وهي أن أي كسر يمكن تمثيله تمثيلًا فريدًا ومختزلًا، يكون فيه البسط والمقام عددين أوليَّين، ويمكن الحصول عليهما من خلال التخلص من أي عوامل مشتركة في الكسر تكون قد بدأتْ بهما أولًا. ومع ذلك، بمجرد أن تعتاد على خصائص الكسور وقواعد استخدامها، ينبغي ألا تَحيد الأمور عن سياقها الصحيح، حتى لو أظهر الفحص الدقيق أنك تتلاعب ضمنًا بمجموعات لا متناهية تضم أزواجًا من الأعداد الصحيحة، بينما تجري عملياتك الحسابية.
مع ذلك، تسوء الأمور أكثر عند المرحلة التالية عند محاولة تحديد ماهية الأعداد الحقيقية حقًّا. دعنا نبدأ بمشكلة فيثاغورس؛ إذ اكتشف أنه لا يوجد كسر يساوي ؛ لذا يمكننا تقديم رمز جديد ، ونمنحه خاصية ، ونكوِّن حقلًا جديدًا للأعداد من الأعداد النسبية والعدد الجديد . وهذا فعَّال لأن مجموعة كل الأعداد التي تكون في صيغة — حيث و عددان نسبيان — تخضع لكل القواعد الجبرية العادية؛ فيمكننا حتى قِسْمتها؛ لأن مقلوب العدد من هذه الصيغة يحتفظ بصيغته، كما يمكن رؤيته من خلال مناورة جبرية بارعة يطلق عليها «ترشيد المقام».
يوفِّر العددان الجديدان و حَلَّي المعادلة ، ولكن ماذا عن المعادلة ؟ يبدو أننا في حاجة لضم عدد جديد آخر من أجل حل هذه المعادلة؛ حيث إنه من اليسير التحقق من أنه لا يوجد عدد بصيغة سيكون ناتج تربيعه . (يكفي هنا الاستعانة ببرهان تناقُض بسيط: بافتراض أن ، فإن ذلك يسمح لك باستنتاج العبارة الجبرية الخاطئة التي تقول إن أحد العددين أو — على الأقل — نسبيٌّ بالرغم من كل شيء.)

إننا لَنرغب في تجاوُز كل هذه المخاوف حول معادلاتٍ بعينها، لِنعلن ببساطة أننا نعرف بالفعل ماهية الأعداد الحقيقية؛ فهي المجموعة التي تضم كل المفكوكات العشرية الممكنة، الموجبة والسالبة. وهذه الأعداد مألوفة للغاية، وإننا — بالممارسة — نعلم كيفية استخدامها؛ ومن ثم نشعر بأننا نقف على أرضية صلبة، على الأقل لِحِين طرح أسئلة أساسية للغاية. والسمة الرئيسية للأعداد هي إمكانية إجراء الجمع والطرح والضرب والقسمة عليها. ولكن على سبيل المثال، كيف يُفترض بك أن تضرب كسرين عشريين غير متكررين ولا متناهيين؟ إننا نعتمد على الكسور العشرية المتناهية لكي «نبدأ من النهاية اليمنى»، ولكن لا يوجد مثل هذا الأمر مع المفكوك العشري غير المتناهي. يمكن القيام بذلك، ولكنه أمر معقد للغاية نظريًّا وعمليًّا. إن نظام الأعداد الذي تعاني فيه من أجل توضيح كيفية الجمع والضرب لا يبدو مُرضيًا.

كما أن هناك عثرات صغيرة أخرى: عندما تضرب في ، يكون الناتج . وعندما تضرب في ، فإن الناتج بالتأكيد يكون . وهي بالفعل الحالة التي يمكن أن يعبِّر فيها مفكوكان عشريان مختلفان عن العدد نفسه: . وفي الواقع، يحدث ذلك مع أي كسر عشري غير متكرر، على سبيل المثال: . ومن ثم، فإنه لا يمكن أن يكون من الصائب أبدًا قول إن الكسور العشرية والأعداد الحقيقية تعبِّر كلٌّ منهما عن الأخرى؛ إذ نرى أن مفكوكين عشريين مختلفين يمكن أن يساويا العدد نفسه. علاوة على ذلك، سوف تتغير الأعداد ذات المفكوكات العشرية غير الفريدة، إذا عملنا على قاعدة أخرى غير القاعدة العشرية، وهذا يسبب تعقيدًا آخر. وإذا عرَّفنا الأعداد الحقيقية باستخدام الكسور العشرية، فإننا نجعل البنية تعتمد على خيار تعسفي (القاعدة العشرية). وإذا بَنَيْنا البنية نفسها في صورة ثنائية، فهل ستكون مجموعة «الأعداد الحقيقية» كما هي؟ وما الذي نعنيه بعبارة «كما هي» في أية حالة؟

قد تَجِدُ الأسئلةَ الأساسيةَ المُثارةَ أعلاه مثيرةً للاهتمام، أو قد تضيق ذرعًا بكل هذا التمحيص؛ إذ يبدو أننا نثير المتاعب لأنفسنا في حين كانت كل الأمور سابقًا تسير بسلاسة. مع ذلك، يوجد هدف جاد من وراء كل ذلك. فعلماء الرياضيات يدركون أنه كلما تُطرح أمور رياضية جديدة، فإنه من المهم تأسيسها على أمور رياضية معروفة، على سبيل المثال، بالطريقة التي يمكن من خلالها التفكير في الكسور على أنها زوج من الأعداد الصحيحة العادية. وبهذه الطريقة، ربما نضع بحذرٍ القواعدَ التي تَحْكم النظام الموسَّع الجديد، ونعرف وضْعنا الحالي. ولكن إذا تجاهَلْنا القواعد الأساسية تمامًا، فسوف تُلاحقنا فيما بعد. على سبيل المثال، أدى التطور السريع للتفاضل والتكامل — الذي نَتَج عن دراسة الحركة — إلى نتائج مذهلة مثل التنبؤ بحركة الكواكب. مع ذلك، فالتلاعب بالأمور غير المتناهية والتعامل معها على أنها متناهية قدَّم أحيانًا رؤًى مدهشة، وفي أوقات أخرى كان هراء. وبترسيخ الأنظمة الرياضية على أساس صلب يمكننا معرفة الفارق. وفي الواقع ينغمس علماء الرياضيات كثيرًا في تلاعبات «رسمية» من أجل معرفة إن كان استحداث بعض النظريات الجديدة الواعدة وشيكًا. وإذا كانت النتيجة جديرة بالاهتمام، فإنه يمكن إثباتها بدقة من خلال العودة للأساسيات، واللجوء إلى النتائج التي ثَبَتَت مصداقيتها سابقًا على نحو صحيح.

هذا هو السبب في تحمل يوليوس ديديكند (١٨٣١–١٩١٦) عناء وضْع نظام الأعداد الحقيقية رسميًّا، اعتمادًا على فكرته التي يشار إليها الآن باسم «حدود ديديكند» على خط الأعداد. مع ذلك، كان أول عالم رياضيات يتعامل بنجاح مع المعضلة التي سبَّبها وجود الأعداد غير النسبية هو يودوكسوس النيدوسي (بزغ نجمه عام ٣٨٠ قبل الميلاد) الذي سمحتْ «نظرية النِّسب» الخاصة به لأرخميدس باستخدام ما يطلق عليه «طريقة الاستنفاد» لدقة استنتاج مساحات وأحجام الأشكال المنحنية قبل ظهور علم التفاضل والتكامل بعد ذلك بقرابة ١٩٠٠ سنة.

القطعة الأخيرة في أحجية الأعداد؛ الوحدة التخيلية

إنَّ إدخال رمز جديد يَنتج عن تربيعه هو إجراء ناجح على نحو مذهل؛ إذ إنه لا يحل في لمح البصر مشكلة توفير حل لمعادلة واحدة فحسب، وإنما أيضًا يقدم حلًّا لكل المعادلات كثيرة الحدود، والكثير إلى جانب ذلك. وبالتأكيد، إنَّ لدينا جذرين تربيعيين لأي عدد سالب ؛ حيث إن كلا العددين يُربع إلى بفضل خاصية أن وافتراض أن الضرب تبادلي — كما هي الحال مع العمليات الحسابية العادية — بمعنى أن لأي عددين و . وبالفعل، إذا واصلْنا على أساس أن نظام الأعداد المركبة يجب أن يشمل نظام الأعداد الحقيقية (وهو ما يتوافق مع الحالة التي يكون فيها )، وأنه يجب أن يستمر الالتزام بقواعد الجبر العادية، فلن تواجهنا صعوبات، وسنجد الكثير من المفاجآت السعيدة. إن مجموعة الأعداد المركبة التي يُرمز لها بالرمز هي «حقل» يضمن أن القسمة ممكنة أيضًا ضمن أشياء أخرى. مع ذلك، فلمعرفة كيف يحدث ذلك كله، من الأفضل ترك أحادية خط الأعداد والنظر إلى الحياة من خلال بُعدين.
fig13
شكل ٨-١: إضافة الأعداد المركبة عن طريق إضافة قطع مستقيمة موجهة.
تقدم العمليات الحسابية للأعداد المركبة نفسها تقديمًا بارعًا على «المستوى المركب»؛ إذ نفكر في العدد المركب بأنه يُمثَّل بالنقطة على المستوى الإحداثي. وعندما نضيف العددين المركبين و ، فإننا نجمع مدخلاتهما الأولين معًا والثانيين معًا؛ لكي ينتج لدينا . وإذا استخدمنا الرمز ، ينتج لدينا على سبيل المثال .
وهذا يتوافق مع ما يُطلق عليه «جمع المتجهات» في المستوى المركب؛ حيث تُجمع القطع المستقيمة الموجهة («المتجهات») معًا، من الأعلى للأسفل (انظر شكل ٨-١). نبدأ من نقطة الأصل التي يكون إحداثيَّاها ، وفي هذا المثال نرسم سهمنا الأول من هذه النقطة نحو النقطة . ولإضافة العدد الذي يمثَّل بالنقطة ، نذهب للنقطة ، ونرسم سهمًا يمثل التحرك وحدة واحدة لليمين في اتجاه أفقي (هذا هو اتجاه «المحور الحقيقي»)، وثلاثة وحدات لأعلى في اتجاه رأسي («المحور التخيلي»). فنصل إلى النقطة التي يكون إحداثيَّاها . ويمكننا — بالطريقة نفسها — أن نعرِّف طرح الأعداد المركبة عن طريق طرح الأجزاء الحقيقية والتخيلية بحيث نحصل على سبيل المثال على: . ويمكن رسم ذلك عن طريق البدء من المتجه وطرح المتجه ، للانتهاء من الطرح وصولًا إلى النقطة .
أما الضرب، فهو موضوع آخر، ويسهل القيام به بصورة تقليدية؛ إذ نضرب العددَين المركَّبَين من خلال ضرب القوسَين معًا، متذكِّرِين أن . وبافتراض استمرار تطبيق «قانون التوزيع»، وهو قاعدة جبرية تسمح لنا بفك الأقواس بالطريقة العادية، فإن عملية الضرب تحدث كما يلي:
على الجانب الآخر، يمكن حساب القسمة من خلال «المرافق المركب». فبوجه عام، المرافق يرمز إليه بالرمز وهو ، بعبارة أخرى، هو انعكاس على المحور الحقيقي. وقاعدة الضرب التي تطبق على ينتج عنها ، وهو عدد حقيقي تمامًا كما يتضح أن الجزء التخيلي يبلغ صفرًا. وهذا يساوي مربع المسافة بين ونقطة الأصل، التي يشار إليها بالرمز . ونعبر عن ذلك بالرموز كما يلي: . وربما نقسم الآن عددًا مركبًا على آخر عن طريق ضرب الجزء العلوي والسفلي في مرافق القاسم؛ لكي نجعل عملية القسمة تتم على عدد حقيقي على نحو خالص، وهذا يشبه الأسلوب المعياري لترشيد المقام الذي يُستخدم للتخلص من الجذور التربيعية في النتيجة النهائية، الذي استخدمناه في حساب الكسر المستمر للعدد . على سبيل المثال:

عن طريق استخدام أعداد مركبة عامة بدلًا من الأعداد المركبة المحددة، يمكننا — بالطريقة نفسها — إيجاد نتيجة القسمة العامة للأعداد المركبة من حيث أجزاؤها الحقيقية والتخيلية، كما فعلنا آنفًا مع عملية ضرب الأعداد المركبة العامة. ومع ذلك، ما دام الأسلوب مفهومًا، فلا توجد حاجة مُلحَّة لإنتاج وحفظ الصيغة الناتجة.

ولعملية الضرب تفسيرٌ هندسي يَظهر إذا غَيَّرْنا نظامنا الإحداثي من الإحداثيات الكارتيزية العادية إلى إحداثيات قطبية. في هذا النظام تُحدد النقطة مرة أخرى عن طريق زوج مرتب من الأعداد، الذي سنعبر عنه كالآتي . العدد هو «المسافة» التي تبعدها نقطتنا عن نقطة الأصل (يطلق عليها في هذا السياق اسم «قطب»). لذا، ﻓ كمية غير سالبة، وكل النقاط التي تحمل قيمة نفسها تشكل دائرة نصف قطرها متمركزة عند القطب. ونستخدم الإحداثي الثاني لتحديد على هذه الدائرة عن طريق اعتبار الزاوية، وتقاس في اتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة، من المحور الحقيقي إلى الخط . ويُطلق على العدد «مقياس» ، بينما يطلق على الزاوية «البعد الزاوي» ﻟ .
fig14
شكل ٨-٢: موضع عدد مركب على الإحداثيات القطبية.
افترض الآن أن لدينا عددين مركبين و ، إحداثياتهما القطبية و على الترتيب، فيتضح أن الإحداثيات القطبية للناتج تأخذ صورة بسيطة وظريفة. ويمكن التعبير عن قاعدة التركيب على نحو منظم بلغة عادية على النحو الآتي: مقياس الناتج هو حاصل ضرب مقياس كلٍّ من و ، بينما البعد الزاوي هو مجموع البعد الزاوي لكلٍّ من و . وبالرموز، للعدد إحداثيات قطبية . تندرج عملية ضرب الأعداد الحقيقية تحت هذه الطريقة الأكثر عمومية للنظر للأشياء؛ على سبيل المثال، العدد الحقيقي الموجب له الإحداثيات القطبية ، وإذا ضربناه في إحداثيات عدد آخر ، فإن النتيجة تكون هي النتيجة المتوقعة ، المتوافقة مع العدد الحقيقي .
يتكشف المزيد من سمات ضرب الأعداد المركبة من خلال هذا التمثيل. وتتحدد الإحداثيات القطبية للوحدة المركبة من خلال . (وفي العادة، لا تقاس الزوايا بالدرجات في هذه الظروف، ولكن بالوحدة الرياضية الطبيعية «راديان»: يبلغ مقدار قياس زاوية الدائرة راديان؛ حيث إن لفة الراديان الواحد تضاهي التحرك بمقدار وحدة واحدة على محيط الدائرة الوحدة، بالارتكاز على نقطة الأصل. والراديان الواحد يساوي تقريبًا .) وإذا أخذنا الآن أي عدد مركب وضربناه في ، نجد أن . وهذا يعني أن «الضرب في يضاهي الدوران خلال زاوية قائمة حول مركز المستوى المركب». بعبارة أخرى، الزاوية القائمة — هذه الفكرة الهندسية الأساسية — يمكن تمثيلها كعدد.
في الواقع، إنَّ تأثير الجمع أو الضرب في العدد المركب على كل النقاط في مساحة محددة على المستوى المركب يمكن تصويره هندسيًّا. تَصوَّرْ أي مساحة تتخيلها على المستوى، إذا جَمَعْنا مع كل نقطة داخل المساحة، فإننا ببساطةٍ نحرك كلَّ نقطةٍ المسافةَ نفسها في الاتجاه نفسه الذي يحدده السهم — أو المُتجَه كما نطلق عليه غالبًا — ممثلًا ﺑ . بمعنى أننا ننقل المساحة إلى موضع آخر على المستوى، بحيث يُحافَظ على الشكل والحجم كما هما، وكذلك وضعها، ونعني بهذا أن المساحة لا تتعرض لأي دوران أو انعكاس. مع ذلك، فإن ضرب كل نقطة في منطقتك في له أثران، يتسبب في أحدهما ويتسبب في الآخر. ويزداد مقياس كل نقطة في المساحة بعامل ، وبهذا تزداد كل أبعاد المساحة بعامل أيضًا (وبهذا تُضرب مساحتها في عامل ). وبالطبع، إذا كان ، فإن هذا التوسع يوصف على نحو أفضل كَانْكِمَاش؛ إذ إن المساحة الجديدة سوف تكون أصغر من المساحة الأصلية. مع ذلك، فسوف تحافظ المساحة على شكلها؛ على سبيل المثال، يُنقل المثلث إلى مثلث مشابه له الزوايا نفسها كسابقه. أما تأثير — كما أوضحنا آنفًا — فهو تدوير المساحة من خلال زاوية ، في اتجاه عكس عقارب الساعة حول القطب. والتأثير الإجمالي إذن لضرب كل نقاط منطقتك في هو توسيع وتدوير منطقتك حول القطب. وسوف تظل المساحة الجديدة محتفظة بالشكل نفسه كما كانت، ولكن سيختلف حجمها الذي سيحدده ، وسوف يختلف وضعها كما ستحدده زاوية التدوير .

نتائج أخرى

إن النسخة القطبية من الأعداد المركبة مناسبة على نحو خاص لأخذ القوى والجذور لرفع للقوة الموجبة . فببساطة نرفع المعامل لهذه القوة ونضاعف عدد من المرات؛ لنحصل على . وتنطبق الصيغة نفسها على القوى الكسرية والسالبة. ويمكن فهم القسمة أيضًا بالصورة القطبية. فكما هي الحال مع الأعداد الحقيقية، القسمة على عدد مركب تعني الضرب في مقلوبه ، ولكن ما هذا العدد ؟ بفرض أن فإن العدد هو العدد الذي له خاصية ، وهو العدد . وهذا يوضح لنا أنه يجب أن يكون ؛ لكي يكون حينها ، كما نريد. وهذا يوفر بديلًا للمنهج الكارتيزي في القسمة الذي يستخدم المرافقات المركبة.
يوجد عدد كبير من تطبيقات الأعداد المركبة، حتى على المستوى الأوَّلي؛ فالتفاعل بين التمثيلات الكارتيزية والقطبية يحفِّز استخدام حساب المثلثات بطريقة مدهشة ومفيدة. على سبيل المثال، التمرين العادي للطلاب هو اشتقاق المتطابقات المهمة التي تظهر الآن بتلقائية شديدة عن طريق استخراج أعداد مركبة اعتباطية من معامل الوحدات (مثل )، ثم حساب القوى باستخدام الإحداثيات الكارتيزية ثم القطبية. ووضع معادلة لصورتَي الإجابة يكشف حينها عن معادلة نِسب مثلثية.
إنَّ النقطة ذات الإحداثيين القطبيين لها — من خلال أساسيات حساب المثلثات — الإحداثيان الكارتيزيان . وإذا ضربنا الآن هذين العددين المركبين و في الإحداثيات الكارتيزية، نحصل على:
بينما ينتج عن العملية نفسها في الإحداثيات القطبية:
حيث إن معادلة الأجزاء الحقيقية والتخيلية لنسختَيْ هذا الناتج الواحد تُنتج بسهولة صيغَ حساب المثلثات لمجموع قياس الزاوية المعيارية:

بدلًا من ذلك، يمكن اشتقاق النسخة القطبية للضرب المركب باستخدام هذه الصيغ الخاصة بحساب المثلثات. وفي الواقع، القاعدة التي ذكرناها هنا — دون برهان — للضرب في النسخة القطبية عادةً ما تُشتق أولًا من الصورة الكارتيزية عن طريق استخدام صيغ حساب المثلثات.

يَحدث ما هو أكثر من ذلك بسهولة شديدة في الوقت الحالي؛ لأن استخدام الأعداد المركبة يكشف عن رابط بين الدالة الأسية أو الدالة ذات القوة الجبرية، والدوال المثلثية التي تبدو ظاهريًّا غير ذات صلة. فدون المرور من البوابة التي يقدمها الجذر التربيعي لسالب واحد، ربما يمكن لمح الرابط دون فهْمه. وتنشأ الدالة التي يطلَق عليها «الدالة الزائدية» من أخْذ ما يُعرف بأنه الأجزاء الزوجية والفردية للدالة الأسية؛ إذ يتوافق مع كل متطابقة مثلثية متطابقة أخرى شبيهة بها، ولكن ربما باستثناء العلامة، بما في ذلك هذه الدوال المثلثية الزائدية. ويمكن التحقق من صحة ذلك بسهولة في أي حالة محددة، ولكن حينها سيظل السؤال مطروحًا: لماذا يحدث ذلك من الأساس؟ لماذا ينبغي أن ينعكس سلوك فئة من الدوال انعكاسًا دقيقًا على فئة أخرى، ويتضح بهذا الأسلوب المختلف للغاية ويتسم بهذه السمة المختلفة؟ يُحل هذا اللغز عن طريق الصيغة ، التي توضح أن الدوال الأسية والدوال المثلثية ترتبط ارتباطًا وثيقًا كلٌّ منها بالأخرى، ولكن فقط عن طريق استخدام الوحدة التخيلية . وبمجرد الكشف عن ذلك (لأنه مفاجئ وليس بديهيًّا على الإطلاق)، يصبح من الواضح أن النتائج المذكورة حتمية عن طريق أداء الحسابات باستخدام التمثيلَين البديلين اللذين تقدمهما هذه المعادلة، ثم المعادلة بين الأجزاء الحقيقية والتخيلية. مع ذلك، فدون الصيغة يبقى الأمر كله لغزًا.

الأعداد المركبة والمصفوفات

دعنا ندقق النظر في بعض نتائج اكتشاف أن الضرب في يمثل دورانًا بمقدار زاوية قائمة حول مركز المستوى الإحداثي. إذا كان ، إذن فإنه يكون لدينا من خلال فك الأقواس وإعادة ترتيب عمليات الضرب ، بحيث تنتقل النقطة بسبب هذا التدوير إلى ؛ انظر شكل ٨-٣. وبهذه الطريقة، يمكن اعتبار أن الضرب في أُجري على النقاط في المستوى. ويتمتع هذا الإجراء بسمة خاصة، وهي أنه بالنسبة لأي نقطتين و وأي عدد حقيقي ، يكون لدينا ، و .
علاوة على ذلك، إذا ضربنا عددًا حقيقيًّا في عدد مركب ، نحصل على . وفيما يتعلق بالنقاط على المستوى المركب، تُنقل إلى ، أو تكتب بطريقة أخرى: .
fig15
شكل ٨-٣: الضرب في يعمل على دوران العدد المركب بمقدار زاوية قائمة.
تُعرف أنواع العمليات التي تتمتع بهاتين السمتين بأنها «خطية» ولها أهمية قصوى في جوانب الرياضيات كلها. وهنا أتمنى فقط أن أَلْفِتَ انتباهك إلى حقيقة أن تأثير هذه العملية يحدده عملها على النقطتين و ، ولهذا دعنا نفترض أن و . ولهذا، فإنه لأي نقطة ، سيكون لدينا