ملاحق

(١) ملحق (أ)

(١-١) المتجهات

هناك العديد من الكيانات التي يتعامل معها علم الفيزياء (بما فيها القوى، والسرعات، والتسارعات) يكون لدى كلٍّ منها مقدار واتجاه. هذه الكيانات تسمى المتجهات. على الصعيد المحلي، تُمَثَّل المتجهات بحروف ثقيلة أو (كما في هذا النص) بحروف عادية فوقها أسهم (على سبيل المثال، = السرعة).

ينص قانون نيوتن الثاني (يُعَبَّر عنه بالمتجهات على الصورة ) على أن مقدار عجلة جسيم كتلته يتناسب (بمعامل تناسب ) مع مقدار القوة المؤثرة على الجسيم، ويكون اتجاه العجلة هو نفس اتجاه القوة. يوفر التعبير المتجهي طريقة موجزة لصياغة العلاقة بين العجلة والقوة. إذا أدخلنا مجموعة من المحاور اليمينية المتعامدة ، و، و، تكون المعادلة المتجهة مكافئة لثلاث معادلات عددية ؛ حيث هي القوة في الاتجاه ، و هي العجلة في الاتجاه ، وهكذا. إلى جانب المقدرة على توفير طريقة موجزة لكتابة العلاقة الرياضياتية بين العجلة والقوة، فإن التعبير المتجهي يوضح صراحة أن هذه العلاقة لا تعتمد على اصطفاف المحاور المستخدمة (أي الاتجاهات التي تشير إليها المحاور).

بصورة أعم، عندما نعبر عن معادلة ما باستخدام المتجهات، فإننا نوضح بطريقة موجزة العلاقة (أو العلاقات) بين مقادير واتجاهات الكيانات الفيزيائية الممثلة بالمتجهات. هذه العلاقة صحيحة، بغضِّ النظر عن اصطفاف المحاور المستخدمة، ويمكننا اختيار طريقة اصطفاف المحاور بحُريَّة وبأي طريقة نجدها ملائمة. أحيانًا (مثلًا، كما في استنتاج نظرية الشغل والطاقة) يكون إدخال أية محاور أمرًا غير ضروري. إلى جانب ذلك، هناك العديد من العمليات الرياضياتية المختلفة التي تتعامل مع المتجهات (سوف نقدم فقط العمليات ذات الصلة بالميكانيكا الأولية) والتي توفر، في كثير من الحالات، رؤى ثاقبة وتقلل الجهد، مقارنة بما كنا سنفعله لو كنا اخترنا مجموعة معينة من المحاور وعالجنا مجموعة من المعادلات الآنية المشتملة على مركبات المتجهات (= الإسقاطات المتعامدة) في اتجاهات هذه المحاور.

الملاحظات السابقة دعاية لفائدة الاعتياد على استخدام التعبير المتجهي والعمليات البسيطة المتعلقة بالمتجهات.

() تعريفات وبراهين

ليكن و أي نقطتين في الفراغ، وارسم خطًّا (سهمًا) من إلى . سوف نسمي «رأس» السهم ونوضحها بالرمز . أحيانًا نسمي «ذيل» السهم. يُمَثِّل السهم (والذي سوف نسميه متجه ) إزاحةً؛ أي التغير في موضع جسيم يتحرك (أو يُحَرَّك) من إلى . إذا اعتبرنا و نقطتين على مسار الجسيم، فسوف ندرك أن هناك العديد من المسارات المحتملة من إلى . على سبيل المثال (شكل ١)، إذا أرشدنا الجسيم بأيدينا، يمكننا أن نحركه على خط مستقيم من إلى ، ثم على خط من إلى ، وبعدها على خط من إلى المتجه يمثل التأثير المحصِّل لتلك الإزاحات الثلاث المتتالية. يرمز لطول (أو «مقدار») بالرمز أو ، وهو المسافة (عدد موجب دائمًا) بين و. نفضل استخدام كلمة «مقدار» عن كلمة «طول»؛ لأن المتجهات قد تُمثِّل كيانات (مثل السرعات والتسارعات) أبعادها ليست أبعاد الطول. يمكن وصف اتجاه رياضياتيًّا (مثلًا بواسطة إحداثيين قطبيين على كرة)، لكننا نتعمد في هذه المرحلة الامتناع عن تقديم أي مجموعة معينة من المحاور.

شكل ١: متجه بين نقطتين و.

شكل ٢: هناك عدة مسارات من إلى .

إذا كان عددًا حقيقيًّا موجبًا، نعرِّف المتجه بأنه متجه له نفس اتجاه ومقداره . وإذا كان عددًا حقيقيًّا سالبًا، فإن يُعرَّف بأنه متجه في اتجاه متعاكس (موازٍ في اتجاه عكسي) مع مقداره ؛ وبالتالي فإن يشير في اتجاه عكس ومقداره يساوي × (مقدار ) .

عندما نُمثِّل إزاحة بواسطة متجه، فربما يكون الموقع الفعلي للمتجه في الفراغ ذا مغزى ما أو ربما لا يكون كذلك. نعتبر على وجه العموم أن المتجه يُعرَّف كليًّا بمقداره واتجاهه؛ لا تتغير هذه الصفات بتحريك المتجه إلى موقع آخر مع الحفاظ على اتجاهه (تسمى هذه الحركة الانتقال الموازي). إذا كان موقع المتجه مهمًّا، فلن نكتفي بتعيين مقدار واتجاه المتجه فقط، وإنما نعين أيضًا موقع رأسه أو ذيله.

لقد عرَّفنا بالفعل عملية ضرب متجه في عدد حقيقي؛ ناتج هذه العملية هو أيضًا متجه. نُعرِّف الآن جمع المتجهات؛ أي عملية جمع متجهين أو أكثر. قد يعتبر شخص ما أن المتجهات تُمثِّل إزاحات، لكن نفس التعريف يُستَخدم عندما تُمثل المتجهات سرعات، وقوى، أو أي شيء آخر.

شكل ٣: المتجه الناتج من جمع و.

إذا اعتبرنا و إزاحتين، فإن المتجه يُعرَّف بأنه الإزاحة الكلية الناتجة عندما يتعرض جسم ما (على سبيل المثال، كتلة نقطية) للإزاحة متبوعة بالإزاحة . هندسيًّا (شكل ٣)، إذا رسمنا المتجه ورسمنا بعد ذلك المتجه ، عن طريق وضع ذيل على رأس ، فإن هو المتجه من ذيل إلى رأس . بالمثل، هو المتجه الذي يمثل الإزاحة الكلية الناتجة عندما يتعرض جسم ما للإزاحة متبوعة بالإزاحة .

إذا رسمنا متوازي الأضلاع (شكل ٤) بحيث يكون ضلعاه هما و، نرى أن المتجه من إلى يمثل ناتج عمل الإزاحة متبوعة بالإزاحة ، وأيضًا يمثل ناتج عمل الإزاحة متبوعة بالإزاحة . لأي متجهين (ليس بالضرورة أن يمثِّلا إزاحتين) يُعرَّف الجمع المتجهي بالإنشاء الهندسي الموضح في شكل ٣. وبذلك نرى أن ؛ أي إن الجمع المتجهي يكون إبداليًّا. نُعرِّف بأنه مجموع المتجه والمتجه ؛ أي إن . في شكل ٤ افترض أننا استبدلنا المتجه من إلى بدلًا من المتجه من إلى . بما أن المتجه من إلى هو المتجه والمتجه من إلى هو ، نرى أن المتجه من إلى هو .

شكل ٤: متوازي أضلاع يتكون من متجهين و.

في شكل ٢ لتكن ، و، و، على الترتيب، متجهات من إلى ، ومن إلى ومن إلى . وبهذا يكون هو المتجه من إلى ، و هو المتجه من إلى . هو المتجه من إلى ، و هو المتجه من إلى ؛ وبذلك يكون ؛ أي إن الجمع المتجهي يكون إدماجيًّا ويمكن حذف الأقواس. لاحظ أن البرهان لا يفترض وقوع في نفس المستوى. يمكن أيضًا تعميم البرهان ليشمل جمع أي عدد من المتجهات.

وأخيرًا، يقتضي كلٌّ من تعريفي جمع المتجهات وضرب متجه في عدد حقيقي ضمنًا وجود الخاصية التوزيعية .

تعمدنا تقديم التعريفات والبراهين السابقة دون إدخال أي مجموعة من المحاور (مجموعة المحاور هي نظام إحداثي) لكي نؤكد على أن المتجهات تتيح لنا التمكن من ذكر العلاقات بين الكميات الفيزيائية دون التقيد بأي اختيار معين لمجموعة من المحاور. في الحسابات الفعلية، يكون غالبًا من المناسب إدخال محاور.

شكل ٥: ثلاثة محاور يمينية متعامدة .

نقدم الآن ثلاثة محاور يمينية متعامدة تمر خلال نقطة أصل O مشتركة. إذا كنا بصدد دراسة متجهات تُمثِّل أطوالًا، فإن كل نقطة على المحور لديها عدد مصاحب لها، مقدار العدد مساوٍ لبعدها عن نقطة الأصل (مقيسًا بوحدات الطول التي نستخدمها أيًّا كانت). إشارة العدد موجبة على أحد جانبي نقطة الأصل وسالبة على الجانب الآخر. بالمثل، تُعيَّن أعداد لكل نقطة على المحورين و. الجزء الموجب من كل محور في شكل ٥ هو خط متصل، والجزء السالب هو خط متقطع. إذا كنَّا (على سبيل المثال) معنيين بدراسة متجهات تُمثِّل سرعات، فإن الأعداد على المحور سوف تكون سرعات (مقيسة بوحدات السرعة التي نستخدمها أيًّا كانت)، ويمثل محور الموجب سرعات في اتجاه زيادة ويمثل محور السالب سرعات في اتجاه نقصان .

إذا وضعنا ذيل متجه عند نقطة الأصل، فإننا نطلق على المركبات الكارتيزية لرأس المتجه . تذكر: إذا مرَّرنا مستوى، متعامدًا مع المحور ، خلال رأس المتجه ، فإن الإحداثي للنقطة التي يقطع عندها المستوى المحور هو . بالإضافة إلى ذلك، ؛ حيث الزاوية بين ومحور الموجب. تُطبَّق نفس الملاحظة على و. كثيرًا ما نطلق على «المركبة للمتجه ».

من تعريف جمع متجهين، نرى أن المركبة والمركبة والمركبة ﻟ هي و و. بالمثل، المركبة ﻟ هي ، وهكذا.

شكل ٦: مركبات المتجه تعتمد على أيٍّ من المحاور نستخدم.

المقدار للمتجه هو (طبقًا لنظرية فيثاغورس):

(A-1)

إذا كانت محاوري تصطف بطريقة مختلفة عن محاورك ، فإننا مع ذلك نتفق على طول المتجه ؛ أي إن . على وجه العموم، يتطلب تعيين اصطفاف محاورك بالنسبة لمحاوري ثلاث زوايا. بالنسبة للحالة البسيطة التي يكون فيها المحوران و منطبقين والزاوية بين المحورين غير المميز والمميز هي ، تكون العلاقة بين مركبات غير المميزة والمميزة هي:

(A-2)

ونرى على الفور، كما هو متوقع أن . في الحالة الأعم، تكون العمليات الجبرية أكثر تعقيدًا قليلًا، لكن بالطبع تظل النتيجة كما هي.

شكل ٧: متجهان عند زاويتين مختلفتين.

شكل ٨: قانون جيب التمام مطبق على الأطوال المتجهية.

الزاوية بين متجهين هي كمية أخرى من الكميات التي يكون من الواضح أنها لا تعتمد على اصطفاف المحاور. إذا سمَّينا هذه الزاوية ، فإن الصيغة الخاصة بها (باستخدام المركبات) تكون:

(A-3)

لإثبات ذلك، تذكَّر صيغة حساب المثلثات من المرحلة الثانوية (انظر شكل ٨):

(A-4)

(والتي بُرهنت بإنشاء الخط المتقطع في شكل ٨ وتطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث القائم الذي وتره وضلعاه الآخران هما و). ولكن هو طول المتجه ، الذي تكون مركباته هي ، وهكذا؛ وبذلك يكون والذي يؤدي — بدمجه مع المعادلة (A-4) — إلى المعادلة (A-3). وبما أن فلن يكون هناك فرق سواء عرَّفنا بأنها الزاوية الداخلية أو الخارجية في شكل ٧.

يُعرَّف الضرب القياسي لمتجهين و بأنه ؛ حيث الزاوية بين و ويُشار له ﺑ . من المعادلة (A-3) لدينا:

(A-5)

الضرب القياسي مفيد على وجه الخصوص في استنتاج نظرية الشغل والطاقة في قسم [نظرية الشغل والطاقة]. نؤكد على أن الضرب القياسي هو عدد (قد يكون له أبعاد)، وليس متجهًا، وأن هذا العدد لا يعتمد على طريقة اصطفاف محاورنا. من (A-5) يتضح أن وأن . بالإضافة إلى ذلك، بما أن مركبات هي ، فإننا نرى أن .

إذا كان المتجه يمثل إزاحة، فإن ، و، و، و جميعها لها أبعاد الطول. إذا أنشأنا المتجه ، فإن مركبات هذا المتجه هي عدد لابُعْدِي، ومقدار هذا المتجه هو العدد اللابُعْدِي «١». المتجه اللابُعْدِي الذي مقداره «١» يسمى متجه وحدة. نرمز لمتجه الوحدة بحرف عليه العلامة «» بدلًا من السهم؛ وبذلك إذا رمزنا للمتجه بالرمز ، فإن هي متجه وحدة يشير في نفس اتجاه .

نُعَرِّف متجهات الوحدة ، و، و التي تشير (في الاتجاه الموجب) على طول محاورنا ، و، و على الترتيب. وبهذا يكون و. إذا كانت مركبات المتجه هي فإن .

يُنشئ الضرب القياسي عددًا من متجهين. هناك نوع آخر من الضرب، يسمى الضرب المتجهي، يُنشئ متجهًا من متجهين. قد يبدو تعريف الضرب المتجهي غريبًا قليلًا، لكنه في الواقع هيئة «طبيعية» رياضياتية؛ فهو الطريقة الوحيدة لدمج متجهين و لتكوين متجه ثالث مع مراعاة المتطلبات الآتية:

(١)
مقدار واتجاه لا يعتمد على طريقة اصطفاف محاورنا ولا يشترط وجود اتجاهات مفضلة في الفراغ لإنشاء .
(٢)
، يُعتبر دالة في و، تمتلك خاصية التوزيع في كلا المتغيرين.

الضرب المتجهي مفيد في مناقشة حركة الأجرام السماوية وفي مناقشة الأجسام أو مجموعات من الأجسام التي يمكن أن يكون لديها حركة دورانية وحركة انتقالية.

يُعَرَّف الضرب المتجهي (يُشار إليه ﺑ ) كما يلي:

(١)
أحضر ذيلَيْ و لينطبقا أحدهما على الآخر (باستخدام الانتقال الموازي) ولتكن الصفحة هي المستوى الذي يحوي و. عرِّف بأنه متجه وحدة عمودي على الصفحة ويشير إلى داخل الصفحة؛ عرِّف بأنه متجه وحدة عمودي على الصفحة ويشير إلى خارج الصفحة. من الواضح أن .
(٢)
تخيل الآن أنك تقوم بإدارة حتى يشير إلى نفس اتجاه . يمكن إنجاز ذلك إما عن طريق دوران في اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية أو دوران عكس اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية .
(٣)
كما حددنا
(A-6)

شكل ٩: دوران أحد المتجهين في اتجاه الآخر.

شكل ١٠: عكس دوران أحد المتجهين في اتجاه الآخر.

ملاحظات. ؛ لأن و. إلى جانب ذلك، لا يعتمد تعريف على أي جانبي الورقة تكون عليه. إذا كنت على هذا الجانب من الورقة وكان هناك راصد آخر على الجانب الآخر، فإن «دورانك في اتجاه عقارب الساعة» هو ما يطلق عليه الراصد الآخر «دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة». طبقًا للراصد الآخر، فإن متجهك هو متجه وحدة يشير إلى داخل الصفحة (أي إنه يشير بعيدًا عن الراصد) ومتجهك يشير في اتجاه خارج من الصفحة (أي في اتجاه الراصد). وبذلك فإن الراصد الآخر سوف يكتب هو أيضًا المعادلة (A-6).

كثيرًا ما يُتخذ المسمار اليميني كمرجع لتلخيص المعادلات (A-6)، وهو النوع الوحيد الذي يمكنك شراؤه من محلات الأدوات. أحضر ذيلَيْ و لينطبقا أحدهما على الآخر باستخدام الانتقال الموازي، وضَعْ محور مسمار يميني على طول الخط الذي يمر بالذيل المشترك عموديًّا على مستوى و. لا يهم أي اتجاه يشير إليه المسمار. ثم تخيل إدارة حول الخط كمحور دوران حتى ينطبق اتجاها و. إذن:

(A-7)

حيث هي الزاوية التي أُدير خلالها و متجه وحدة يشير على طول الخط في الاتجاه الذي سيتحرك نحوه المسمار أثناء الدوران. بما أن الدوران كان يمكن إجراؤه في أي الاتجاهين، فإن المعادلة (A-7) تغطي كلا الحدين في (A-6).

من المهم ملاحظة أنه في تعريف ، نُدير (المتجه الأول في ترتيب الضرب المتجهي) حتى ينطبق اتجاهه على اتجاه . إذا كان دوران في اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية سوف يجعل و منطبقين، فإن دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية سوف يجعل الاتجاهين منطبقين. ينتج من المعادلة (A-6) أن:

(A-8)

شكل ١١: المستوى العمودي على المتجه .

نلاحظ أن الضرب المتجهي لمتجهين متوازيين في نفس الاتجاه أو متوازيين في عكس الاتجاه يكون صفرًا؛ لأن .

من المعادلات (A-6)، من السهل توضيح أن لأيِّ عدد حقيقي (موجب أو سالب) .

يشكل إثبات خاصية التوزيع:

(A-9)

يشكل تحديًا أكبر ويمكن، بالطبع، أن يحذفه القارئ المهتم فقط بالنتائج. لإثبات المعادلة (A-9) من المفيد تصور بطريقة مختلفة قليلًا. نرسم المتجهين و بحيث يكون ذيلاهما متلامسين عند نقطة نسميها . ليكن هو مسقط على هذا المستوى. [أي خط عمودي على المستوى ويمر خلال رأس سوف يقطع المستوى عند نقطة و هو المتجه من إلى .] إذا كانت هي أصغر الزاويتين بين و فإن و؛ وبذلك يكون و؛ حيث إن المتجه في المستوى (إذا ما نُظر إليه من نقطة على رأس ) وينتج من دوران في عكس اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية .

ليكن و متجهين اختياريين، إذن ننشئ عن طريق إسقاط على المستوى العمودي على وإدارة المسقط في عكس اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية . وبالمثل، ننشئ . نتذكر أننا ننشئ بوضع ذيل عند ووضع ذيل عند رأس ، ثم نرسم بعد ذلك سهمًا من إلى رأس ؛ وبذلك فإذا كان مسقطا و على المستوى العمودي على هما و، إذن فمسقط على المستوى هو . وإذا أدرنا المتجه عكس اتجاه عقارب الساعة خلال زاوية ، فإن المتجه الناتج، الذي سوف نسميه هو نفسه المتجه الذي سنحصل عليه بإدارة و في البداية خلال زاوية (لنحصل على و) ثم إنشاء المجموع المتجهي ؛ وبذلك فقد وضحنا أن ، وأثبتنا، بما أن ، المعادلة (A-9). أخيرًا، بما أن ، فإن الخاصية التوزيعية تطبق أيضًا على المعامل الأول:

(A-10)

شكل ١٢: متجهات الوحدة هذه تكون مجموعة محاور يمينية؛ أي نظام إحداثيات يميني.

إذا أدخلنا مجموعة محاور معينة لها متجهات وحدة ، و، و تشير للاتجاه الموجب على طول المحاور ، و، و، وكتبنا و؛ فإن الخاصية التوزيعية في الضرب المتجهي تمكننا من حساب مركبات . نعلم أن . مفاهيميًّا، نستخدم محاور يمينية (شكل ١٢) لها الخاصية (مما ينتج أن و). [إذا مددت إصبع الإبهام ، وإصبع السبابة وإصبع الوسطى ليدك اليمنى بحيث تكون جميعها متعامدة بعضها على بعض، فإنها تكون مجموعة محاور يمينية.] نجد أن:

(A-11)

كثيرًا ما نتعامل مع متجهات تتغير مع الزمن. على سبيل المثال، إذا كان هو المتجه من نقطة أصل ثابتة إلى الموضع اللحظي لجسيم متحرك، فإن هو متجه سرعة الجسيم. تُعَرَّف مشتقة متجه تمامًا بنفس طريقة تعريف مشتقة دالة ؛ أي إن:

(A-12)

إذا كان ومتجهات الوحدة ثوابت مع الزمن، فإن:

(A-13)

يمكن الحصول على مشتقة الضرب القياسي بطريقة مباشرة من المعادلة (A-5) أو (دون إدخال متجهات وحدة) من المعادلة (A-12). على سبيل المثال:

(A-14)

إذا أضفنا صفرًا (في هيئة ) إلى بسط المعادلة (A-14)، فإن الجانب الأيمن لهذه المعادلة يصبح:

(A-15)

بجعل نحصل على:

(A-16)

ولاحظ أن ترتيب المعاملات في الحدين غير مهم؛ لأن . يمكننا إجراء نفس المعالجة للضرب المتجهي (بالتعويض ﺑ بدلًا من ) لكن يجب أن نتخذ الحذر بإبقائنا على ترتيب المعاملات؛ لأن ؛ وبذلك نحصل على:

(A-17)

(٢) ملحق (ب)

(٢-١) نظريات مفيدة عن الطاقة، وكمية التحرك الزاوي، وعزم القصور الذاتي

تذكر أن تعريف مركز الكتلة (CM) لتجمُّع من الجسيمات هو:

(B-1)

وعلى نحو مكافئ

(B-2)

بتفاضل المعادلة (B-2) بالنسبة للزمن نحصل على:

(B-3)

افترض أن لدينا إطارًا قصوريًّا (نقطة أصل اختيارية ومجموعة محاور غير دوارة بالنسبة لنجوم بعيدة) وإطارًا قصوريًّا آخر (حيث مركز كتلة نظامنا و هي غير دوارة أيضًا). طاقة حركة (KE) نظامنا، كما تقاس في الإطار ، هي:

(B-4)

طاقة الحركة كما تقاس في الإطار ، هي:

(B-5)

نظرية. .البرهان ببساطة أن تكتب مع ملاحظة تلاشي حد الضرب في المربع؛ لأن .كمية التحرك الزاوية، كما تقاس في الإطار ، هي:

(B-6)

نستبدل بدلًا من ، و بدلًا من . يتلاشى حدان من الحدود الأربعة في مفكوك ، وهما [ و]. بتعريف:

(B-7)

يكون لدينا:

(B-8)

ناقشنا بالفعل حقيقة أن القوى القصورية في نظام ما لا تسهم في القوة الكلية والعزم الكلي المؤثرَين على النظام. واستنتجنا النتيجة ؛ حيث

(B-9)

و هي القوة الخارجية المؤثرة على الجسيم رقم . بكتابة نجد أن:

(B-10)

حيث هو العزم (نتيجة القوى الخارجية) المقيس في مركز كتلة النظام، و هي القوة الخارجية الكلية. نلاحظ من المعادلة (B-8) أن:

(B-11)

الحد الثاني على يمين المعادلة (B-11) يساوي صفرًا، والحد الثالث يساوي . وعليه يكون لدينا:

(B-12)

وعلى وجه الخصوص، هذه النظرية تعني ضمنًا أن جسمًا ما (أو تجمعًا من الجسيمات) يسقط تحت تأثير مجال جاذبية منتظم، فإن كمية التحرك الزاوية للنظام حول مركز كتلته CM تظل ثابتة (لأن الجاذبية لا تبذل عزمًا حول CM).تذكر أن عزم القصور الذاتي لجسم ما، حول خط ، هو حاصل جمع العناصر الكتلية للجسم مضروبًا في مربع بُعد العنصر عن الخط . من النظريات المفيدة، والتي من الأسهل التعبير عنها بالكلام، هي نظرية المحور الموازي: إذا كان هو عزم القصور الذاتي لجسم ما حول خط ، وكان عزم القصور الذاتي للجسم حول خط موازيًا للخط ويمر خلال مركز الكتلة CM، فإن ؛ حيث المسافة العمودية بين و، و هي كتلة الجسم.

برهان. لتكن نقطة على الخط وليكن متجه وحدة يشير (في أيٍّ من الاتجاهين) بطول . ليكن متَّجهًا من إلى عنصر الكتلة . فيكون:

(B-13)

إذا كان هو مركز الكتلة CM و المتجه من إلى عنصر الكتلة ، فإن . إذا كان هو المتجه من إلى فإن . بإدخال هذا في معادلة نرى أن الحدين و يتلاشيان؛ لأن . وبهذا يكون:

(B-14)

ناقشنا في الفصل الثامن بعض الأمثلة البسيطة لحركة الجسم الجاسئ، وفيها كانت السرعة الزاوية عمودية على الصفحة، وكان الجسم شكلًا يدور حول محور الدوران . ويهمنا كمية التحرك الزاوية ؛ حيث نقطة مثبتة في الجسم و متجه من إلى و. نكتب ؛ حيث متجهات مثبتة في الجسم. الإحداثيات لا تتغير مع الزمن، ولكن متجهي الوحدة و يدوران مع الجسم. نرى بسهولة أن و. وبهذا يكون ويكون:

(B-15)

الحد الأول في الطرف الأيمن للمعادلة (B-15) ما هو إلا عزم القصور الذاتي حول المحور خلال النقطة . تتلاشى الحدود الأخرى إذا كان للجسم تماثل كافٍ: إذا كان الجسم شكلًا يدور حول المحور ، فإنه يوجد عنصر كتلة مساوٍ عند إذا كان هناك عنصر كتلي عند ، ويتلاشى حاصل الجمع الثاني على اليمين (مثلما هي الحال مع حاصل الجمع الثالث)؛ بالمثل، إذا كان الجسم متماثلًا حول المستوى بحيث يوجد عنصرا كتلة متساويان عند و، فإن حاصلي الجمع الثاني والثالث على اليمين يتلاشيان. في هذه الحالات يمكننا كتابة ، كما في الحالة ثنائية البُعد.

في الفصل الثامن أثبتنا نظرية الشغل والطاقة لجسم جاسئ دوَّار حول نقطة ثابتة (انظر المعادلتين (8-50) و(8-51)). تمديد البرهان في الفصل الثامن، باستخدام معادلتي القوة والعزم لوصف حركة اختيارية لجسم جاسئ، ينطوي على المعالجات المتجهية المعقدة قليلًا، ولم يكن من المناسب إقحامها هنا. لكن، كما ذكرنا في الفصل الثامن، بما أننا قد أثبتنا أنه لكل جسيم في النظام يكون الشغل المبذول على الجسيم مساويًا للتغير في طاقة حركته، فسوف تطبق نظرية الشغل والطاقة على النظام ككل، علمًا بأن القوى الداخلية ليس لها إسهام في الشغل الكلي. ومن الأساسي افتراض أن النظام جسم جاسئ؛ لأن القوى الداخلية عادة سوف تبذل شغلًا إذا تغيرت الأبعاد بين الجسيمات.

اعتبر زوجًا من الجسيمات موضعهما (بالنسبة لمحاور اختيارية) في لحظة ما هما و، وبعد قليل يكونان و. المتجه من إلى هو ومربع البعد بين الجسمين هو . إذا كان الجسم جاسئًا، فإن المسافات بين الجسيمات لا تتغير، وهكذا يكون (خلال المرتبة الأولى في الكميات الصغيرة) ؛ حيث . إذا كانت القوة التي تبذلها على هي (القوة التي تبذلها على هي ) فإن الشغل الذي تبذله على يكون والشغل الذي تبذله على يكون ، ويصبح حاصل جمع الشغلين هو . سوف يكون هذا الضرب القياسي صفرًا إذا كانت موازية في اتجاه أو عكس اتجاه ؛ أي إذا كانت القوى مركزية. القوى الوحيدة غير المركزية هي تلك التي بين تيارات ثابتة (أي شحنات متحركة) في المادة. القوة المغناطيسية المؤثرة على شحنة متحركة تكون دائمًا عمودية على سرعة الشحنة، ومن ثم لا تبذل شغلًا [هذا الجزء من التبرير لا يتطلب أن يكون الجسم جاسئًا].

خلاصة: تنطبق نظرية الشغل والطاقة على الجسم الجاسئ حين تسهم قوى خارجية فقط تُسهم في الشغل.

(٣) ملحق (ج)

(٣-١) إثبات أن القوة كمية متجهة

كثيرًا ما يؤكَّد على الحقيقة التجريبية بأن القوة متجه. وهذا صحيح في واقع الأمر؛ لأنه بما أن ، فإن يجب أن تكون متجهًا؛ لأن متجه بالتأكيد. تذكر أننا في الفصل الثاني عرَّفنا بالاستقلال عن الحركة، ووحدة القوة هي الدفع أو السحب المبذول بواسطة جسم عياري ما (الفأر). الفريق المكون من فأرًا يسحب في اتجاه معين كان ممثَّلًا بسهم طوله يشير في ذلك الاتجاه (انظر شكل ٢-١ الذي أعدنا رسمه هنا). إذا أدخلنا المحورين و اللذين يصنعان زاويتين و مع اتجاه السحب الذي تقوم به الفئران، فهل نحتاج إلى إجراء تجربة توضح أن فريق الفئران يكافئ فريقين: فأرًا يسحب بطول المحور و فأرًا يسحب بطول المحور ؟

أزعم أننا نستطيع إثبات هذا بالفكر البحت.

افترض ؛ أي إن الفريق يسحب في الربع الأول. أنا أعتبر أنه من الواضح أن مباراة شدِّ الحبل سوف تنتهي بالتعادل إذا كانت مجموعتان مناسبتان من الفئران تسحبان في الاتجاهين السالبين على طول المحورين و. إذا أريد «برهان» ذلك، فمن الواضح أن النسبة كلما تغيرت سوف يتغير معها اتجاه الشدِّ المحصِّل نتيجة لتغير الفريقين على المحورين، وسيكونان في عكس اتجاه الشد الذي يقوم به الفريق عندما تأخذ النسبة قيمتها «الصحيحة». عندئذ، بضرب و في نفس المعامل فإنه يمكن ضبط مقدار الشد المحصِّل بحيث يلاشي الشد الذي يقوم به الفريق .

والآن إذا سمحنا للفريقين و بأن يسحبا في الاتجاهين بطول المحورين و، فإننا نستطيع القول بأن زوج الفريقين يكافئ الفريق الأصلي المكون من فأرًا. فضلًا عن ذلك:

(C-1)

شكل ١٣: فريقان من الفئران متصلان بنفس النقطة على نفس الجسم (شكل (أ) بالأعلى). يتكون أحد الفريقين من فأرًا يشدُّ في نفس الاتجاه الممثل بالمتجه ، والفريق الآخر يتكون من فأرًا يشدُّ في نفس الاتجاه الممثل بالمتجه . هل من الواضح أن فريقَيِ الفئران يكافئان فريقًا واحدًا (شكل (ب))، حيث اتجاه الفريق المفرد هو اتجاه المتجه وعدد الفئران في الفريق هو مقدار المتجه ؟

حقيقة أن و يتناسبان مع تنتج من حقيقة أنه إذا كان التعادل هو نتيجة شد الحبل الثلاثي، وتضرب كل الفرق في معامل ما، فلا تزال النتيجة هي التعادل. وحيث إن جميع الاتجاهات متكافئة في المكان، فإن نفس دالة الزاوية بين الفريق ومحور ما يجب أن تدخل في المعادلتين للفريقين و. لاحظ أننا نستخدم المقياس الدائري لأنه الأنسب.

القيد المهم على الدالة هو التناسقية. افترض أننا نستخدم فئة المحورين ( و)، وأنك تستخدم فئة محورين أخرى ( و) بنفس نقطة الأصل مثلنا، ولكنَّ محوريك يدوران مع عقارب الساعة (خلال زاوية ) بالنسبة لمحورينا (انظر شكل ١٤). يمكن استبدال الفريق بأن يحل محله فأرًا على محورنا و فأرًا على محورنا ، أو يحل محله بالتساوي تمامًا فأرًا على محورك و فأرًا على محورك . لكن الفئران التي على محورينا يمكن أن يحل محلها أعداد مناسبة من الفئران على محوريك (والعكس بالعكس). عندئذ يمكن استبدال فأرًا على محورينا بأن يحل محلها فأرًا على محورك و على محورك . بالمثل، يمكن استبدال فأرًا على محورك بأن يحل محلها فأرًا على محورك و فأرًا على محورك . عدد الفئران على محورك يجب أن يكون هو نفسه بغض النظر عما إذا كان الإحلال قد تم على مرحلة واحدة أو مرحلتين؛ أي إن

(C-2)

النص المناظر للمحور لا يضيف أي معلومة جديدة.

شكل ١٤: فئتان من المحاور، إحداهما تدور بالنسبة للأخرى.

نعلم بعض الحقائق الإضافية عن ، . فضلًا عن ذلك، عند مقارنة الحالتين عندما يكون الفريق في الربع الأيمن الأعلى للساعة، وعندما يكون الفريق في الربع الأيمن الأسفل، نرى أن و.

نفاضل المعادلة (C-2) مرتين بالنسبة إلى ، ثم نضع تساوي صفرًا. نستخدم الرمز شرطتين ليرمز إلى المشتقة الثانية. وبما أن ، فإنه ينتج أن ، ونحصل على:

(C-3)

هذه المعادلة التفاضلية مألوفة لنا في سياق مناقشتنا للذبذبات التوافقية. إذا كان (في تلك الحالة ليكن )، فإن الحل الأكثر عمومية للمعادلة (C-3) يكون . ولكي يكون يجب أن يكون ، ولكي يكون يجب أن يكون لدينا . لكن عندئذ سوف يكون من المستحيل استيفاء .

وبهذا نستخلص أن ، وليكن . الحل الأكثر عمومية للمعادلة (C-3) يكون عندئذ . ولكي يكون و يجب أن يكون لدينا و. ولكي يكون يجب أن يكون لدينا . المضاعفات الفردية الأكبر من الواحد يمكن حذفها حسب المتطلب الواضح (بدون شك!) بأن لكل . وبناءً على هذا يكون ، مما يثبت أن القوة لها جميع خصائص المتجه. وعلى وجه الخصوص، إذا أثر فريقان (كلٌّ منهما ممثَّل بسهم) بشدٍّ على نفس النقطة، فإنهما يكونان مكافئين لفريق مفرد ممثَّل بسهم عبارة عن حاصل الجمع المتجهي للسهمين.

(٤) ملحق (د)

(٤-١) التكافؤ بين عجلة المحاور وقوة التثاقل (الجاذبية) الاحتكاكية

نقدم هنا برهانًا على إضافة قوة جاذبية احتكاكية لتفسير حركة جسيم في إطار غير قصوري عندما يمكن تعيين عجلة الإطار بالنسبة لإطار قصوري.

برهان. إذا كانت محاور الإطار القصوري هي والمحاور المتصلة بصندوق (متسارع) هي ، وكانت المحاور المميزة بشرطة غير دوارة بالنسبة للمحاور التي بدون شرطة ولها عجلة (تسارع) بالنسبة للمحاور التي بدون شرطة، فإن الجسيم الذي له عجلة بالنسبة للمحاور المميزة بشرطة تكون عجلته بالنسبة للإطار القصوري. معادلة حركة الجسيم هي ؛ حيث هي القوة الكلية المؤثرة على الجسيم. يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلة على الصورة ؛ حيث هي حاصل جمع القوة الحقيقية والقوة الاحتكاكية . وهو المطلوب إثباته.

(٥) ملحق (ﻫ)

(٥-١) تنمية قدراتك لحل المسائل: مفيد (؟) اقتراحات

حوار: ط = طالب م = معلِّم أو أستاذ

ط : إنني أفهم المبادئ، لكنني أجد صعوبة في التعامل مع العديد من المسائل. هل توجد طريق منهجية، شيء ما مثل برنامج حاسوب أو مجموعة قواعد، للتعامل مع مسألة ما وحلِّها بدون الدخول في أنفاق مسدودة؟ إنك عندما تحل مسألة ما على السبورة تسلك طريقًا مباشرًا من المسألة إلى الحل، وفي كل مرحلة تبدو كأنك عليم بالمبدأ المتصل بالموضوع، وبكيفية تحويل المبدأ إلى معادلة مفيدة. هل عليَّ أن أحلَّ ألف مسألة وأقع في آلاف الأخطاء قبل أن أصبح بارعًا في الوصول إلى هذه الطريقة المباشرة؟

م : بالقطع تلك ستكون فكرة جيدة إذا كان لديك ما يكفي من الوقت والصبر، لكنك لن تصبح بعدُ ماهرًا وخبيرًا ما لم تتعلم من أخطائك. على سبيل التقريب (وبإغفال مناقشة بعض العوائق المربكة مثل الأخطاء الحسابية وعدم معرفة الفرق بين الجيب وجيب التمام)، هناك نوعان من الأخطاء: أخطاء مرتكَبة، وأخطاء إهمال. وإعداد قائمة تشمل فقط الأخطاء المهمة (التعليمية والتثقيفية) يحتاج إلى مجلد ضخم.
من أمثلة الأخطاء المرتكبة أن تكتب في إطار غير قصوري (مُنافٍ للقانون)، (مثل قياس بالنسبة إلى محاور متصلة بدوامة دوارة)، أو، عند وصف حركة بندول، أو استخدام معادلات كينماتيكية قابلة للتطبيق فقط على حركة جسم ما بعجلة منتظمة. أما خطأ الإهمال فهو إغفال معادلة مفيدة للقوة أو العزم، أو إهمال معلومة كينماتيكية مهمة، مثل العلاقة بين سرعات أجزاء مختلفة في نظام بكرات. في أي من هذه الحالات سوف يزيد عدد الكميات المجهولة عن عدد المعادلات.

ط : حسنًا، إنك في الحقيقة لم تخبرني بكيفية تحسين خبرتي ومهاراتي، اللهم إلا عن طريق مراقبة حلولك الأنيقة على السبورة.

م : لتكن كذلك إذا جاز التعبير، لقد علَّمْتني شيئًا ما عن الكيفية التي أدرِّس بها. ربما عليَّ أن أردَّ الجائزة التي حصلت عليها في التدريس، فلعلها استندت إلى توصية من قريب لي، بالإضافة إلى مهارتي في سرعة حل مسائل الميكانيكا للمبتدئين. من الواضح أنني لم أبيِّن لك بالقدر الكافي كيف أنظِّم تفكيري عن مسألة ما قبل أن أدوِّن أي معادلات. بالطبع، الخبرة بمسائل مماثلة تكون عملًا مساعدًا، لكني أعتقد أنه يوجد شيء ما ينبغي تعلُّمه.
قبل أن تدون أي معادلات، عليك أن تدرك عدد الكميات المجهولة الموجودة في المسألة، وأن يكون لديك برنامج واضح لوضع فئة من المعادلات المبنية على قوانين نيوتن و/أو القيود الكينماتيكية الكافية لتعيين تلك الكميات. ربما يكون من المفيد أن تسجل قائمة دقيقة لخطوات البرنامج، أو بالخبرة، تحتفظ في ذهنك بالبرامج. طبعًا قد يكون لديك عدة برامج محددة، وإذا كان الوقت يسمح، فعليك أن تنفذها. إذا لم تُفضِ جميعها إلى نفس النتيجة يكون من المهم التعرف على الخطأ (أو الأخطاء). ولسوف يتحقق التعلُّم بكل تأكيد.

ط : يبدو أنك قد بذلت معظم الجهد في الإقناع.

م : ذلك مجال اختصاصي، لكن عليك أن تبذل معظم الجهد في التفكير.