الفصل الثاني

التمثيل الرقمي لعمليات التماثل وجداول سمات المجموعات

يهتم هذا الفصل بالنقاط الآتية:
  • (١)
    التمثيل الرقمي لعمليات التماثل Numerical Representation of Symmetry Operations؛ وذلك باستخدام المصفوفات.
  • (٢)
    معرفة تكوين التمثيل المزيد للمتجهات المختلفة مثل الإحداثيات الديكارتية .
  • (٣)
    بناء جداول السمات وما تحتويه من معلومات. وسنأخذ حالة البسيطة كمثال.

(١) لماذا؟

سنبيِّن في هذا الفصل كيفية التعبير عن تأثيرات عمليات التماثل على مركز ثقل أي جزيء كيميائي، وذلك بلغة الأرقام؛ أي بأسلوب كَمِّي؛ مما سيساعدنا في فهم خواص التماثل للأوربيتالات الذرية، وفي بناء الأوربيتالات المهجَّنة واستنتاج نوعها لأي جزيء كيميائي، وكذلك في بناء الأوربيتالات الجزيئية ومستوياتها، بالإضافة إلى استنتاج أطياف الأشعة تحت الحمراء ورامان لهذه الجزيئات. وسنعالج ونوضح هذه التطبيقات في الفصل الثالث.

(٢) التمثيل الرقمي لعمليات التماثل

استعملنا في الفصل الأول أسلوب الإحداثيات الديكارتية في التعبير الرمزي عن عمليات التماثل، مثل:
كما في حال جزيء الماء الذي ينتمي إلى المجموعة النقطية .
والآن سنوضِّح كيفية تمثيل العملية بصورة رياضية باستخدام المصفوفات كالآتي:
(2-1)
وهنا اعتبرنا المصفوفة تمثِّل تأثير على الإحداثيات .
هذه المعادلة 2-1 هي عملية ضرب بسيطة للمصفوفتين كالتالي:
الصف الأول في عناصر العمود :
والصف الثاني في عناصر العمود :
والصف الثالث في عناصر العمود :
والمصفوفات التالية تمثِّل العمليات , , , لجزيء الماء:

وفئة المصفوفات المجدولة كالآتي:

1 1 −1 3

تسمَّى مصفوفات التحويل المزيدة (أي القابلة للاختصار أو الاختزال)، ولكل مصفوفة سمة أو طابع رقمي هو مجموع عناصرها القطرية. وفئة السمات تسمَّى تمثيلة قابلة للاختزال كما في الجدول التالي:

1 1 −1 3
وهذه الفئة تسمَّى تمثيلة مزيدة (أي قابلة للاختزال)؛ أما التمثيلة التي تمثِّل سلوك تماثل المتجه فنُعبِّر عنها كالتالي:
−1 +1 −1 1
والقيمة هي طابع مجرد لمصفوفة التحويل يمكن فهمها أكثر باعتبار المعادلات:

فنظرًا لأن عمليات التماثل تؤثِّر على متجه واحد، فإن مصفوفة التحويل تكون ذات بُعد واحد، وقيمة طابعها هي نفس عنصرها الوحيد.

إن الفئة تمثِّل سلوك المتجه ، فنقول إن المتجه متماثل بالنسبة لكلٍّ من و ، ومعكوس التماثل بالنسبة لكلٍّ من و ؛ حيث ينعكس اتجاهه بتأثير هاتين العمليتين.
هذا المتجه يمكن اعتباره ممثلًا للأوربيتال الموجود على ذرة الأكسجين في جزيء الماء. وكذلك يمثِّل متجه الحركة الانتقالية في اتجاه ، بالإضافة إلى أنه يعني أيضًا متجه عزم الازدواج في هذا الاتجاه؛ أي يمثِّل متجهًا ساكنًا (أو متجهًا متذبذبًا أو مترددًا في هذا الاتجاه).
ويحوي الجدول الآتي سلوك تماثل المتجهات ، ، بالنسبة لعمليات التماثل في المجموعة النقطية :
1 1 1 1
1 −1 −1 1
−1 1 −1 1
وكما اعتبرنا يمثِّل أوربيتال ، يمكن اعتبار يمثِّل أوربيتال ، و يمثل أوربيتال .
أما أوربيتالات ، ولأنها تشبه الكرة في شكلها، فتكون تامة التماثل؛ أي إن هي نفسها في هذه الحالة.
ويلاحَظ من الجدول السابق أن العمليتين و هما عمليتان مستقلَّتان حاصل ضرب سماتهما ينتج عنه سمة ، كما أن سمة دائمًا ؛ لذا يمكن اعتبار توزيع السمات على العمليتين المستقلتين كالتالي:
+1 +1
−1 +1
+1 −1
−1 −1
وعليه، نستطيع كتابة جدول سمات المجموعة النقطية كالآتي:
1 1 1 1
−1 −1 1 1
−1 1 −1 1
1 −1 −1 1
ونلاحظ هنا أن السطر الثاني يمثِّل عملية الدوران حول محور ، كما سيتضح فيما يلي.
ففي حالة الحركة الدورانية لجزيء الماء حول محور بصورة مستمرة، يمكن استنتاج سلوك تماثل هذه الحركة الدورانية باعتبار الأشكال التالية كما يوضحه الجدول:
−1 −1 1 1
فالدوران حول لن يؤثِّر على الحركة الدورانية المستمرة ، ولكنها ستتأثر بعمليتَي الانعكاس. فصورة متجه الحركة الدورانية في المستوى ستكون في اتجاه ، وبالمثل بالنسبة للمستوى .
ويمكن استنتاج سلوك تماثل ، بالمثل كما هو موجود في جدول السمة للمجموعة (جدول ٢-١) ووجد أنه من الأفضل وضع أكواد لكل سطر في هذا الجدول كالتالي.
بما أن كل السمات تحت عملية الوحدة هي فيسمى السطر إما أو على حسب إشارة السمة تحت . فالسمة الموجبة في سطر ما تسمَّى ، والسالبة تسمَّى . وبما أن السطرين الأولين في الجدول لهما السمة الموجبة لعملية ، فيسمى السطر الأول ، والسطر الثاني ، بناءً على العملية الثالثة . فالسمة الموجبة تسبق السالبة، وكذلك بالنسبة للسطرين الثالث والرابع؛ فالثالث يرمز له ، والسطر الرابع يعبر عنه الرمز (افحص الجدول ٢-١).
جدول ٢-١: جدول السمة للمجموعة النقطية .
1 1 1 1
−1 −1 1 1
−1 1 −1 1
1 −1 −1 1