الاتزان الاستاتيكي لأجسام جاسئة بسيطة

نعلم من خبرتنا أنه عندما تؤثر قوة على جسم ممتد (مثلًا، أرجوحة الميزان)، فإن تأثير القوة يعتمد، ليس فقط على مقدار واتجاه القوة، وإنما أيضًا على موضع النقطة التي تؤثر عندها القوة. إذا وضعنا نقطة أصل O ورسمنا متجهًا من O إلى النقطة التي تؤثر عندها ، فإن المتجه الناتج من حاصل الضرب المتجهي يسمى «العزم الناتج من القوة حول نقطة الأصل O». يعتمد العزم على موضع نقطة الأصل؛ لأن المتجه يتغير إذا غيرنا نقطة الأصل.

نرمز للعزم بالمتجه (الحرف الإغريقي «تاو»)؛ أي إن: اتجاه متعامد على المستوى المحتوي على و وسوف يشير (طبقًا لقاعدة اليد اليمنى التي نوقشت بعناية في الملحق (أ)) خارجًا من الصفحة إذا كان و هما المتجهين المبيَّنين في شكل ٧-٣. مقدار هو ، الذي يمكن أن يكتب أيضًا أو ؛ حيث هو مقدار مركبة المتعامدة مع ، و هو مقدار مركبة المتعامدة مع (انظر شكل ٧-٣).

دعنا نعتبر نظامًا ما (أي مجموعة من الجُسيمات) في حالة اتزان (أي إن كل جُسيم يكون في حالة اتزان). ونرقم الجُسيمات باستخدام الدليل . القوة الكلية على كل جُسيم تساوي صفرًا. علاوة على ذلك، إذا اخترنا نقطة أصل O وقمنا بضرب طرفي المعادلة (7-2) متجهيًّا في (المتجه الواصل من O إلى موضع الجُسيم الذي ترتيبه i)، نجد أن: نتذكر أنه إذا جمعنا المعادلات (7-2) لجميع قيم ، فإن القوى الداخلية يلغي بعضها بعضًا كنتيجة لقانون نيوتن الثالث ونحصل على: حيث هي القوة الكلية الخارجية المؤثرة على النظام. هل نستطيع أيضًا القول بأن القوى الداخلية لا ينتج عنها محصلة للعزم مؤثرة على النظام؟

لاختبار هذا السؤال نحلل إلى جزأين: خارجي وداخلي (كما فعلنا في الفصل الثاني): حيث هي القوة التي تؤثر على بواسطة . إذا قمنا الآن بجمع معادلات العزم (المعادلة (7-3)) لجميع الجُسيمات، نحصل على: من الواضح أن أزواج الحدود في كلٍّ من الجمع الثنائي لا يلغي بعضها بعضًا. فمثلًا، الحدان () و() يعطيان: ويمكن دمج ذلك (باستخدام قانون نيوتن الثالث ) ليعطي . يتلاشى حاصل الضرب المتجهي هذا إذا كانت متوازية إما مع اتجاه أو عكس اتجاه . لكن هو متجه واصل من الجُسيم رقم ٢ إلى رقم ١؛ وبالتالي إذا كانت القوة بين أي جُسيمين متوازية إما مع اتجاه أو عكس اتجاه الخط الواصل بين الجُسيمين، فإن الضرب المتجهي سوف يتلاشى ولن تساهم القوى الداخلية في العزم الكلي. القوى التي تؤثر على طول الخط الواصل بين الجُسيمين تسمى قوى مركزية؛ من الأمثلة المألوفة قوة الجاذبية والقوة الكهروستاتيكية (اللتان لهما نفس الصورة الرياضياتية). بعض القوى في الطبيعة ليست قوى مركزية، ومن أكثر الأمثلة المألوفة القوى المغناطيسية. حتى في هذه الحالة، رغم ذلك، يمكن من خلال حجة أكثر تفصيلًا إظهار أن القوى الداخلية لا تساهم في العزم الكلي. لو لم يكن هذا صحيحًا لبدأ نظام ما معزول، تحت ظروف معينة، في الدوران أسرع فأسرع ولتمكن من بذل شغل دون أي طاقة داخلة.

طبقًا لذلك، نؤكد (رغم أن الإثبات العام تمامًا خارج نطاق هذه المناقشة) على أنه، إذا كان نظام ما في حالة اتزان، فإن القوى الداخلية لا تساهم في العزم الكلي؛ وبالتالي: حيث هو العزم الناتج من القوى الخارجية التي تؤثر على النظام.

في معظم الأمثلة التي سوف نعتبرها هنا، تكون قوة الجاذبية واحدة من القوى الخارجية المؤثرة على نظام ما. تؤثر هذه القوة على كل جُسيم في النظام؛ حيث إن الجُسيمات المختلفة على مسافات مختلفة من نقطة الأصل O. رغم ذلك، هناك نظرية هامة تجعل من حساب العزم الناتج بواسطة الجاذبية أمرًا سهلًا. (نفترض هنا أن منطقة الاهتمام صغيرة بقدر كافٍ بحيث يكون مقدار واتجاه قوة الجاذبية لوحدة الكتلة متماثلين لجميع الجسيمات في النظام تحت الدراسة.)

نظرية. من أجل حساب العزوم، يمكن اعتبار قوة الجاذبية الكلية على نظام ما أنها تؤثر على مركز الكتلة. (كما هو مبين في شكل ٧-٤ يكون عزم الجاذبية على النظام هو حيث المتجه الواصل من نقطة الأصل إلى مركز كتلة النظام، و الكتلة الكلية، و متجه وحدة يشير رأسيًّا لأعلى.)ينتج البرهان مباشرة من تعريف مركز الكتلة: عزم الجاذبية هو: بإدخال المعادلة (7-9) في المعادلة (7-10) نحصل على وهي النتيجة المطلوبة. يمكننا بمساعدة هذه النظرية حل بعض الأمثلة.

مثال ٧-١ (الاتزان الاستاتيكي لقضيب متزن). قضيب منتظم وزنه وطوله يستند على دعامتين؛ إحداهما عند نهاية الطرف الأيسر والأخرى على بعد من نهاية الطرف الأيسر. أوجد القوة التي يؤثر بها كل من الدعامتين على القضيب.

الحل. نضع متجهات الوحدة: الذي يشير رأسيًّا لأعلى، الذي يشير نحو اليمين، و إلى داخل الورقة كما هو مبين في شكل ٧-٥. القوى المؤثرة على القضيب هي المؤثرة عند نهاية الطرف الأيسر، و المؤثرة على بعد من نهاية الطرف الأيسر، وقوة الجاذبية التي يمكن اعتبارها مؤثرة عند نقطة المنتصف. وبما أن القوى الكلية على القضيب صفر، فإن: لا بد أن يكون العزم الكلي حول أي نقطة أصل صفرًا. إذا أخذنا نقطة الأصل عند نهاية الطرف الأيسر للقضيب، فإن القوة لا تساهم بأي عزم ونحصل على: وبذلك يكون: وبالتالي فإن . باستخدام المعادلة (7-11) نجد أن . كان في إمكاننا أيضًا أخذ العزوم حول نقطة أصل أخرى، مثلًا، الدعامة الأخرى. نجد في هذه الحالة: لنصل إلى أن ؛ وبذلك نرى أنه يمكن حل المسألة بكتابة معادلة قوة واحدة ومعادلة عزم واحدة، أو بكتابة معادلتَيْ عزم حول نقطتي أصل.

إذا كانت القوة الكلية على نظام ما صفرًا، وإذا كان العزم حول نقطة أصل معينة صفرًا، فينتج من ذلك أن العزم حول أي نقطة أصل أخرى يكون صفرًا. لرؤية ذلك، لتكن و نقطتي أصل، و هو المتجه الواصل من إلى O. افترض أن القوة الخارجية الكلية صفر: ، وأن العزم الخارجي حول O صفر: ؛ حيث هو المتجه الواصل من O إلى الجُسيم الذي ترتيبه . العزم حول هو ؛ حيث هو المتجه الواصل من إلى الجُسيم الذي ترتيبه . نرى من شكل ٧-٦ أن وبذلك فإن ؛ وبالتالي، إذا تلاشت و، فإن يتلاشى أيضًا.

بيَّنَّا أن تلاشي القوة والعزم الخارجيين الكليين هما شرطان ضروريان لاتزان نظام ما. ولكن هل سيكون أيضًا هذان الشرطان كافيَيْن للاتزان؟ إذا لم يكن النظام جسمًا جاسئًا فبالتأكيد ستكون الإجابة «لا»، وذلك كما يظهر من اعتبار العديد من الأمثلة البسيطة، مثل ذلك الموضح في شكل ٧-٧. كل من القوة والعزم الكليين يساوي صفرًا، وبالإضافة لذلك سوف يتحرك الجُسيمان أحدهما نحو الآخر بعجلة تزايدية. إذا كان النظام جسمًا جاسئًا، وكانت جميع جُسيمات النظام ساكنة عند لحظة ما، فيمكن أن نُبين أن جميع جُسيمات النظام سوف تظل ساكنة إذا تلاشى كل من القوة والعزم الخارجيين الكليين. يتضمن البرهان، الذي سوف يقدم في الفصل التالي، تحليلًا للحركات الممكنة لجسم جاسئ (التي تكون محدودة على نحو هائل بالمقارنة بحركات مجموعة اختيارية من الجُسيمات).

جميع الأمثلة الاستاتيكية التي سوف نناقشها ثنائية الأبعاد؛ أي إن جميع الجُسيمات وجميع القوى تكون في مستوى (سوف نجعله مستوى الصفحة). طبقًا لذلك، تكون جميع العزوم متعامدة على هذا المستوى وتتناسب (كما يُشار في مثال ٧-١) مع أو . العزم المتناسب مع يتجه إلى داخل الصفحة ويُسمى غالبًا «عزم مع عقارب الساعة»، والعزم المتناسب مع يتجه إلى خارج الصفحة ويُسمى غالبًا «عزم ضد عقارب الساعة»؛ وبذلك يمكننا حذف جميع المتجهات في معادلة العزم، بشرط أن نتذكر وضع إشارات معكوسة للعزوم التي مع وضد عقارب الساعة.

في شكل ٧-٥ تصنع القوة عزمًا ضد عقارب الساعة حول نهاية الطرف الأيسر للقضيب. وتصنع القوة عزمًا مع عقارب الساعة. لاحظ أنه في شكل ٧-٥ «تحاول» القوة إدارة القضيب في اتجاه ضد عقارب الساعة حول نهاية طرفه الأيسر، بينما «تحاول» القوة إدارة القضيب في اتجاه مع عقارب الساعة حول نهاية طرفه الأيسر. إذا أخذنا نقطة الأصل عند نهاية الطرف الأيمن للقضيب، فإن كلًّا من و تصنعان عزمًا مع عقارب الساعة وتصنع عزمًا ضد عقارب الساعة. على الطلاب الذين يجدون صعوبة مع الإشارات حساب حاصلات الضرب المتجهية ببساطة.

مثال ٧-٢ (اتزان استاتيكي لقضيب معلق). قضيب منتظم AB، وزنه ، مُثبت إلى حائط باستخدام مفصل أملس عند A وأُبقيَ عليه في وضع أفقي باستخدام سلك CB عديم الوزن يصنع زاوية مع الأفقي. احسب الشد في السلك والمركبتين الرأسية والأفقية للقوة التي يؤثر بها الحائط على القضيب.

الحل. نعرض في شكل ٧-٩ جميع القوى المؤثرة على القضيب. و هما مقدارَا القوتين الرأسية والأفقية اللتين يؤثر بهما الحائط عند A، من المفترض أن تكون هاتان القوتان في الاتجاهين الموضحين بالسهمين. إذا اتضح أن سالبة، فسوف نعلم من المعادلات أن القوة الرأسية التي يؤثر بها الحائط متجهة إلى أسفل وليس إلى أعلى، سوف تعني قيمة السالبة أن الحائط يؤثر بقوة أفقية متجهة نحو اليسار. لاحظ أن هناك ثلاثة مجاهيل وثلاث معادلات تنص على شروط اتزان القضيب (مركبتان لمعادلة القوة ومعادلة عزم واحدة)؛ وبالتالي فإن المسألة محددة رياضيًّا.المعادلتان الأفقية والرأسية للقوة هما: إذا أخذنا عزومًا حول A، نجد أن: حيث طول القضيب، وبذلك يكون . وبالتعويض في المعادلة (7-15) نجد أن و. كان من الممكن إيجاد قيمة مباشرة بأخذ العزوم حول B.

مثال ٧-٣ (الاتزان الاستاتيكي لقضيب معلق ومربوط). تكرس معظم المقررات التمهيدية القليل جدًّا من الوقت للاستاتيكا؛ ونتيجة لذلك، فإن قلة قليلة من الطلاب تكتسب الأسلوب الملائم لحل مسائل كهذه المسألة، ويندر من بين هذه القلة من يستطيع حلها بكفاءة. غير أنه من المفضل أن يدرس الطالب هذا المثال الذي يوضح عددًا من النقاط المهمة.الشكل الهندسي لهذا المثال مشابه لمثال ٧-٢، AB قضيب وزنه ، وCB قضيب وزنه ، والوصلات عند A وB وC هي مفاصل ملساء. احسب القوتين الأفقية والرأسية اللتين يؤثر بهما الحائط عند A وعند C، والقوتين الأفقية والرأسية اللتين يؤثر بهما كل قضيب على الآخر عند B.

الحل. هناك عدة قوى مجهولة في هذه المسألة. سوف تصبح العمليات الجبرية سهلة بقدر كبير إذا حذفنا، من البداية، بعض المجاهيل باستخدام معادلات القوة وقانون نيوتن الثالث. من المهم أيضًا إدراك أن هناك ثلاثة أنظمة مختلفة (القضيب AB، والقضيب CB، والنظام ABC المتكون من القضيبين) ويمكن كتابة معادلات القوة والعزم لها. [ومع ذلك، ليست كل المعادلات مستقلة جبريًّا. إذا تلاشت القوة والعزم على أي اثنين من هذه الأنظمة، فإن القوة والعزم على النظام الثالث يتلاشيان أيضًا.]عرضنا في شكل ٧-١٠ جميع القوى الخارجية المؤثرة على ABC (تكون القوى عند الوصلة قوى داخلية في النظام ABC). نرمز إلى القوتين الأفقية والرأسية عند A بالرمزين و، مع افتراض اتجاههما كما هو موضح بالسهمين. حينئذٍ يلزم تعيين القوتين الأفقية والرأسية عند C تلاشي القوتين الكليتين الأفقية والرأسية ABC. بالمثل، يبين شكل ٧-١١ القوى المؤثرة على AB (لاحظ أن القوى عند نهاية الطرف الأيمن هي القوى المؤثرة بواسطة القضيب CB على القضيب AB). يبين شكل ٧-١٢ القوى المؤثرة على القضيب CB؛ وبالتالي فإنه، باستخدام معادلات القوة اختزلنا عدد المجاهيل إلى مجهولَين. أسهل طريقة نستطيع بها تعيين هي بأخذ العزوم على AB حول نقطة الأصل B، لنحصل على ( = طول ) وبهذا تكون . وإحدى الطرق السهلة لحساب هي أخذ العزوم على ABC حول نقطة الأصل A (شكل ٧-١٠)، لنحصل على ، وبهذا تكون . يمكن للمرء، بالطبع، كتابة معادلات عزم أخرى تؤدي لنفس قيمتي و. بإدخال قيمتي و في الأشكال من ٧-١٠ إلى ٧-١٢ نحصل على القوى. أحد الأخطاء الشائعة هي افتراض أن القوة التي يؤثر بها القضيب CB على الحائط متوازية مع القضيب CB. لو كان هذا صحيحًا لكانت القوة التي يؤثر بها الحائط على CB متوازية (أو متوازية بالعكس) هي أيضًا مع CB ولصنعت عزمًا حول B؛ وبالتالي فإن العزم الوحيد على CB حول نقطة الأصل B سيكون العزم الناتج من ولن يتمكن القضيب من أن يكون في حالة اتزان (إلا إذا كانت ، في هذه الحالة تكون القوة التي يؤثر بها CB على الحائط متوازية مع CB).

من المهم أيضًا فهْم ما يعنيه «مفصل أملس»، ولماذا نفترض عادة أن الوصلة مثبتة بمفصل أملس. نفترض أن القضبان متصلة بعضها ببعض، وبسنَّادات على الحائط، بواسطة مسامير عمودية على مستوى الصفحة وتمر خلال ثقوب دائرية في القضبان (انظر الأشكال من ٧-١٣ إلى ٧-١٥). من المفترض أن سطح التماس بين المسمار والثقب مشحم جيدًا بحيث تكون القوى الوحيدة التي تؤثر عند ذلك السطح عمودية على السطح؛ وبالتالي، إذا جعلنا مركز الثقب هو نقطة الأصل، فإننا نرى أن المسمار لا يؤثر بمحصلة عزم على القضيب (لكنه يؤثر غالبًا بمحصلة قوة). إذا ثُبِّت القضيب بسنَّادة حائط بواسطة مفصل صدئ بدرجة كافية (شكل ٧-١٥)، فيمكن أن يظل القضيب في وضع أفقي دون أي دعم إضافي. إذا جعلنا نقطة الأصل عند مركز الثقب، فإن الوزن يصنع عزمًا على القضيب مع عقارب الساعة؛ رغم ذلك، تصنع المركبة المماسية للقوة التي يؤثر بها المسمار على سطح الثقب عزمًا ضد عقارب الساعة له نفس مقدار عزم الجاذبية (إذا كان المفصل صدئًا بدرجة كافية)؛ وبالتالي يكون القضيب في حالة اتزان.

إذا عرَّفنا نظامنا بأنه جزء القضيب خارج الحائط، وإذا أخذنا نقطة الأصل O النقطة التي يدخل عندها القضيب في الحائط (شكل ٧-١٦)، فيتضح إذن أن العزم الوحيد على النظام هو عزم الجاذبية. مرة أخرى، لا بد أن ندرك أن للقضيب سمكًا محدودًا. في الواقع، يتدلى الجزء البارز من القضيب قليلًا بحيث يُطيل الجزء العلوي من القضيب بقدر بسيط (في الشد) وينضغط الجزء السفلي بقدر بسيط. قسَّمنا القضيب في شكل ٧-١٧ إلى جزء I خارج الحائط وجزء II داخل الحائط بواسطة مستوى تخيلي. يصور شكل ٧-١٧ تخطيطًا للقوى التي يؤثر بها II على I خلال المستوى المُقسِّم. في الجزء العلوي من القضيب، يؤثر II بقوة سحب على I نحو اليسار، وفي الجزء السفلي للقضيب يؤثر II بقوة دفع على I نحو اليمين. إذا أخذنا نقطة الأصل O عند نقطة منتصف المستوى المُقسِّم، فمن الواضح أن نظام القوى الموضح في شكل ٧-١٧ يصنع عزمًا ضد عقارب الساعة يلغي عزم الجاذبية مع عقارب الساعة. الأكثر من ذلك، II يؤثر بقوة رأسية (قص) على I تسمح بتحقيق معادلة القوة. تحليل القوى الداخلية في القضبان، والتشوه الصغير المصاحب لتلك القوى، هو خارج نطاق هذه المناقشة.

مثال ٧-٤ (سلم يتكئ على جدار أملس). سلم منتظم يقف مستندًا بنهاية طرفه العلوي على حائط أملس ويستند طرفه السفلي على أرضية خشنة (معامل الاحتكاك الاستاتيكي ). يميل السلم بزاوية على الأفقي. احسب القوتين الرأسية والأفقية التي تؤثر بهما الأرضية، واحسب أقل زاوية يمكن عندها أن يقف السلم دون أن ينزلق.

الحل. يبين شكل ٧-١٩ القوى المؤثرة على السلم. يمكن للحائط، لكونه أملس، أن يؤثر فقط بقوة أفقية متجهة نحو اليمين. لكي تتلاشى القوة الكلية على السلم، لا بد أن تؤثر الأرضية بقوة مقدارها متجهة نحو اليسار وقوة رأسية تساوي وزن السلم . بأخذ العزوم حول نهاية الطرف السفلي للسلم، نجد أن: حيث طول السلم؛ وبذلك تكون . لكي لا ينزلق السلم لا بد أن يكون ؛ أي إن ؛ وبالتالي فإن .

مثال ٧-٥ (تسلق سلم يتكئ على جدار أملس). نبين في شكل ٧-٢٠ سيدة وزنها عند مسافة من أسفل سلم طوله ووزنه يميل فوق الأفقي بزاوية . ليكن و. معامل الاحتكاك الاستاتيكي بين السلم والأرضية هو .

الحل. يبين مخطط القوة في شكل ٧-٢٠ القوى المؤثرة على السلم (من المفترض أن وزن السيدة الكلي متزن حول ركبتها وهي تتكئ على السلم، وأن الركبة تبعد مسافة عن أسفل السلم). بأخذ العزوم على السلم حول نهاية الطرف السفلي، نجد أن: ؛ وبذلك فإن . ولكي لا ينزلق السلم، لا بد أن يكون لدينا ؛ أي إن: لاحظ أن الطرف الأيسر من المعادلة (7-18) يزيد بزيادة ؛ وبالتالي، إذا تحققت المعادلة (7-18) عند ، فإنها تتحقق أيضًا عند ؛ وبذلك فإن السيدة تستطيع الوصول إلى قمة السلم إذا كان: شكل ٧-٢١ عبارة عن رسم بياني للمقدار كدالة في . الرسم البياني دالة متزايدة في تقترب من القيمة التقرُّبية ١ كلما كان . وطبقًا لذلك، إذا كان ، فإن أي شخص (مهما كان وزنه) يستطيع التسلق إلى القمة دون أن يتسبب في انزلاق السلم. في هذه المسألة و؛ وبالتالي إذا كان ، فإن أي شخص يمكنه الوصول للقمة. وإذا كان ، فإننا نوجد وزن أثقل شخص يمكنه الوصول للقمة بوضع الطرف الأيسر من المعادلة (7-19) مساويًا ﻟ ٠,٥. يؤدي هذا إلى أن ؛ وبالتالي فإن أو حوالي ١٣٦ رطلًا. إذا كان ، فإن السلم سوف ينزلق قبل أن يصل الشخص للقمة. بوضع الطرف الأيسر من المعادلة (7-18) مساويًا ﻟ ٠,٥ وبإدخال نجد أن ، وهو ما يؤدي إلى أن ؛ وبالتالي فإن = ٥٫٧٣ متر أو حوالي ١٨,٨ قدمًا بالنسبة لسلم طوله حوالي ٢٠ قدمًا.

قبل ترك موضوع الاستاتيكا، ينبغي لنا أن ندرك أننا قصرنا اهتمامنا على المواقف المحددة رياضيًّا؛ أي المواقف التي يمكن فيها تعيين جميع القوى بواسطة معادلات القوة والعزم دون الحاجة إلى معلومات إضافية تفصيلية عن النظام. الأمثلة التالية، غير المحددة استاتيكيًّا، توضح حقيقة أن معادلات القوة والعزم ليست كافية دائمًا للإجابة على جميع الأسئلة.

المسألة ٧-١ . إطار على شكل حرف A يتكون من قضيبين متساويين في الطول متصلين عند نقطة التقابل بمفصل أملس ومتصلين بسلك عند نقطتي منتصفهما. وزن القضيبين و، وكلاهما يصنع زاوية مع الأفقي. احسب الشد في السلك، مع ملاحظة أن الأرضية ملساء.

المسألة ٧-٢ . [] لوح مائل بزاوية (يمكن تغييرها) فوق الأفقي. وهناك كتلة ساكنة على اللوح. معامل الاحتكاك الاستاتيكي بين الكتلة واللوح هو . ارتفاع الكتلة (أي البعد العمودي على المنحدر) 10.0 cm وعرضها (البعد الموازي للمنحدر) 6.00 cm. افترض أننا قمنا بزيادة ببطء، بداية من . من الواضح أن في النهاية، حسب قيمة ، سوف تنزلق الكتلة أسفل المنحدر أو سوف تنقلب.

المسألة ٧-٣ . (قارن بين هذه المسألة والمسألة ٢-٢) قضيب منتظم AB (وزنه ، وطوله ) متصل بالسقف بواسطة مفصل أملس عند A. قضيب منتظم ثانٍ BC (وزنه ، وطوله ) متصل بالقضيب AB بمفصل أملس عند B. هناك قوة أفقية مطبقة على القضيب BC عند نهاية الطرف السفلي (C). احسب الزاوية بين كل قضيب وبين الرأسي في حالة الاتزان.

المسألة ٧-٤ . قضيب أفقي (رقم ١) كتلته (موزعة بانتظام) وطوله ، مربوط في حائط رأسي بمفصل أملس عند نهاية طرفه الأيسر (A). كتلة معلقة من نهاية الطرف الأيمن، ومربوطة بواسطة خيط رأسي عديم الكتلة. القضيب رقم ١ مدعوم من أسفل بواسطة قضيب قطري (رقم ٢) كتلته (موزعة بانتظام). نهاية الطرف الأيسر (السفلي) لرقم ٢ مربوطة بالحائط بواسطة مفصل أملس عند نقطة (B) أسفل A، والنهاية اليمنى لرقم ٢ مربوطة برقم ١ بواسطة مفصل أملس عند النقطة C، في منتصف رقم ١. الزاوية بين رقم ٢ والأفقي هي . احسب القوتين الأفقية والرأسية المؤثرتين بواسطة الحائط على كل من A وB، والقوتين الأفقية والرأسية المؤثرتين بواسطة رقم ٢ على رقم ١ عند C. [ينبغي أن يكون حلُّك مختصرًا بقدر الإمكان ولا يجب أن يتضمن الكثير من العمليات الجبرية.]

المسألة ٧-٥ . طوق كتلته به كتلة نقطية ( أيضًا) مربوطة عند نقطة على المحيط. الطوق في حالة اتزان استاتيكي على مستوى مائل، أُبقي في مكانه بواسطة الاحتكاك الساكن. يصنع المستوى زاوية 20° مع الأفقي. أوجد الزاوية بين الخطين AB وBC؛ حيث A النقطة التي عندها يلمس الطوق المستوى، وB مركز الطوق، وC موضع الكتلة النقطية.