البرهان بالتناقض

(١) التفكير القائم على التمني

في سبتمبر من العام ١٩٥٥، عُقِدَت في طوكيو ندوةٌ دوليَّة. وكانت تلك فرصةً فريدة للباحثِين اليابانيِّين الشباب الكثيرين؛ كي يُظهِروا لبقية العالَم ما قد تعلَّموه. وزَّعوا على الحاضرين مجموعةً تتألَّف من ستٍّ وثلاثين مسألةً تتعلَّق بأعمالهم، وأرفَقوها بمقدمةٍ متواضعة: بعض المسائل التي لا حلَّ لها في الرياضيات: لم نُجْرِ إعداداتٍ مدروسةً؛ لذا فقد يوجد فيما بينَها مسائلُ تافهة أو مسائلُ قد جرى حلُّها بالفعل. يُطلَب من المشاركين التعليقُ على أيٍّ من هذه المسائل.

إنَّ العلاقات بين الموضوعات التي تبدو مختلفةً مهمةٌ من الناحية الإبداعية في الرياضيات، بقدرِ أهميَّتِها في أيِّ مجالٍ آخر. ذلك أنَّ العلاقةَ تُشير إلى حقيقةٍ دفينة تُثري كِلا الموضوعين. فعلى سبيل المثال، كان العلماء في البداية يدرسون الكهربيةَ والمغناطيسية على أنهما ظاهرتان مختلفتان تمامًا. وبعد ذلك في القرن العشرين، أدرك العلماءُ النظَريُّون والتجريبيون أنَّ القوتَين الكهربيةَ والمغناطيسيةَ ترتبطان ارتباطًا وثيقًا. وقد أدى ذلك إلى تعميقِ فَهْمِ كِلْتا الظاهرتَين. فالتيارات الكهربية تُنتج حقولًا مِغناطيسيَّة، ويمكن للمَغانِط أن تُولِّد طاقةً كهربية في الأسلاك التي تمرُّ بالقرب منها. وأدَّى هذا إلى اختراع المولِّدات الكهربية والمحركات الكهربية، ثم أدَّى في النهاية إلى اكتشافِ أنَّ الضوء نفسَه هو نتيجةُ حقولٍ مغناطيسية وحقول كهربية تتذبذب في تناغم.

لقد كانت الفكرة القائلةُ بارتباط كلِّ معادلة إهليلجية بأحد الأشكال النمطية استثنائيةً للغاية، حتى إنَّ مَن ألقَوُا النظر على أسئلة تانياما رأَوا أنها لا تَزيد عن كونها ملاحظةً مثيرة للفضول. وقد أثبتَ تانياما بالطبع إمكانيةَ ربطِ بضعةٍ من المعادلات الإهليلجية بأشكالٍ نمطية محدَّدة، لكنهم زعَموا أنَّ ذلك ليس سوى مُصادَفة. فوَفْقًا للمتشككين، بدا ادِّعاء تانياما بوجود علاقةٍ أكثرَ عموميَّةً وشمولية، ادِّعاءً لا أساسَ له. كانت الفرضيةُ مبنيَّةً على الحَدْس دون أيِّ دليل فِعلي.

كان حليفُ تانياما الوحيدُ هو شيمورا الذي كان مقتنعًا بقوةِ فكرة صديقه وعُمقها. وبعد الندوة، عمل مع تانياما في محاولةٍ لتطوير الفرضية إلى المستوى الذي يدفع بقيةَ العالم إلى عدم تجاهُلِ عمَلِهما مرةً أخرى. أراد شيمورا إيجادَ المزيد من الأدلة التي تدعم العلاقة بين العالم النمطي والعالم الإهليلجي. وتوقَّف هذا التعاونُ مؤقتًا حين دُعيَ شيمورا في العام ١٩٥٧ للعمل في معهد الدراسات المتقدِّمة في برينستون. وبعد مرور عامين عَمِل فيهما أستاذًا زائرًا في أمريكا، اعتزم شيمورا مواصلةَ العمل مع تانياما، لكنَّ ذلك لم يحدث أبدًا. ففي السابع عشر من نوفمبر عام ١٩٥٨، انتحر يوتاكا تانياما.

شكل ٥-٧: لا يزال جورو شيمورا يحتفظ بالرسالة التي تلقَّاها من صديقه وزميله يوتاكا تانياما.

(٢) موت عبقري

لا يزال شيمورا يحتفظُ بالبطاقة البريديَّة التي أرسلها له تانياما حين تَراسلا لأولِ مرةٍ بشأن كتاب المكتبة. وهو يحتفظ أيضًا بآخرِ رسالة كتبها تانياما إليه بينما كان بعيدًا في برينستون، لكنها لا تتضمَّن أيَّ إشارة ولو طفيفة عما كان سيحدثُ بعد ذلك بشهرَين. وحتى هذا اليوم، لا يفهم شيمورا شيئًا عما دفَع تانياما إلى الانتحار. «كنت متحيرًا للغاية. ربما تكون الحيرةُ هي الوصفَ الأنسب. كنتُ حزينًا بالطبع، لكنَّ الأمر كان مُباغتًا للغاية. لقد وصلَتْني رسالتُه في سبتمبر، ومات هو في بداية نوفمبر، ولم أستطِعْ أن أفهمَ هذا على الإطلاق. سمعتُ أشياءَ عديدةً بعد ذلك بالطبع، وحاولتُ أن أتصالح مع موته. قال بعض الأشخاص إنه فقَد الثقةَ في نفسه، لكنَّ ذلك لم يكن من الناحية الرياضية.»

وما كان شديدَ الإرباك لأصدقاءِ تانياما، هو أنه كان قد وقَع للتوِّ في غرام ميساكو سوزوكي، وخطَّط للزواج بها في وقتٍ لاحِق من العام. في إشادةٍ شخصية نُشِرت في نشرة الجمعية الرياضية في لندن «بوليتِن أوف ذا لندن ماثيماتيكال سوسايتي»، يسرد جورو شيمورا ذِكريات خِطْبة تانياما إلى ميساكو، والأسابيع التي انتهت بانتحاره:

وبعد حادثةِ الانتحار ببضعةِ أسابيع، حلَّت المأساةُ مرةً أخرى. فقد أنهت خطيبتُه ميساكو سوزوكي حياتَها. ويُقال إنها ترَكَت رسالةً جاء فيها: «لقد وعَدَ أحدُنا الآخرَ بأننا لن نفترقَ أبدًا أينما ذهَبْنا. والآن وقد رحَل، فلا بد أن أذهب أيضًا كي أكونَ معه.»

(٣) فلسفة الخيريَّة

على مدى حياته المِهْنية القصيرة، أسهمَ تانياما في الرياضيَّات بالعديد من الأفكار الجذريَّة. تضمَّنَت الأسئلةُ التي وزَّعَها في الندوة أعظمَ رُؤاه، لكنها كانت تسبقُ عصرَها بالكثير حتى إنه لم يَعِش ليرى تأثيرَها الضخم على نظرية الأعداد. لقد فُقِد إبداعُه الفكري على نحوٍ محزن، وكذلك دوره الإرشادي في مجتمَع العلماء اليابانيِّين الشباب. ويتذكَّر شيمورا تأثيرَ تانياما على نحوٍ واضح فيقول: «لقد كان عَطوفًا للغاية مع زُملائه، لا سيَّما مع الأصغرِ سنًّا منهم، وكان يهتمُّ بسعادتهم اهتمامًا صادقًا. كان مصدرَ دعمٍ معنويٍّ للعديد ممَّن تواصَلوا معه بشأن الرياضيات، وأنا منهم بالطبع. والأرجح أنه لم يكن مُدرِكًا لهذا الدورِ الذي كان يؤدِّيه قط. غير أنني أشعر الآن بكرَمِه النبيل في هذا الجانب، بدرجةٍ أقوى مما كنت أشعرُ به في حياته. بالرغم من ذلك، لم يستطع أحدٌ أن يُمِدَّه بالدعم حين كان في أمَسِّ الحاجة إليه. وحين أُفكر في هذا، يغمرني شعورٌ شديد بالأسى.»

بعد موت تانياما، ركَّز شيمورا جميعَ مجهوداته على فَهْم العلاقة الدقيقة بين المعادلات الإهليلجية والأشكالِ النمطية. ومع مرورِ السنوات، كان يُناضل لجمعِ المزيد من الأدلة مع بعضِ الحجج المنطقيَّة لدعمِ النظرية. وكان اقتناعه يَزيد تدريجيًّا بأنَّ كلَّ معادلة إهليلجية لا بد أن تكون مرتبطةً بشكلٍ نمطي ما. أما علماءُ الرياضيات الآخَرون فقد كانوا لا يزالون مُتشكِّكين، ويذكر شيمورا محادثةً له مع زميلٍ بارز. وسأله هذا البروفيسور: «سمعتُ أنك تقترح إمكانيةَ الربط بين بعض المعادلات الإهليلجية والأشكال النمطية.»

وقد جاءت إجابة شيمورا على النحوِ التالي: «كلا، أنت لا تفهم. ليس «بعض» المعادلات الإهليلجية فحَسْب، بل «جميع» المعادلات الإهليلجية!»

لم يستطع شيمورا إثباتَ صحةِ ذلك، غير أنَّه كان كلما اختبَر فرضيتَه، بدا أنها صحيحة، ثم إنها كانت تتلاءمُ مع فلسفته العامة في الرياضيات على أي حال. «إنني أعتنقُ فلسفةَ الخيريَّة. ينبغي أن توجد الخيريةُ في الرياضيات. ولهذا؛ ففي حالةِ المعادلة الإهليلجية، يمكن للمرء أن يَصِف المعادلةَ بالخيرية إذا كان من الممكنِ التعبيرُ عنها بالحدود من خلالِ شكلٍ نمَطي. وأنا أتوقَّع أن تكون المعادلاتُ الإهليلجية جميعُها خيِّرةً. صحيحٌ أنها فلسفة أولية، لكن يمكن للمرء دومًا أن يتخِذَها كنقطةِ انطلاق. كان علَيَّ بعد ذلك بالطبع تطويرُ عدة أسباب تقنية للحَدْسية. يُمكنني القول إنَّ الحدسيَّةَ قد نبعَت من فلسفةِ الخيرية تلك. إنَّ معظم علماء الرياضيات يُمارسون الرياضياتِ انطلاقًا من وجهةِ نظرٍ جَمالية، وفلسفةُ الخيرية تلك تنبعُ من وجهة نظري الجمالية.»

وفي نهاية المطاف، كان تَراكُم أدلةِ شيمورا يعني أنَّ نظريته عن المعادلات الإهليلجية والأشكالِ النمطية قد حَظيَت بالقَبول على نطاقٍ أوسع. لم يستطعْ أن يُثبِت صحتَها لبقية العالم، لكنها كانت قد أصبحَت الآن أكثرَ من محضِ تفكيرٍ نابع من التمنِّي على الأقل. صار هناك من الأدلة ما يَكْفي ليجعلَها جديرةً بلقَبِ الحدسية. وقد سُمِّيَت في بادئِ الأمر بحَدْسية تانياما-شيمورا، تقديرًا للرجل الذي استلهَمَها وزميلِه الذي واصل العملَ لتطويرها على نحوٍ كامل.

وفي الوقت المناسب، كان أندريه ويل، وهو أحدُ الآباء الروحيِّين لنظرية الأعداد في القرن العشرين، سيتبنَّى الحَدْسية ويُروِّج لها في الغرب. درَس ويل فكرة شيمورا وتانياما، ووجدَ المزيد من الأدلة القوية التي تُؤيِّدها. ونتيجةً لهذا؛ فكثيرًا ما كان يُشار إلى الفرضية باسمِ حَدْسية تانياما- شيمورا-ويل، وباسم حَدْسية تانياما-ويل في بعض الأحيان، وباسم حدسية ويل من وقتٍ إلى آخَر. والحقُّ أنَّ الاسم الرسميَّ للحدسية قد شهد الكثيرَ من الجدال والخلاف. ربما يعلم المهتمُّون بالرياضيات التوافُقية أنَّه يوجد ١٥ من التوافيق الممكِنة في ظل وجود الأسماء الثلاثة المحدَّدة، ومن المحتمل أن يكون كلٌّ من هذه التوافيق قد ظهَر في المنشورات على مدى السنين. بالرغم من ذلك، فسوف أشيرُ إلى الحدسية باسمها الأصلي، وهو حدسية تانياما-شيمورا.

كان البروفيسور جون كوتس، الذي أرشدَ أندرو وايلز حين كان طالبًا، هو نفسُه طالبًا حين صارت حَدْسية تانياما-شيمورا موضعَ الحديث في الغرب. «لقد بدأت البحث عام ١٩٦٦ حين كانت حدسيةُ تانياما-شيمورا تجتاحُ العالم. كان الجميع مندهِشين وبدَءُوا يَدْرُسون بجدِّية إمكانيةَ أن تكون المعادلات الإهليلجية جميعُها نمَطية. كان ذلك وقتًا مثيرًا للغاية، لكنَّ المشكلة الوحيدة بالطبع هي أنَّ إحراز تقدمٍ قد بدا صعبًا للغاية. أعتقد أنه من الإنصاف القولُ إنه بالرغم من جمال هذه الفكرة، فقد كان إثباتُها فِعليًّا أمرًا صعبًا للغاية، وهذا هو ما نهتمُّ به نحن — المتخصصين في الرياضيات — بصفةٍ أساسية.»

شهد باري ميزور، البروفيسور بجامعة هارفارد، بزوغَ حَدْسية تانياما-شيمورا. «لقد كانت حدسيةً رائعة، ذلك التخمينُ القائل بأنَّ كلَّ معادلة إهليلجية ترتبط بشكلٍ نمطي ما، لكنَّ علماء الرياضيات تجاهَلوها في البداية؛ لأنها كانت سابقةً لعصرها كثيرًا. وهي لم تُقبَل حين اقتُرِحت لأول مرة؛ لأنَّها كانت مذهلةً للغاية. فمن ناحيةٍ ما، لديك العالَمُ الإهليلجي، وعلى الناحية الأخرى لديك العالَم النمَطي. إنَّ كُلًّا من هذين الفرعَين من فروع الرياضيات، قد دُرِسا بصورة مكثَّفة لكن على نحوٍ منفصل. فعلماء الرياضيات الذين يدرُسون المعادلات الإهليلجية قد لا يكونون ضَليعِين في الأشكال النمطية، والعكس أيضًا صحيح. ثم تأتي من بعد ذلك حدسيةُ تانياما-شيمورا، وهي ذلك التخمين العظيم بوجودِ جسرٍ بين هذين العالمَين المختلفَين تمامَ الاختلاف. وعلماء الرياضيات يُحبُّون بناء الجسور.»

للجسور الرياضية قيمةٌ ضخمة للغاية. ذلك أنها تُمكِّن، مجتمعاتِ علماء الرياضيات الذين كانوا يعيشون على جُزرٍ منفصلة من تبادل الأفكار واستكشافِ بعضهم ابتكارات بعض. فالرياضيات تتألَّف من جُزرٍ من المعرفة في بحرٍ من الجهل. فعلى سبيلِ المثال، هناك الجزيرةُ التي يسكنُها علماءُ الهندسة الذين يَدرُسون الأشكالَ والأجسامَ، وهناك جزيرةُ الاحتمالات حيث يُناقش علماء الرياضيات المخاطرَ والفرص. توجد العشَراتُ من مثلِ هذه الجزُر، ولكلٍّ منها لُغتُها الفريدة التي لا يفهمها سكَّان الجزرِ الأخرى. فلغة الهندسة تختلفُ كثيرًا عن لغة الاحتمالات، واللغةُ العامية للتفاضلِ والتكامل لا تعني أيَّ شيء لمَن لا يتحدثون سِوى لغةِ الإحصائيات.

وقد كانت الإمكانيةُ العظيمة التي تَحملها حَدْسيةُ تانياما-شيمورا هي الربْطَ بين جزيرتَين، والسماحَ لهما بأن تتحدَّث إحداهما إلى الأخرى للمرة الأولى. يرى باري ميزور أنَّ حَدْسية تانياما-شيمورا بمثابةِ أداةٍ للترجمة مثل حجَر رشيد، الذي تضمَّن اللغة المِصْرية الديموطيقية واللغة اليونانية القديمة واللغة الهيروغليفيَّة. ولأنَّ اللغتين الديموطيقيةَ واليونانية كانتا مفهومتَين بالفعل، فقد تمكَّن علماءُ الآثار من فكِّ شفرة الرموزِ الهيروغليفية للمرةِ الأولى. ويقول ميزور: «إنَّ الأمر يُشبه كما لو أنَّك تعرف لغةً واحدة، وسيمنحك حجرُ رشيد هذا فَهْمًا عميقًا للُّغة الأخرى. غير أنَّ حدسية تانياما-شيمورا هي حجرُ رشيدٍ يتمتَّع بقوة سحرية محدَّدة. ذلك أنَّ الحدسية تتَّسِم بتلك الخاصية الرائعة المتمثِّلة في أنَّ الأمور الحدسية البسيطة في العالم النمطي، تُترجَم إلى حقائقَ عميقةٍ في العالم الإهليلجي. وعلاوةً على ذلك، فإنَّ المسائلَ شديدةَ العمق في العالم الإهليلجي، يُمكن حلُّها في بعض الأحيان من خلال ترجمتِها باستخدامِ حجر رشيد هذا إلى العالم النمَطي، واكتشاف أننا نمتلكُ في العالم النمطيِّ الأفكارَ والأدواتِ اللازمةَ لمعالجة المسألة المترجَمة. أما في العالم الإهليلجي، فقد كنا سنُصبح في حيرةٍ من أمرنا.»

إذا اتضح أنَّ حدسية تانياما-شيمورا صحيحة، فإنها ستُمكِّن علماءَ الرياضيات من معالجة المعادلات الإهليلجية التي ظلَّت دون حلٍّ على مدى قرونٍ طويلة، وذلك من خلال دراستها عن طريق العالم النمطي. لقد ألهمَت الحدسيةُ علماء الرياضيات بالأمل في توحيدِ مجالَي المعادلات الإهليلجية والأشكالِ النمطية معًا. وألهَمَتهم أيضًا بالأمل في إمكانية وجودِ روابطَ بين العديد من الموضوعات الرياضية الأخرى.

في ستينيَّات القرن العشرين، أدرك روبرت لانجلاندز من معهد برينستون للدراسات المتقدمة، فَعاليَّةَ حدسيةِ تانياما-شيمورا. فبالرغم من أنَّ الحدسية لم تكن قد أُثبِتَت بعد، كان لانجلاندز يعتقد أنَّها عنصرٌ واحد في مخطَّط أكبرَ كثيرًا للتوحيد. لقد كان واثقًا من وجود روابطَ بين جميع الموضوعات الأساسية في الرياضيات، وبدأ في البحث عن روابطِ التوحيد تلك. وفي غضون بضع سنوات، بدأ عددٌ من الروابط في الظهور. وصحيحٌ أنَّ جميع حَدْسيات التوحيد الأخرى كانت أضعفَ كثيرًا من حدسية تانياما-شيمورا وتخمينيةً بدرجة أكبر، فإنها كوَّنَت شبَكةً متشابكةً من الصِّلات الافتراضية تَربِطُ بين العديد من مجالات الرياضيات. كان لانجلاندز يحلم برؤيةِ هذه الحدسيات وقد أُثبِتت واحدةً تِلْو الأخرى؛ مما يُؤدي إلى توحيد مجال الرياضيات الكبير.

ناقش لانجلاندز خُطتَه للمستقبل، وحاول أن يُقنع غيرَه من علماء الرياضيات بالاشتراك فيما أصبح معروفًا باسم برنامج لانجلاندز، وهو مجهودٌ منسَّق لإثبات حدسياته الكثيرة. لم يبدُ أنَّ ثمةَ طريقًا واضحًا لإثبات تلك الروابط التخمينية، لكن إذا تحول الحلم إلى حقيقة، فستكون الجائزةُ ضخمة. فأي مسألة لا يُمكن حلُّها في أحد مجالات الرياضيات، سيُمكن تحويلُها إلى مسألةٍ مُناظِرة في مجالٍ آخرَ حيث توجد ترسانةٌ جديدة بأكملها من التقنيات التي يُمكن استخدامها في معالجة المسألة. وإذا كان أحد الحلول لا يزال صعبَ المنال، فيمكن تحويل المسألة ونقلُها إلى مجالٍ آخر من مجالات الرياضيات، وهكذا دواليك إلى أن يُمكِنَ حلُّها. ووفقًا لبرنامج لانجلاندز، سيتَمكَّن علماءُ الرياضيات ذات يوم من حلِّ أكثر المسائل غموضًا وأصعَبِها في الحل من خلال تحريكها بين أرجاء المشهد الرياضي.

كان البرنامج ينطوي أيضًا على نتائجَ مهمةٍ في مجالات العلوم التطبيقية والهندسة. فسواءٌ أكان الأمر يتعلَّق بتصميم نماذجِ التفاعلات بين الكواركات المتصادمة أمِ اكتشافِ الطريقة الأكثرِ كفاءةً لتنظيم شبكة اتصالات، فغالبًا ما يتمثَّل الحلُّ في إجراء عمليةٍ حسابية رياضيَّة. وفي بعضِ مجالات العلوم والتكنولوجيا، يصل تعقيدُ العمليات الحسابية إلى درجةٍ هائلة، حتى إنه يُعيق من تقدُّم المجال كثيرًا. فلو أنَّ علماءَ الرياضيات قد تَمكَّنوا من إثباتِ حَدْسيات الربط التي يتضمَّنُها برنامجُ لانجلاندز، لأصبحَ لديهم طرقٌ مختصَرة لحلِّ المسائل العمَلية والمجرَّدة.

وبحلول السبعينيَّات من القرن العشرين، كان برنامج لانجلاندز قد أصبح مخطِّطًا لمستقبل الرياضيات، لكنَّ هذا الطريق إلى فِرْدوس حلِّ المسائل كان مغلقًا بسبب الحقيقة البسيطة المتمثلة في أنَّ أحدًا لم يكن يمتلكُ أدنى فكرةٍ عن كيفية إثبات أيٍّ من حَدْسيات لانجلاندز. لقد ظلَّت الحدسيةُ الأقوى في البرنامج هي حدسيةَ تانياما-شيمورا، لكن حتى هذه الحدسية بدَتْ بعيدةَ المنال. كان برهان حدسية تانياما-شيمورا سيُصبح هو الخطوةَ الأولى في برنامج لانجلاندز، ومِن ثَمَّ فقد أصبح أحدَ أكبرِ الجوائز في نظرية الأعداد الحديثة.

وبالرغم من وضعِ حَدْسية تانياما-شيمورا بوصفِها حَدْسية غيرَ مثبَتة، فقد استمرَّ ذِكرُها في المئات من الأوراقِ البحثيَّة الرياضية التي تتضمَّن تخميناتٍ بشأنِ ما سيحدثُ إذا أمكنَ إثباتُها. كانت الأوراق تبدأ بذِكْر التحذير بكلِّ وضوح «بافتراض صحَّة حدسية تانياما-شيمورا، …» ثم تُواصل في إيضاح حلٍّ لإحدى المسائل التي لا حلَّ لها. وقد تكون هذه النتائجُ نفسُها محْضَ افتراضاتٍ بالطبع؛ إذ اعتمدَت على صحةِ حدسية تانياما-شيمورا. وهذه النتائج الافتراضية الجديدة دُمِجت بدَورِها في نتائجَ أخرى إلى أن صار لدينا وَفرةٌ من المعارف الرياضية التي قامت على أساسِ صحة حدسية-تانياما شيمورا. إنَّ هذه الحدسيةَ الواحدة قد أصبحَت أساسًا لبناءٍ جديد كاملٍ من الرياضيات، غير أنَّ هذا المبنى بأكملِه يظلُّ هشًّا إلى أن تثبت الحدسية.

في ذلك الوقت، كان أندرو وايلز باحثًا شابًّا في جامعة كامبريدج، وهو يذكر القلقَ الذي أصاب مجتمعَ الرياضيَّات في سبعينيَّات القرن العشرين قائلًا: «لقد بنَينا الكثير والكثير من الحدسيات التي امتدَّت إلى ما هو أبعدُ وأبعدُ في المستقبل، غير أنها ستكون جميعًا بلا قيمة إذا لم تكن حدسيةُ تانياما-شيمورا صحيحة. ولهذا؛ كان علينا أن نُثبت حَدْسية تانياما-شيمورا لنُوضِّح أنَّ هذا التصميمَ الكامل الذي نأمُل أن نكون قد خطَّطْناه للمستقبل صحيح.»

بَنى علماءُ الرياضيات بيتًا ضعيفًا من الورَق. وقد كانوا يحلمون بأن يتمكَّن أحدٌ ذاتَ يوم من أن يمنح بِناءهم الأساسَ المتين الذي كان في حاجةٍ إليه. وكان عليهم أيضًا أن يتَعايشوا مع الكابوس المتمثِّل في أنَّ أحدَهم قد يُثبت ذاتَ يوم أنَّ حَدْسية تانياما-شيمورا خاطئةٌ في حقيقة الأمر؛ فيؤدِّي بذلك إلى إهدارِ مقدارِ عقدَين من البحثِ هَباءً.

(٤) الرابط المفقود

في خريف العام ١٩٨٤، اجتمعَت مجموعةٌ مختارة من علماءِ نظريَّة الأعداد لندوةٍ في أوبرفولفاخ، وهي بلدةٌ صغيرة تقعُ في قلبِ الغابة السوداء في ألمانيا. وقد اجتمَعوا معًا لمناقشة العديد من الإنجازات في مجال دراسةِ المعادلات الإهليلجية، ولا شكَّ أنَّ بعض المتحدِّثين كانوا سيتطرَّقون أحيانًا لذِكْر أيِّ تقدمٍ أحرَزوه في إثباتِ حَدْسية تانياما-شيمورا، وإن كان طفيفًا. كان جيرارد فراي أحدَ المتحدِّثين، وهو رياضيٌّ من ساربروكن، ولم يُقدِّم أيَّ فكرةٍ جديدة بشأن كيفية التصدِّي للحدسية، لكنه قدَّم زعمًا بارزًا، مَفادُه أنَّه إذا تمكَّن أحدُهم من إثبات حَدْسية تانياما-شيمورا، فسوف يتمكَّن على الفور من إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة.

حين نهضَ فراي للحديث، بدأ بكتابة معادلة فيرما:

، حيث n أكبر من ٢.

واصل فراي بعد ذلك ليقومَ ﺑ «إعادة ترتيب» المعادلة. وهو إجراءٌ رياضي دقيق يتمثَّل في تغيير مظهرِ المعادلة دون أن يُغيِّر من صحتها. ومن خلال سلسلةٍ حاذقة من المناورات المعقَّدة، حوَّل فراي معادلةَ فيرما الأصلية وحلها الافتراضي، إلى الصورة:

وبالرغم من أنَّ هذا الترتيب يَبْدو مختلِفًا للغاية عن المعادلة الأصلية، فهو نتيجةٌ مباشرة للحلِّ الافتراضي. أي إننا نفترض — ويجب التأكيد هنا على كلمة «نفترض» — أنه يوجد حلٌّ لمعادلة فيرما، وأنَّ مبرهنةَ فيرما الأخيرة خاطئةٌ، ومِن ثَمَّ فلا بد أيضًا من وجودِ هذه المعادلة المُعادِ ترتيبها. في بادئ الأمر، لم يكن جمهورُ فراي منبهرًا بطريقةِ ترتيبه الجديدةِ للمعادلة، لكنه أوضحَ بعد ذاك أنَّ هذه المعادلةَ الجديدة هي معادلةٌ إهليلجية في حقيقة الأمر، وإن كانت معقَّدة وغريبة بعض الشيء. فالمعادلات الإهليلجية تتخذ الصورة:

وإذا افترضنا أنَّ:

فسوف يَسهُل علينا إدراكُ الطبيعة الإهليلجية لمعادلة فراي.

ومن خلالِ تحويلِ معادلة فيرما إلى معادلة إهليلجية، ربطَ فراي بين مبرهنة فيرما الأخيرة وبين حدسية تانياما-شيمورا. بعد ذلك، أوضح فراي لجمهورِه أنَّ معادلتَه الإهليلجية التي ابتدَعها من حلِّ معادلة فيرما، شاذةٌ للغاية. وقد زعم فراي بالفعل أن مُعادلتَه الإهليلجية شديدةُ الغرابة حتى إنَّ تداعيات وجودها ستكون مدمِّرة لحدسية تانياما-شيمورا.

يجب أن نتذكَّر أنَّ معادلةَ فراي الإهليلجية ليست سِوى معادلةٍ وهمية. فوجودُها مشروطٌ بحقيقةِ أن تكون مبرهنةُ فيرما الأخيرة خاطئةً. بالرغم من ذلك، إذا كانت معادلة فراي الإهليلجية موجودة بالفعل، فهي إذن شاذةٌ للغاية حتى إنه لَيْبدو من المحال أن تكونَ مرتبطةً بشكلٍ نمطي. غير أنَّ حدسية تانياما-شيمورا تقترحُ أنَّ «كل» معادلة إهليلجية لا بد أن ترتبطَ بشكلٍ نمطي. ومِن ثَمَّ؛ فإنَّ وجود معادلة فراي الإهليلجية يُعارض حَدْسية تانياما-شيمورا.

بعبارةٍ أخرى، تتمثَّل الحُجة المنطقية التي يسوقها فراي فيما يلي:

ثمَّة بديلٌ آخَرُ أهمُّ، وهو أنَّ فراي يُمكن أن يسوقَ حُجَّته عكسيًّا على النحو التالي:

لقد توصَّل جيرارد فراي إلى الاستنتاج المثير بأنَّ صحةَ مبرهنة فيرما الأخيرة ستكون نتيجةً مباشِرة لإثبات حدسيةِ تانياما-شيمورا. زعم فراي أنه إذا تمكَّن علماءُ الرياضيات من إثباتِ حدسيةِ تانياما-شيمورا، فسوف يُثبتون مبرهنة فيرما الأخيرةَ تلقائيًّا. للمرة الأولى على مدى مائةِ عام، بدَت المسألةُ الرياضيةُ الأصعبُ في العالم بأكملِه هشَّة. فوفقًا لفراي، صار إثباتُ حدسية تانياما-شيمورا هو العقَبةَ الوحيدة أمام إثباتِ مبرهنة فيرما الأخيرة.

وبالرغم من انبهارِ الجمهور بفكرةِ فراي اللامعة، فقد أدرَكوا أيضًا وجودَ خطأ أوَّلي في حُجتِه المنطقيَّة. لقد اكتشفَه جميعُ مَن في القاعة فيما عدا فراي نفسَه. وبالرغم من أنَّ الخطأَ لم يبدُ خطيرًا، فقد ظل عملُ فراي غيرَ مكتملٍ في وجوده. وكان أول مَن يتمكَّن من تصحيحِ هذا الخطأ، سيُنسَب إليه الفضل في الربطِ بين فيرما وتانياما-شيمورا.

أسرع جمهورُ فراي بمغادرةِ قاعة المحاضرة وتوجَّهوا إلى غرفة التصوير. وغالبًا ما يُمكن قياسُ أهميَّةِ إحدى المحاضَرات عن طريقِ طول الصفِّ الذي ينتظر لطباعة نُسَخ من المحاضرة. وفورَ أن حصَلوا على صورةٍ كاملة لأفكارِ فراي، عاد كلٌّ منهم إلى المؤسَّسةِ التي يعمل بها، وبدَءُوا في محاولةِ سدِّ الثُّغرات.

كانت حُجة فراي تستندُ إلى حقيقةِ أنَّ معادلتَه الإهليلجية المشتقَّة من معادلة فيرما شاذَّة جدًّا لدرجة أنها لا ترتبط بشكلٍ نمطي. وقد كان عمله غيرَ مكتمل؛ لأنه لم يُثبِت أنَّ معادلتَه الإهليلجية شاذةٌ بالدرجة الكافية. وفقط في حالة أن يتمكنَ أحدٌ من إثبات الشذوذِ «المطلق» الذي تتَّسمُ به معادلةُ فراي الإهليلجية، يمكن أن ينطويَ إثباتُ حدسية تانياما-شيمورا على إثباتِ مبرهنة فيرما الأخيرة.

شكل ٥-٨: كين ريبت.

اعتقد علماءُ الرياضيَّات في بادئ الأمر أنَّ إثباتَ شذوذِ معادلة فراي الإهليلجية سيكون عمليةً اعتياديَّة بدرجة كبيرة. فللوهلةِ الأولى، بدا خطأُ فراي أوَّليًّا وافترض جميعُ مَن حضَروا ندوة أوبرفولفاخ أنه سيكونُ ثَمة سِباقٌ لرؤية مَن يستطيع تعديلَ الجبر بأكبرِ سرعة. فقد كانت التوقُّعات أنَّ أحدَهم سيُرسل بريدًا إلكترونيًّا في غضون بضعة أيام يشرح فيه الطريقةَ التي تمكَّن بها من إثباتِ غَرابة معادلة فراي الإهليلجية.

انقضى أسبوعٌ دون ظهورِ مثلِ ذلك البريد الإلكتروني. انقضَت الشهورُ أيضًا وما كان من المفترض به أن يكون سباقًا جنونيًّا رياضيًّا، صار يتحوَّل إلى ماراثون. وبدا كما لو أنَّ فيرما لا يزال يَغيظ أحفادَه ويُعذِّبهم. لقد قدَّم فراي استراتيجيةً جذابة لإثباتِ مبرهنة فيرما الأخيرة، لكنَّ الخطوة الأولى في حدِّ ذاتها، وهي إثباتُ أنَّ معادلةَ فراي الافتراضيةَ الإهليلجية ليست نمطيَّة، كانت تُحير علماء الرياضيات في جميع أرجاء العالم.

ولإثبات أنَّ إحْدى المعادلاتِ الإهليلجية غيرُ نمطية، راح علماءُ الرياضيَّات يبحَثون عن ثوابتَ كتلك المذكورةِ في الفصلِ الرابع. فقد برهنَ ثابتُ العُقدة على أنه لا يُمكن تحويلُ عقدةٍ ما إلى عقدةٍ أخرى، وبرهنَ ثابتُ لويد على أنه لا يُمكن وضعُ أحجيته ١٤-١٥ في الترتيب الصحيح. إذا تمكَّن علماءُ نظرية الأعدادِ من اكتشافٍ ثابت مُلائم لوصفِ معادلة فراي الإهليلجية، لتَمكَّنوا من إثباتِ أنه لا يُمكِن أبدًا تحويلُها إلى شكل نمطي، أيًّا ما كان التغييرُ الذي يطرأ عليها.

كان أحدُ هؤلاء الذي يكدون لإثبات الرابط بين حدسية تانياما-شيمورا ومبرهنة فيرما الأخيرة وإكماله، كين ريبِت، البروفيسور بجامعة كاليفورنيا الموجودة في مدينة بيركلي. فمنذ محاضَرةِ أوبرفولفاخ، أصبح ريبِت مهووسًا بمحاولةِ إثبات أنَّ معادلة فراي الإهليلجية شديدةُ الغرابة بدرجةٍ لا يُمكن معها أن تكون نمَطية. وبعد ثمانيةَ عشر شهرًا من الجهود، لم يكن هو ولا غيرُه قد حقَّقوا أيَّ شيء على الإطلاق. وبعد ذلك في صيف عام ١٩٨٦، كان أحدُ زملاء ريبِت، وهو البروفيسور باري ميزور، في زيارة إلى بيركلي لحضورِ المؤتمر الدوليِّ لعلماء الرياضيات. التقى الصديقان لتناوُلِ مشروب القهوة بالحليب في مقهى «كافيه سترادا»، وبدَآ يتشاركان قصصَ الحظ السيِّئ والتذمُّر بشأنِ حالة الرياضيات.

وفي نهاية المطاف، بدَآ يتناقشانِ بشأن أحدَثِ أخبار المحاولات العديدة لإثباتِ شذوذ معادلة فراي الإهليلجية، وبدأ ريبِت في شرح استراتيجية تجريبيَّة كان يستكشفُها. بدا النَّهج مُبشِّرًا على نحو غامض، لكنه لم يستطِعْ إثباتَ سِوى جزءٍ صغيرٍ للغاية منه. «جلستُ مع باري وأخبرتُه بما كنتُ أعمل عليه. ذكَرتُ أنني قد أثبتُّ حالةً خاصة للغاية، لكنني لم أعرِفْ ما أفعلُه بعد ذلك لتعميمِها لكي يحظى البرهانُ بالقوة الكاملة.»

«كانت هذه الخطوة هي المُكوِّن الضروريَّ الذي لم أكُن أمتلكُه، وقد كان أمامي مباشَرة. تجوَّلتُ في طريق العودة إلى شقَّتي هائمًا، وأنا أُفكر: ربَّاه، أهذا صحيحٌ حقًّا؟ كنتُ مسلوبَ اللُّبِّ تمامًا، وجلستُ أكتب بسرعةٍ على دفترٍ من الورق. بعد ساعة أو اثنتَين، كنتُ قد كتبت كلَّ شيء وتحقَّقتُ من أنني أعرفُ الخطواتِ الأساسيةَ، وأنها تتلاءمُ جميعًا معًا. راجعتُ حُجتي المنطقية وقلت: «أجل، سيُفلح هذا حتمًا.» كان آلاف علماء الرياضيات بالطبع قد حضَروا المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات، وقد ذكرت عرَضًا لعددٍ قليل من الأشخاص أنني برهنتُ على أنَّ حَدْسية تانياما-شيمورا تنطوي على مبرهنةِ فيرما الأخيرة. انتشَر الخبرُ كالنارِ في الهشيم، وسرعان ما عرَف الكثيرون، وكانوا يُهرَعون إليَّ يسألونني: «أصحيحٌ حقًّا أنك أثبتَّ أنَّ معادلةَ فراي الإهليلجية ليست نمطيَّة؟» كان عليَّ أن أُفكِّر لبرهة، ثم قلتُ فجأةً: «أجل، قد فعلت».»

الآن قد صارت مبرهنة فيرما الأخيرةُ مرتبطةً بحَدْسية تانياما-شيمورا، ارتباطًا لا ينفصم. إذا استطاع أحدُهم أن يُثبت أنَّ المعادلاتِ الإهليلجية جميعها نمطية، فسوف يعني هذا أنه لا يوجد أيُّ حلٍّ لمعادلة فيرما، وتَثبُت مبرهنة فيرما الأخيرةُ تلقائيًّا.

شكل ٥-٩: في العام ١٩٨٦، أدرك أندرو وايلز أنه قد يكونُ من الممكنِ إثباتُ مبرهنة فيرما الأخيرة عن طريق حَدْسية تانياما-شيمورا.

على مدى ثلاثةِ قرونٍ ونصفِ القرن، ظلَّت مبرهنة فيرما الأخيرةُ مسألةً منعزلة، لغزًا مثيرًا للفضول يستحيل حلُّه يقبَعُ على حافةِ الرياضيَّات. والآن، قد أحضره كين ريبِت الذي استلهمَ فِكرتَه من جيرارد فراي، إلى قلب المسرح. اقترنَت المسألةُ الأهمُّ في القرن السابع عشر، بالمسألة الأبرزِ في القرن العشرين. ارتبطَت مسألة ذات أهمية تاريخيَّة وعاطفية مَهُولة، بحَدْسيةٍ يُمكن أن تُحدِثَ ثورةً في الرياضيَّات الحديثة. وبالفعل، كان علماءُ الرياضيات يستطيعون في ذلك الوقتِ مهاجمةَ مبرهنة فيرما الأخيرة باستخدام استراتيجيةِ البرهان بالتناقُض. فلكي يتمكَّنَ علماءُ الرياضيات من إثبات صحة المبرهنة الأخيرة، سيبدَءُون بافتراضِ أنها خاطئة. وسوف ينطوي خطأُ المبرهنة الأخيرة، على خطأ حَدْسية تانياما-شيمورا. بالرغم من ذلك، إذا أمكنَ إثباتُ صحةِ حدسية تانياما-شيمورا، فلن يتوافقَ هذا مع خطأ مبرهنةِ فيرما الأخيرة، ومِن ثَمَّ؛ فلا بد أن تكون هي أيضًا صحيحة.

كان فراي قد حدَّد المهمةَ التالية بوضوح. سيتمكَّنُ علماء الرياضيات من إثبات مبرهنة فيرما الأخيرة تلقائيًّا، إذا تَمكَّنوا أولًا من إثباتِ حدسية تانياما-شيمورا.

انتشر بصيصٌ جديد من الأملِ في بادئ الأمر، ثم بدأَت حقيقةُ الموقف تسطَعُ. لقد ظلَّ علماءُ الرياضيات يُحاولون إثباتَ حَدْسية تانياما-شيمورا منذ ثلاثينَ عامًا وعَجزوا عن ذلك. فلماذا قد يُحرِزون أيَّ تقدُّم الآن؟ رأى المتشكِّكون أنَّ ما كان يوجد من أملٍ ضئيل في إثباتِ حَدْسية تانياما-شيمورا قد تلاشى الآن. وكان منطقُهم في هذا أنَّ أيَّ شيءٍ قد يؤدِّي إلى حلِّ مبرهنة فيرما الأخيرة، لا بد أن يكون مُحالًا في جوهره.

حتى كين ريبِت الذي حقَّق الإنجازَ الضروري، كان مُتشائمًا: «كنتُ واحدًا من الغالبيَّة العُظمى التي كانت ترى أنَّ حَدْسية تانياما-شيمورا منيعةٌ تمامًا. لم أعبأ بمحاولة إثباتها. إنني لم أُفكِّر حتى بمحاولة إثباتِها. لقد كان أندرو وايلز على الأرجح واحدًا من بِضْعة أفرادٍ فقط هم الذين كانت لديهم الجَسارةُ على الحُلم بإمكانيةِ إثبات هذه الحدسية بالفعل.»