الحركة التوافقية البسيطة

حركة جُسيم تحت تأثير قوة يتناسب مقدارها مع بعد الجُسيم عن موضع اتزانه واتجاهها دائمًا نحو موضع الاتزان تُسمى حركة توافقية بسيطة. دعنا نعتبر، مثلًا، جُسيمًا متحركًا في بعد واحد على سطحٍ أفقيٍّ أملس. وكان زنبرك ما مربوطًا بالجُسيم ونهايته الأخرى مربوطة في حائط كما في شكل ٦-١.

ليكن طول الاتزان للزنبرك ، والطول الفعلي للزنبرك عند لحظة معينة . من المفترض أنه في حالة الاتزان تكون ملفات الزنبرك مفتوحة جزئيًّا بحيث يمكن أن تكون إما موجبة أو سالبة. إذا كانت موجبة فإن الزنبرك يؤثر بقوة نحو اليسار، وإذا كانت سالبة فإن الزنبرك يؤثر بقوة نحو اليمين. الزنبرك المثالي يتبع قانون هوك، الذي ينص على أن مقدار القوة يتناسب مع مقدار . إذا استخدمنا متجه وحدة يشير نحو الاتجاه الذي يبتعد عن الحائط، وكانت القوة التي يؤثر بها الزنبرك على الجُسيم ، فإن التعبير الكمي لقانون هوك هو: حيث ثابت يسمى ثابت الزنبرك. الإشارة السالبة في المعادلة (6-1) تؤكد أنه إذا كانت موجبة (سالبة)، فإن القوة تتجه نحو اليسار (اليمين).

قانون هوك (على عكس قوانين نيوتن) ليس قانونًا جوهريًّا في الطبيعة، لكن معظم الزنبركات تتبع قانون هوك إذا كانت صغيرة بقدر كافٍ، وتحيد جميع الزنبركات عن قانون هوك إذا تمددت أو انضغطت بقدر كبير جدًّا. سوف نفترض أن مقدار صغير بما يكفي لأن يكون قانون هوك صالحًا. وحيث إن عجلة الجُسيم ، فإن قانون نيوتن الثاني يؤدي إلى: المعادلة (6-2)، بالإضافة إلى الظروف الابتدائية (الموضعِ والسرعةِ الابتدائيين؛ أي مقداري و عند )، تحدد على نحو تام الحركة التابعة. رياضيًّا، مشكلتنا هي إيجاد دالة تحقق المعادلة (6-2) (تسمى «معادلة تفاضلية») مبنية على قيمتين محددتين سالفًا ﻟ و عند .

مثال ٦-١ (استطراد رياضياتي). لتوضيح أن المعادلة (6-2) بالإضافة إلى قيمتين ابتدائيتين محددتين ﻟ و، تحدد على نحو فريد ، يمكننا تخيل حل المعادلة (6-2) عدديًّا. لتكن زيادة زمنية طفيفة جدًّا، ونجعل (من أجل تسهيل الترميز) تشير إلى و تشير إلى . وحيث إن و معلومتان، يمكننا حساب و باستخدام و؛ حيث تعطينا المعادلة (6-2) قيمة بمعرفة . نعلم الآن قيمتي و و(باستخدام المعادلة (6-2)) . نستطيع الآن حساب و و باستخدام و؛ وبذلك نستطيع أن نتقدم بزيادات زمنية طفيفة. يمكن استخدام هذا الإجراء لحل معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية (معادلة تكون المشتقة الأعلى درجة بها مشتقةً ثانيةً) عدديًّا حتى عندما لا نستطيع إيجاد حل بدلالة دوالَّ مألوفة.

يمكن حل المسألة الرياضياتية بواسطة عدة طرق مختلفة، سنقوم بمناقشتها الآن. نعيد كتابة المعادلة (6-2) على الصورة: حيث ( هو الحرف اليوناني الصغير «أوميجا»). إحدى الطرق المشروعة تمامًا (مع أنها غير مُمنهجة جدًّا) لحل المعادلة (6-3) هي تخمين الحل، ثم برهنة أن التخمين يحقق المعادلة (6-3). أظهرنا في النقاش السابق أننا نتوقع أن تكون دالة متذبذبة في الزمن . أبسط دالة متذبذبة مألوفة بالنسبة لنا هي . ولأن و، فيكون لدينا ؛ وبذلك نرى أن تحقق تقريبًا المعادلة (6-3)، وصولًا إلى المُعامل . يمكن إصلاح ذلك بسهولة عن طريق تجريب الدالة . حيث إن و، فيكون لدينا ؛ وبالتالي نجد أن الدالة تحقق المعادلة (6-3). نجد بالمثل أن تحقق أيضًا المعادلة (6-3). وهذا ليس غريبًا لأن الرسم البياني ﻟ هو تمامًا نفس الرسم البياني ﻟ مع إزاحة نقطة الأصل لمحور الزمن؛ أي . في النهاية نصل إلى أن الدالة: تحقق المعادلة (6-3)، وأنها، في الواقع، حلها الأعم.

باختيار و على نحو مناسب يمكننا جعل و تأخذان قيمتين محددتين سالفًا عند . افترض أننا نريد أن تأخذ القيمة وأن تأخذ القيمة عند (يمكننا فيزيائيًّا جعل كلٍّ من و تأخذ أي قيمة مرغوبة إذا بدأنا الحركة «باستخدام الأيدي» ثم تركناها تتحرك). بجعل في المعادلة (6-4) نجد . وبتفاضل المعادلة (6-4) بالنسبة للزمن، نحصل على:

وبذلك تكون قيمتا و المناسبتان للظروف الأولية هما و، ونحصل على: لاحظ أنه إذا كانت ، فإن الإزاحة تتناسب مع ، وإذا كانت ، فإن الإزاحة تتناسب مع (رأينا هذا بالفعل في مناقشتنا للذبذبات الصغيرة لبندول (مثال ٥-٣)). حتى إذا كانت و، فلا زلنا نستطيع، بإزاحة مناسبة لنقطة الأصل على المحور الزمني، إظهار كدالَّة صرفة للجيب أو جيب التمام. لتحقيق هذا نكتب المعادلة (6-4) على الصورة: حيث يكون مفهومًا أننا نختار دائمًا الجذر التربيعي الموجب. يوجد لقيم معينة لكل من و زاوية فريدة في المدى بحيث: لاحظ أن المعادلتين (6-8) و(6-9) متَّسقتان مع المتطابقة الرياضياتية . من الرسم البياني لكل من و نجد أنه:

باستخدام المعادلتين (6-8) و(6-9) يمكننا كتابة المعادلة (6-7) على الصورة: وإذا جعلنا ، فإن تكون متناسبة مع . تحويل المتغير من إلى يناظر تحريك نقطة الأصل على المحور الزمني بمقدار ؛ أي إن عند . إن أهمية أنها الزمن عندما تكون عند قيمتها العظمى الموجبة؛ (لأن جيب التمام في المعادلة (6-10) تكون قيمته عند )؛ وبذلك نرى أننا إذا قسنا الزمن من اللحظة التي تكون فيها عند قيمتها العظمى الموجبة، فإن الإزاحة تكون دالة صرفة في جيب التمام. واضح من المعادلة (6-7) أو المعادلة (6-10) أن دالة دورية زمنها الدوري ؛ أي ؛ وبذلك تحقق قيمتها العظمى الموجبة، ليس فقط عند زمن ، ولكن أيضًا عند الأزمنة ، ، وهكذا. عدد الذبذبات في الثانية (التردد) هو . نلاحظ أيضًا أن تسمى التردد الزاوي.

لا بد أنه قد اتضح الآن أننا إذا قسنا الزمن من اللحظة التي عندها و موجبة (أي اللحظة التي يمر عندها الجُسيم بموضع اتزانه، متحركًا نحو اليمين)، فإن الإزاحة تكون دالة صرفة في الجيب. لبرهنة ذلك نلاحظ أن ونعيد كتابة المعادلة (6-10) لتصبح على الصورة: