ملاحق

(١) ملحق (أ)

(١-١) المتجهات

هناك العديد من الكيانات التي يتعامل معها علم الفيزياء (بما فيها القوى، والسرعات، والتسارعات) يكون لدى كلٍّ منها مقدار واتجاه. هذه الكيانات تسمى المتجهات. على الصعيد المحلي، تُمَثَّل المتجهات بحروف ثقيلة أو (كما في هذا النص) بحروف عادية فوقها أسهم (على سبيل المثال، = السرعة).
ينص قانون نيوتن الثاني (يُعَبَّر عنه بالمتجهات على الصورة ) على أن مقدار عجلة جسيم كتلته يتناسب (بمعامل تناسب ) مع مقدار القوة المؤثرة على الجسيم، ويكون اتجاه العجلة هو نفس اتجاه القوة. يوفر التعبير المتجهي طريقة موجزة لصياغة العلاقة بين العجلة والقوة. إذا أدخلنا مجموعة من المحاور اليمينية المتعامدة ، و ، و ، تكون المعادلة المتجهة مكافئة لثلاث معادلات عددية ؛ حيث هي القوة في الاتجاه ، و هي العجلة في الاتجاه ، وهكذا. إلى جانب المقدرة على توفير طريقة موجزة لكتابة العلاقة الرياضياتية بين العجلة والقوة، فإن التعبير المتجهي يوضح صراحة أن هذه العلاقة لا تعتمد على اصطفاف المحاور المستخدمة (أي الاتجاهات التي تشير إليها المحاور).

بصورة أعم، عندما نعبر عن معادلة ما باستخدام المتجهات، فإننا نوضح بطريقة موجزة العلاقة (أو العلاقات) بين مقادير واتجاهات الكيانات الفيزيائية الممثلة بالمتجهات. هذه العلاقة صحيحة، بغضِّ النظر عن اصطفاف المحاور المستخدمة، ويمكننا اختيار طريقة اصطفاف المحاور بحُريَّة وبأي طريقة نجدها ملائمة. أحيانًا (مثلًا، كما في استنتاج نظرية الشغل والطاقة) يكون إدخال أية محاور أمرًا غير ضروري. إلى جانب ذلك، هناك العديد من العمليات الرياضياتية المختلفة التي تتعامل مع المتجهات (سوف نقدم فقط العمليات ذات الصلة بالميكانيكا الأولية) والتي توفر، في كثير من الحالات، رؤى ثاقبة وتقلل الجهد، مقارنة بما كنا سنفعله لو كنا اخترنا مجموعة معينة من المحاور وعالجنا مجموعة من المعادلات الآنية المشتملة على مركبات المتجهات (= الإسقاطات المتعامدة) في اتجاهات هذه المحاور.

الملاحظات السابقة دعاية لفائدة الاعتياد على استخدام التعبير المتجهي والعمليات البسيطة المتعلقة بالمتجهات.

() تعريفات وبراهين

ليكن و أي نقطتين في الفراغ، وارسم خطًّا (سهمًا) من إلى . سوف نسمي «رأس» السهم ونوضحها بالرمز . أحيانًا نسمي «ذيل» السهم. يُمَثِّل السهم (والذي سوف نسميه متجه ) إزاحةً؛ أي التغير في موضع جسيم يتحرك (أو يُحَرَّك) من إلى . إذا اعتبرنا و نقطتين على مسار الجسيم، فسوف ندرك أن هناك العديد من المسارات المحتملة من إلى . على سبيل المثال (شكل ١)، إذا أرشدنا الجسيم بأيدينا، يمكننا أن نحركه على خط مستقيم من إلى ، ثم على خط من إلى ، وبعدها على خط من إلى المتجه يمثل التأثير المحصِّل لتلك الإزاحات الثلاث المتتالية. يرمز لطول (أو «مقدار») بالرمز أو ، وهو المسافة (عدد موجب دائمًا) بين و . نفضل استخدام كلمة «مقدار» عن كلمة «طول»؛ لأن المتجهات قد تُمثِّل كيانات (مثل السرعات والتسارعات) أبعادها ليست أبعاد الطول. يمكن وصف اتجاه رياضياتيًّا (مثلًا بواسطة إحداثيين قطبيين على كرة)، لكننا نتعمد في هذه المرحلة الامتناع عن تقديم أي مجموعة معينة من المحاور.
fig166
شكل ١: متجه بين نقطتين و .
fig167
شكل ٢: هناك عدة مسارات من إلى .
إذا كان عددًا حقيقيًّا موجبًا، نعرِّف المتجه بأنه متجه له نفس اتجاه ومقداره . وإذا كان عددًا حقيقيًّا سالبًا، فإن يُعرَّف بأنه متجه في اتجاه متعاكس (موازٍ في اتجاه عكسي) مع مقداره ؛ وبالتالي فإن يشير في اتجاه عكس ومقداره يساوي × (مقدار ) .

عندما نُمثِّل إزاحة بواسطة متجه، فربما يكون الموقع الفعلي للمتجه في الفراغ ذا مغزى ما أو ربما لا يكون كذلك. نعتبر على وجه العموم أن المتجه يُعرَّف كليًّا بمقداره واتجاهه؛ لا تتغير هذه الصفات بتحريك المتجه إلى موقع آخر مع الحفاظ على اتجاهه (تسمى هذه الحركة الانتقال الموازي). إذا كان موقع المتجه مهمًّا، فلن نكتفي بتعيين مقدار واتجاه المتجه فقط، وإنما نعين أيضًا موقع رأسه أو ذيله.

لقد عرَّفنا بالفعل عملية ضرب متجه في عدد حقيقي؛ ناتج هذه العملية هو أيضًا متجه. نُعرِّف الآن جمع المتجهات؛ أي عملية جمع متجهين أو أكثر. قد يعتبر شخص ما أن المتجهات تُمثِّل إزاحات، لكن نفس التعريف يُستَخدم عندما تُمثل المتجهات سرعات، وقوى، أو أي شيء آخر.

fig168
شكل ٣: المتجه الناتج من جمع و .
إذا اعتبرنا و إزاحتين، فإن المتجه يُعرَّف بأنه الإزاحة الكلية الناتجة عندما يتعرض جسم ما (على سبيل المثال، كتلة نقطية) للإزاحة متبوعة بالإزاحة . هندسيًّا (شكل ٣)، إذا رسمنا المتجه ورسمنا بعد ذلك المتجه ، عن طريق وضع ذيل على رأس ، فإن هو المتجه من ذيل إلى رأس . بالمثل، هو المتجه الذي يمثل الإزاحة الكلية الناتجة عندما يتعرض جسم ما للإزاحة متبوعة بالإزاحة .
إذا رسمنا متوازي الأضلاع (شكل ٤) بحيث يكون ضلعاه هما و ، نرى أن المتجه من إلى يمثل ناتج عمل الإزاحة متبوعة بالإزاحة ، وأيضًا يمثل ناتج عمل الإزاحة متبوعة بالإزاحة . لأي متجهين (ليس بالضرورة أن يمثِّلا إزاحتين) يُعرَّف الجمع المتجهي بالإنشاء الهندسي الموضح في شكل ٣. وبذلك نرى أن ؛ أي إن الجمع المتجهي يكون إبداليًّا. نُعرِّف بأنه مجموع المتجه والمتجه ؛ أي إن . في شكل ٤ افترض أننا استبدلنا المتجه من إلى بدلًا من المتجه من إلى . بما أن المتجه من إلى هو المتجه والمتجه من إلى هو ، نرى أن المتجه من إلى هو .
fig169
شكل ٤: متوازي أضلاع يتكون من متجهين و .
في شكل ٢ لتكن ، و ، و ، على الترتيب، متجهات من إلى ، ومن إلى ومن إلى . وبهذا يكون هو المتجه من إلى ، و هو المتجه من إلى . هو المتجه من إلى ، و هو المتجه من إلى ؛ وبذلك يكون ؛ أي إن الجمع المتجهي يكون إدماجيًّا ويمكن حذف الأقواس. لاحظ أن البرهان لا يفترض وقوع في نفس المستوى. يمكن أيضًا تعميم البرهان ليشمل جمع أي عدد من المتجهات.
وأخيرًا، يقتضي كلٌّ من تعريفي جمع المتجهات وضرب متجه في عدد حقيقي ضمنًا وجود الخاصية التوزيعية .

تعمدنا تقديم التعريفات والبراهين السابقة دون إدخال أي مجموعة من المحاور (مجموعة المحاور هي نظام إحداثي) لكي نؤكد على أن المتجهات تتيح لنا التمكن من ذكر العلاقات بين الكميات الفيزيائية دون التقيد بأي اختيار معين لمجموعة من المحاور. في الحسابات الفعلية، يكون غالبًا من المناسب إدخال محاور.

fig170
شكل ٥: ثلاثة محاور يمينية متعامدة .
نقدم الآن ثلاثة محاور يمينية متعامدة تمر خلال نقطة أصل O مشتركة. إذا كنا بصدد دراسة متجهات تُمثِّل أطوالًا، فإن كل نقطة على المحور لديها عدد مصاحب لها، مقدار العدد مساوٍ لبعدها عن نقطة الأصل (مقيسًا بوحدات الطول التي نستخدمها أيًّا كانت). إشارة العدد موجبة على أحد جانبي نقطة الأصل وسالبة على الجانب الآخر. بالمثل، تُعيَّن أعداد لكل نقطة على المحورين و . الجزء الموجب من كل محور في شكل ٥ هو خط متصل، والجزء السالب هو خط متقطع. إذا كنَّا (على سبيل المثال) معنيين بدراسة متجهات تُمثِّل سرعات، فإن الأعداد على المحور سوف تكون سرعات (مقيسة بوحدات السرعة التي نستخدمها أيًّا كانت)، ويمثل محور الموجب سرعات في اتجاه زيادة ويمثل محور السالب سرعات في اتجاه نقصان .
إذا وضعنا ذيل متجه عند نقطة الأصل، فإننا نطلق على المركبات الكارتيزية لرأس المتجه . تذكر: إذا مرَّرنا مستوى، متعامدًا مع المحور ، خلال رأس المتجه ، فإن الإحداثي للنقطة التي يقطع عندها المستوى المحور هو . بالإضافة إلى ذلك، ؛ حيث الزاوية بين ومحور الموجب. تُطبَّق نفس الملاحظة على و . كثيرًا ما نطلق على «المركبة للمتجه ».
من تعريف جمع متجهين، نرى أن المركبة والمركبة والمركبة هي و و . بالمثل، المركبة هي ، وهكذا.
fig171
شكل ٦: مركبات المتجه تعتمد على أيٍّ من المحاور نستخدم.
المقدار للمتجه هو (طبقًا لنظرية فيثاغورس):
(A-1)
إذا كانت محاوري تصطف بطريقة مختلفة عن محاورك ، فإننا مع ذلك نتفق على طول المتجه ؛ أي إن . على وجه العموم، يتطلب تعيين اصطفاف محاورك بالنسبة لمحاوري ثلاث زوايا. بالنسبة للحالة البسيطة التي يكون فيها المحوران و منطبقين والزاوية بين المحورين غير المميز والمميز هي ، تكون العلاقة بين مركبات غير المميزة والمميزة هي:
(A-2)
ونرى على الفور، كما هو متوقع أن . في الحالة الأعم، تكون العمليات الجبرية أكثر تعقيدًا قليلًا، لكن بالطبع تظل النتيجة كما هي.
fig172
شكل ٧: متجهان عند زاويتين مختلفتين.
fig173
شكل ٨: قانون جيب التمام مطبق على الأطوال المتجهية.
الزاوية بين متجهين هي كمية أخرى من الكميات التي يكون من الواضح أنها لا تعتمد على اصطفاف المحاور. إذا سمَّينا هذه الزاوية ، فإن الصيغة الخاصة بها (باستخدام المركبات) تكون:
(A-3)
لإثبات ذلك، تذكَّر صيغة حساب المثلثات من المرحلة الثانوية (انظر شكل ٨):
(A-4)
(والتي بُرهنت بإنشاء الخط المتقطع في شكل ٨ وتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الذي وتره وضلعاه الآخران هما و ). ولكن هو طول المتجه ، الذي تكون مركباته هي ، وهكذا؛ وبذلك يكون والذي يؤدي — بدمجه مع المعادلة (A-4) — إلى المعادلة (A-3). وبما أن فلن يكون هناك فرق سواء عرَّفنا بأنها الزاوية الداخلية أو الخارجية في شكل ٧.
يُعرَّف الضرب القياسي لمتجهين و بأنه ؛ حيث الزاوية بين و ويُشار له ﺑ . من المعادلة (A-3) لدينا:
(A-5)
الضرب القياسي مفيد على وجه الخصوص في استنتاج نظرية الشغل والطاقة في قسم [نظرية الشغل والطاقة]. نؤكد على أن الضرب القياسي هو عدد (قد يكون له أبعاد)، وليس متجهًا، وأن هذا العدد لا يعتمد على طريقة اصطفاف محاورنا. من (A-5) يتضح أن وأن . بالإضافة إلى ذلك، بما أن مركبات هي ، فإننا نرى أن .
إذا كان المتجه يمثل إزاحة، فإن ، و ، و ، و جميعها لها أبعاد الطول. إذا أنشأنا المتجه ، فإن مركبات هذا المتجه هي عدد لابُعْدِي، ومقدار هذا المتجه هو العدد اللابُعْدِي «١». المتجه اللابُعْدِي الذي مقداره «١» يسمى متجه وحدة. نرمز لمتجه الوحدة بحرف عليه العلامة « » بدلًا من السهم؛ وبذلك إذا رمزنا للمتجه بالرمز ، فإن هي متجه وحدة يشير في نفس اتجاه .
نُعَرِّف متجهات الوحدة ، و ، و التي تشير (في الاتجاه الموجب) على طول محاورنا