الفصل الأول

التماثل في الأشكال الهندسية

سنتعرَّف في هذا الفصل على الآتي:
  • (١)

    الأشكال الهندسية للجزيئات الكيميائية.

  • (٢)

    عناصر التماثل وعمليات التماثل.

  • (٣)

    استخدام عمليات التماثل في بناء المجموعات بالمعنى الرياضي.

  • (٤)

    تصنيف الجزيئات الكيميائية إلى مجموعات.

(١) الأشكال الهندسية للجزيئات الكيميائية

بيَّنتِ القياسات بأشعة إكس أن الجزيئات الكيميائية ذات أشكال هندسية جميلة، وذرات هذه الجزيئات مرتَّبة في الفراغ بصورة منتظمة. كما أن الروابط بين هذه الذرات موجَّهة في اتجاهات محدَّدة؛ ذلك أن الترتيب يَنتج عنه استقرار هذه الجزيئات، فالترتيب يؤدِّي إلى زيادة قوى التجاذب بين الإلكترونات والأنوية، ويقلِّل من قوى التنافر بين الإلكترونات بعضها وبعضٍ وبين الأنوية بعضها وبعضٍ أيضًا. وبفحص جدول ١-١ نجد عددًا من الجزيئات الكيميائية البسيطة ذات الأشكال الهندسية المختلفة. وتحوي هذه الجزيئات ذرَّةً مركزية وذرَّات طرفية ، رُتِّبت في صورة جمالية لتحقِّق استقرارًا لهذه الجزيئات.
جدول ١-١: بعض الأشكال الهندسية الشائعة للجزيئات الكيميائية.
شكل خطي شكل مثلثي رباعي أوجه سداسي أوجه ثماني أوجه
BeCl2 BF3 CH4 PF5 SF6, W(CO)6
SO3
هرم بقاعدة مثلثية أرجوحة بحر هرم بقاعدة مربعة
NH3 SF4 BrF5
 شكل مثني شكل مربع مستوٍ
H2O, NO2, O3   ClF3 XeF4, [PtCl4]2−
ومن الملاحظ أننا مثَّلنا الذرات بشكل كرات حجمها يختلف باختلاف نوى الذرة؛ فجزيء الماء مثلًا — الذي يحتوي على كرة كبيرة تمثِّل حجم ذرة الأكسجين الكبيرة، وكرتين صغيرتين متساويتين كلٌّ منهما تمثِّل ذرةً من ذرَّتَي الهيدروجين حسب شكل ١-١:
fig7
شكل ١-١: تمثيل جزيء الماء. مُثِّلت الذرات كدوائر للتبسيط. انظر صفحة لبعض الأشكال المجسمة لجزيئات كيميائية.

(٢) عناصر التماثل وعمليات التماثل

تحتوي هذه الجزيئات على ما يُعرَف بعناصر التماثل، ومن الممكن أن يكون عنصر التماثل إما خطًّا (محورًا موجَّهًا إلى اتجاه محدَّد مثل محور أو أو في الهندسة الإقليدية Cartesian Coordinates)، أو يكون مستوًى (مثل مستوى ، ويسمَّى بمستوى التماثل)، أو نقطةً في الفراغ ذات أبعاد ثلاثية وتسمَّى مركز التماثل (شكل ١-٢):
fig19
شكل ١-٢: عناصر التماثل.

فعناصر التماثل ثلاثة؛ هي: الخط (ذو بعد واحد)، والمستوى (ذو بعدين)، والنقطة في الفراغ (ذات ثلاثة أبعاد)، وتصاحب كل عنصر من عناصر التماثل عمليةُ تماثل يُطلَق عليها اسم ورمز محدَّدان.

(٢-١) عمليات التماثل

(٢-١-١) محور التماثل وعملية الدوران

فحول الخط (الذي يُسمَّى محورًا للتماثل) يمكن إجراء عملية دوران بزاوية محدَّدة معلومة؛ بحيث يَنتج من عملية الدوران حول هذا المحور اتجاهٌ جديد للجزيء لا يمكن تمييزه من الاتجاه الأصلي الذي بدأنا به، والمثال التالي يوضح ذلك:

fig22
شكل ١-٣: محور الدوران الثنائي الرتبة وأثره على جزيء الماء.
والمثال يوضِّح أن الدوران حول محور ، ويُسمَّى ، بزاوية مقدارها ، جعل ذرَّتَي الهيدروجين تتبادلان مكانَيهما؛ ولذلك تُسمَّى العملية ؛ حيث إن 2 هي رتبة محور الدوران وتُعرف:
حيث هي زاوية الدوران.
والواضح من هذا المثال أن شكل الجزيء لم يتغيَّر بعد أو قبل إجراء العملية (أي الدوران حول محور بزاوية قدرها ). والذي يوضِّح هذه العملية بيانيًّا هو تسمية ذرَّتَي الهيدروجين بذرة Ha وذرة Hb.
ويمكن التعبير عن هذه العملية بصورتين مختلفتين:
  • (أ)

    اعتبار رسم إحداثيات مركز ثقل جزيء الماء:

  • (ب)
    اعتبار رمزي في شكل معادلة:
فالأمر أمر الإحداثيات بالدوران حول محور بزاوية ، فنقل إلى ونقل إلى . وبديهيًّا يظل محور دون تغيير؛ فالإحداثيات انتقلت إلى نفسها. ومن الملاحظ أن هذه ليست معادلة رياضية، بل طريقة للتعبير عن أثر عملية الدوران على إحداثيات مركز ثقل الجزيء، الذي يقع على ذرة الأكسجين التي لا تنتقل من مكانها بديهيًّا؛ حيث إن محور الدوران يمر فيها. والجدير بالذكر أن نفس المعالَجة تسري في حالة جزيئات مثل الفورمالدهيد (CH2O)   ، وثاني أكسيد النيتروجين NO2، والأوزون O3 ()، ومثيلاتها ستذكر فيما بعد.

(٢-١-١-١) عمليات الدوران في الجزيئات ذات الصيغة العامة

يمكن اعتبار الأشكال الهندسية الثلاثة التالية (شكل ١-٤):
fig26
شكل ١-٤: الأشكال المحتملة للمركبات .

(أ) ذو الشكل الهندسي المثلثي المستوي، وتمثله جزيئات و ، أو الشق الأيوني

ومن هذه العمليات يتضح أن إجراء عملية الدوران حول محور الدوران الثلاثي الرتبة (زاوية ) ثلاث مرات يعيد الجزيء إلى نفسه؛ حيث يمكن تمثيل هذه العمليات بالصورة:
فعلامة الضرب هنا تشير إلى إجراء العملية على الشكل الجديد الذي نشأ من إجراء ، وأن إجراء العملية يشير إلى إجراء العملية ثلاث مرات، وهي تكافئ عنصر الوحدة ؛ أي الحصول على الشكل المطابق بعد إجراء ، وكأننا لم نُجرِ أي تغيير على الاتجاه الأصلي. ومفهوم عملية الضرب هنا هو تتابع إجراء عمليات التماثل.

ويُلاحَظ أن رسم الجزيء في الصورة التالية يبين ثلاثة محاور دوران ثنائية الرتبة:

واحد منها هو ؛ أي الذي يمر في الذرَّة المركزية والذرَّة الطرفية (1). وهناك أيضًا ، وأثره هو ترك الذرة (2) في مكانها بينما تتبادل الذرَّتان (1) و(3) مكانيهما. وهناك أيضًا ، وحوله تتبادل الذرتان (1) و(2) مكانيهما.
وخلاصة القول أن المثلثي المستوي يحوي محورًا رئيسيًّا ثلاثي الرتبة ، يمر فقط في الذرة المركزية وينقل الذرات الطرفية بعضها إلى أماكن بعض، بجانب ثلاثة محاور ثنائية الرتبة كما بينَّا أعلاه.
ومن الجدير بالذكر أن العلاقة:
تسمَّى علاقة بينية أو داي هيدرال Dihedral، ويُرمَز لها بالرمز في هذه الحالة.

(ب) ذو الشكل الهرمي، وتمثله الجزيئات و

وفي هذه الحالة لا يوجد إلا محور دوران ثلاثي الرتبة فقط كالمبين في الشكل.

(ﺟ) على شكل حرف T

وجزيء ClF3 له هذا الشكل الهندسي.

(٢-١-١-٢) عمليات الدوران في الجزيئات ذات الصيغة العامة

يمكن اعتبار الأشكال الهندسية الأربعة في شكل ١-٥.
fig31
شكل ١-٥: احتمالات الأشكال الهندسية للجزيئات .

(أ) رباعي الأوجه المثلثية

هذا الشكل الهندسي نجده في جزيئات عدة؛ منها الميثان (CH4)، وكاتيون الأمونيوم ، ومتراكب كربونيل النيكل Ni(CO)4، وغيرها. ويتميز هذا الشكل الهندسي بوجود أربعة محاور دوران ثلاثية الرتبة، وثلاثة محاور دوران ثنائية الرتبة، يوضحها الشكل ١-٦:
fig32
شكل ١-٦: جزيء رباعي أوجه يبين تعدد محاور الدوران الثلاثية ومحاور الدوران الثنائية.

(ب) مربع مستوٍ

figure
يحوي ، وهو المحور العمودي على مستوى الجزيء الأفقي، ويمر في الذرة المركزية فقط، ويحوي أيضًا أربعة محاور . ومرة أخرى تتضح هنا العلاقة و التي تعطي الرمز (أي محور دوران رئيسيًّا تتعامد عليه أربعة محاور ، واكتفينا بتوضيح اثنين منها كما في الشكل التالي):

(ﺟ) هرم ثلاثي القاعدة المستوية

مع ملاحظة أن الرابطة بين الذرة (1) والذرة المركزية أطول من باقي الروابط الثلاث المتساوية، التي تكون القاعدةَ المثلثيةَ للشكل الهرمي. وهنا لا يوجد إلا محور دوران ثلاثي الرتبة.

(د) شكل أرجوحة البحر Seesaw

وهذا الشكل الهندسي ذو محور دوران واحد فقط ثنائي الرتبة، مثل جزيء الماء، ويمثِّله جزيء SF4.

(٢-١-١-٣) جزيئات لها الصيغة العامة

وهنا سندرس حالتين فقط؛ هما:

(أ) حالة هرمين مشتركين في قاعدة ثلاثية Trigonal bipyramid

وهذان الهرمان مشتركان في القاعدة المثلثية 1، 2، 3 في الشكل أعلاه، وقمة الهرم العلوي هي الذرة رقم 4، وقمة الهرم السفلي هي الذرة رقم 5. ومن الممكن ملاحظة وجود ثلاثة محاور ثنائية الرتبة تمر في قاعدة الهرمين هي: ، ، ، كما حدث في حالة الجزيء المثلثي المستوي. ونكتفي بإجراء عملية على هذا الشكل كممثل لعمليات الدوران الثنائية.
وهنا يتضح أثر هذه العملية على نقل الذرتين الطرفيتين (2) و(3)، تحل كلٌّ منهما مكان الأخرى، وكذلك (4) و(5). Fe(CO)5، وPF5 هما مثالان لجزيئاتٍ لها هذا الشكل الهندسي.

(ب) حالة هرم رباعي القاعدة

وهذا الشكل لا يحتوي إلا على محور دوران رباعي الرتبة يمر في الذرة المركزية وفي الذرة رقم (5) الممثلة لقمة هذا الهرم. وأهرامات الجيزة خير مثال على هذا الشكل الهندسي الجميل؛ فقد بناها قدماء المصريين على قواعد رباعية الشكل منتظمة.

(٢-١-٢) عملية الانعكاس على مستوًى للتماثل

يمكن ملاحظة أن المستوى الذي ينصِّف ذرة أكسجين جزيء الماء هو مستوًى للتماثل؛ فصورة ذرة الهيدروجين (a) تنعكس في المرآة مكان ذرة الهيدروجين (b)، كما أن نصف ذرة الأكسجين الأيمن له صورة في مستوى المرآة مكان النصف الآخر الأيسر. ويلاحظ أيضًا أن هذه المرآة هي مرآة ذات وجهين: وجه يقابل محور الموجب، والوجه الآخر يقابل سالب محور ؛ فيمكن النظر فيها من كلا الاتجاهين.
figure
شكل : مستوى التماثل .
وتسمَّى هذه العملية ؛ حيث تمثِّل الوضع الرأسي، فجزيء الماء إذا ما عُلِّق من مركز ثقله فإنه يأخذ الوضع الرأسي، والمستوى هو مستوًى رأسي، وكذلك المستوى الذي ينصِّف كل ذرات جزيء الماء لأنه يمر فيها، إلى نصفين أمامي وخلفي، وأثره هو ترك ذرات جزيء الماء في أماكنها؛ حيث إنه ينقل صورة نصف كل ذرة إلى مكان صورة النصف الآخر. فالمستوى ينقل النصف الأمامي لكل ذرة مكان النصف الخلفي، والنصف الخلفي مكان النصف الأمامي، كالصورة الآتية:

حيث تشير علامة (+) إلى النصف الأمامي أو الواجهة الأمامية، وإشارة (−) إلى الواجهة الخلفية للجزيء. وقد يكون من المفيد الآن تمثيل هذه العمليات بالصورتين:

(أ)

(ب)
وهذه الصورة التعبيرية عن عملية توضِّح الفرق بينها وبين عمليات الدوران المذكورة سابقًا.
وأنواع مستوى التماثل أو مستوى المرآة ثلاثة، درسنا منها المستوى الرأسي، أما المستويان الآخران فهما المستوى الأفقي والمستوى البيني ، وهما موضَّحان في حالة الجزيء XeF4 ذي الشكل الهندسي الرباعي المستوى.
figure
شكل : مستويات التماثل المختلفة.

(٢-١-٣) الانقلاب حول نقطة (مركز التماثل)

العملية الثالثة تستلزم وجود مركز للتماثل حوله نجد نقطتين متشابهتين على أبعاد متساوية، لواحدة منهما الإحداثيات ، وللأخرى ، وهي موضحة في الشكل ١-٩.
fig44
شكل ١-٩: عملية الانقلاب .

(٢-١-٤) عملية الدوران العليل

آخر عمليات التماثل هي ما يسمَّى بالدوران العليل، وتأخذ الرمز . هذه العملية هي عملية مركَّبة من عنصرين؛ هما محور دوران لا يشترط أن يكون محور دوران تماثليًّا، ثم انعكاس على مستوًى عمودي على هذا المحور. وخير مثال على هذه العملية نوضحه كما يلي:
أيْ إجراء عملية الدوران بزاوية 90°، تتبعها عملية انعكاس، وذلك في شكل هندسي رباعي الأوجه:

الخلاصة

رأينا أن فئة عمليات التماثل تحوي أربعة عناصر عامة؛ هي: ، ، ، ، بجانب عنصر الوحدة .
وفيما يلي سنعرِف المجموعة أو الزمرة ذات النقطة، ونلاحظ أن مركز ثقل أي جزيء — وهو يمثَّل بنقطة في الفراغ — هو نقطة تقاطع جميع عناصر التماثل وبالتالي عمليات التماثل في الجزيء؛ لذا سنسمِّي المجموعات في الجزيئات الكيميائية بالمجموعات ذات النقطة point groups.

(٢-٢) المدخل الرياضي للأشكال الهندسية (نظرية المجموعات في الكيمياء)

لأن هدفنا هو التحدُّث ووصف خواص للجزيئات الكيميائية بصورة كمية، وكذلك تصنيفها إلى مجموعات يَسهُل التعامل معها وإطلاق أسماء على هذه التصنيفات، تطلَّب الأمر النظر إلى الأشكال الهندسية للجزيئات الكيميائية من منظور نظرية المجموعات الرياضية.

وفي حالتنا هذه سنعرِّف المجموعة في أبسط صورها التي تخص الكيمياء.

(٢-٢-١) المجموعة ذات النقطة في الكيمياء

هي فئة تضم عمليات التماثل بجانب عملية ثنائية هي الضرب بالمفهوم الذي تعاملنا به سابقًا.

إذن، المجموعة (مج) هي فئة }عمليات التماثل{، وعملية ضرب ثنائية يرمز لها بالرمز بشرط أن تتحقَّق أربعة شروط:
  • (١)

    حاصل ضرب أي عنصرين في الفئة هو عنصر في الفئة:

أ ب = ج
حيث }أ، ب، ج{   مج
  • (٢)

    الضرب اندماجي:

أ ج) = (أ ب) ج
  • (٣)
    وجود عنصر الوحدة بحيث:
أ = أ
    ب ب

وهكذا.

  • (٤)
    حاصل ضرب العنصر معكوسه يساوي عنصر الوحدة:
أ أ−1     
ومثالًا على ذلك اعتبر جزيء الماء وعملياته هي: .

سوف نجد أنها تكوِّن مجموعةً بالشكل الرياضي كما يلي:

  • (١)
    هذه النتيجة نحصل عليها بالعملية إذا أجريناها مباشرة على ؛ لذا فإن:

    وكلها من عناصر فئة عمليات التماثل في جزيء الماء.

  • (٢)
    الشرط الثاني:

    يتحقَّق أيضًا.

  • (٣)

    الشرط الثالث أيضًا يتحقَّق.

  • (٤)

    وهنا نلاحظ أن العنصر قد يكون معكوس نفسه.

وفي العادة نعبِّر عن كل العمليات بما يسمَّى جدول الضرب كما يلي:

جدول : جدول الضرب.